(共31张PPT)
§2.4
平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
明目标、知重点
1.平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝
.
即两个向量的数量积等于
.
2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a⊥b?
.
x1x2＋y1y2
填要点·记疑点
相应坐标乘积的和
x1x2＋y1y2＝0
3.平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝
.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
＝
.
4.向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos
θ＝
＝
.
探要点·究所然
情境导学
在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
探究点一 平面向量数量积的坐标表示
思考1 已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b?
答 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
思考2 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？
答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求a的坐标；
解 设a＝λb＝(λ，2λ)
(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).
(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.
解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).
反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.
跟踪训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝____________.
解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).
(－16，－8)
(－8，－12)
探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|?
答 ∵a＝xi＋yj，
∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2
＝x2i2＋2xy
i·j＋y2j2.
又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，
∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，
∴|a|＝.
思考2 如图，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量
的模？
＝(x2，y2)－(x1，y1)
＝(x2－x1，y2－y1)，
思考1 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间的关系如何？反之成立吗？
答 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
思考2 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos
θ如何用坐标表示？
探究点三 平面向量夹角的坐标表示
例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.
(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.
直角
例2 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角.
解 设a与b的夹角为θ，
则a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，
所以a·b＝0，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos
θ<0且cos
θ≠－1，
所以a·b<0且a与b不反向.
由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos
θ>0，且cos
θ≠1，
所以a·b>0且a，b不同向.
由a·b>0，得λ>－
，由a与b同向得λ＝2.
反思与感悟 由于两个非零向量a，b的夹角θ满足0°≤θ≤180°，所以用cos
θ＝来判断，可将θ分五种情况：cos
θ＝1，θ＝0°；cos
θ＝0，θ＝90°；cos
θ＝－1，θ＝180°；cos
θ<0且cos
θ≠－1，θ为钝角；cos
θ>0且cos
θ≠1，θ为锐角.
跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.
解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∵a，b的夹角α为钝角.
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).
例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求
与点D的坐标.
解 设点D的坐标为(x，y)，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).
∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.
①
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即2x＋y－3＝0.
②
反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.
跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和
的坐标.
可得10x＋4y＝29，
①
即x2－5x＋y2－2y＝0，
②
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )
B
又∵a，b的夹角范围为[0，π].
1
2
3
4
2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.1
B.
C.2
D.4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3.∴|a|＝＝2.
C
1
2
3
4
5
4.已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8.
1
2
3
4
8
呈重点、现规律
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.
2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(共35张PPT)
§2.4
平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
明目标、知重点
1.向量的数量积(内积)
叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝
.
叫做向量a在b方向上的投影，
叫做向量b在a方向上的投影.
2.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
(1)a·e＝e·a＝
；
(2)a⊥b?a·b＝
且a·b＝
?a⊥b；
|a||b|cos〈a，b〉
填要点·记疑点
|a||b|cos〈a，b〉
|a|cos
θ
|b|cos
θ
|a|cos〈a，b〉
0
0
(3)a·a＝
或|a|＝
；
(4)cos〈a，b〉＝
；
(5)|a·b|
|a||b|.
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝
(交换律)；
(2)(λa)·b＝
＝
(结合律)；
(3)(a＋b)·c＝
(分配律).
|a|2
≤
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
探要点·究所然
情境导学
引进向量的数量积以后，考察一下这种运算的运算律是非常必要的.向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简单地类比到向量的数量积上来.
探究点一 向量数量积运算律的提出
思考1 类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：
运算律
实数乘法
向量数量积
判断正误
交换律
ab＝ba
结合律
(ab)c＝a(bc)
分配律
(a＋b)c＝ac＋bc
消去律
ab＝bc(b≠0)
?a＝c
a·b＝b·a
正确
(a·b)c＝a(b·c)
错误
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
正确
a·b＝b·c(b≠0)
?a＝c
错误
思考2 在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明.
答 (a·b)c＝a(b·c)不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立.
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c不成立，如图所示.
显然a·b＝b·c，且a≠c.
探究点二 向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
思考1 如何证明a·b＝b·a？对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？
答 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，b·a＝|b||a|cos〈b，a〉，
∵〈a，b〉＝〈b，a〉，cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉，
∴a·b＝b·a.
(λa)·b有意义，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
思考2 如何证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论)
答 当λ＝0时，0·b＝0·(a·b)＝a·0＝0.
当λ>0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝λ|a||b|cos〈λa，b〉，
λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，
a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝λ|a||b|cos〈a，λb〉；
∵λ>0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，b〉＝cos〈a，λb〉，
∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
当λ<0时，(λa)·b＝|λa||b|cos〈λa，b〉
＝－λ|a||b|cos〈λa，b〉，
λ(a·b)＝λ|a||b|cos〈a，b〉，
a·(λb)＝|a||λb|cos〈a，λb〉＝－λ|a||b|cos〈a，λb〉，
∵λ<0时，cos〈λa，b〉＝cos〈a，λb〉＝－cos〈a，b〉，
∴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
综上所述，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
思考3 如何证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，
向量a＋b在向量c方向上的投影
|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝
；
向量a在向量c方向上的投影为
|a|cos〈a，c〉＝OA1，
向量b在向量c方向上的投影为
|b|cos〈b，c〉＝OB1，
易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0.
图(1)
0
所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉.
两边乘以|c|得：
|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，
即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
当a＋b与向量c夹角为锐角时，
如图(2)所示，
图(2)
向量a＋b在向量c方向上的投影为|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；
向量a在向量c方向上的投影为
|a|cos〈a，c〉＝OA1，
向量b在c方向上的投影为
|b|cos〈b，c〉＝OB1，
∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，
∴OC1＝OA1＋OB1，
∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉.
两边同乘以|c|得：
|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉
＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b|·|c|cos〈b，c〉，
即(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得
(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
图(3)
探究点三 平面向量数量积的运算性质
思考 实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质.
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
表中的结论可以用作公式使用：
例如，若向量a、b、c满足a＋b＋c＝0且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
解析 方法一 由已知得|c|＝|a|＋|b|，c＝－a－b，可知向量a与b同向，而向量c与它们反向.
∴有a·b＋b·c＋c·a＝3cos
0°＋4cos
180°＋12cos
180°
＝3－4－12＝－13.
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
答案 －13
例1 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________.
解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确.
④
反思与感悟 向量的数量积a·b与实数a、b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处.
例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.
特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下
(a·b)·c≠a·(b·c).
跟踪训练1 设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________.
解析 根据向量积的分配律知①正确；
因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；
因为a，b不共线，所以|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边，
∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；
④正确.故正确命题的序号是①③④.
答案 ①③④
例2 已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
解 (a＋2b)·(a－3b)
＝a·a－a·b－6b·b
＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a|·|b|cos
θ－6|b|2
＝62－6×4×cos
60°－6×42＝－72.
反思与感悟 熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质，是解决此类问题的关键.计算形如(ma＋nb)·(pa＋qb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.
跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)(2a－b)·(a＋3b)；
解
(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝2×16＋5×4×2×cos
120°－3×4＝0.
(2)|3a－4b|.
解 |3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
例3 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量
a＋kb与a－kb互相垂直？
解 a＋kb与a－kb互相垂直的条件是
(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0.
∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，
∴k＝±.
当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直.
反思与感悟 向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是a·b＝0.
跟踪训练3 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？
解 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去.
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos
θ)2＝a2·b2cos2
θ≠a2·b2，选C.
C
1
2
3
4
2.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝
，则a·b等于( )
A.1
B.2
C.3
D.5
解析 |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
A
1
2
3
4
3.已知|a|＝1，|b|＝，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是( )
A.60°
B.30°
C.135°
D.45°
解析 ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴〈a，b〉＝135°.
C
1
2
3
4
4.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
解析 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos
，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
－8或5
呈重点、现规律
1.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.
2.在实数中，若ab＝0则a＝0或b＝0，但是在数量积中，即使a·b＝0，也不能推出a＝0或b＝0，因为其中cos
θ有可能为0.
3.在实数中，若ab＝bc，b≠0则a＝c，在向量中a·b＝b·c，b≠0?a＝c.
/(共35张PPT)
§2.4
平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
明目标、知重点
1.两个向量的夹角
(1)已知两个非零向量a，b，作
＝a，
＝b，则
称作向量a和向量b的夹角，记作
，并规定它的
范围是
.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝
.
(2)当
时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作
.
∠AOB
填要点·记疑点
〈a，b〉
0≤〈a，b〉≤π
〈b，a〉
a⊥b
2.平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量
叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
，其中θ是a与b的夹角.
(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向的投影是
，向量b在a方向上的投影是
.
|a||b|cos
θ
|a||b|cos
θ
|a|cos
θ
|b|cos
θ
3.数量积的几何意义
a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
的乘积.
|b|cos
θ
探要点·究所然
探究点一 平面向量数量积的含义
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位
移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的
功W是多少？
答 W＝|F||s|cos
θ.
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos
θ，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
答 a·b的运算结果是数量.
0·a＝0.
思考3 对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？
答 当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.
小结 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos
θ，其中θ是a与b的夹角，θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？
答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一个向量，既有大小，又有方向.
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a|·|b|·cos
0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a|·|b|cos
180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos
90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos
30°
＝4×5×＝10.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos
θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积.
解 (1)当a∥b时，若a与b同向，
则a与b的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
θ＝4×3×cos
0°＝12.
若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝4×3×(－1)＝－12.
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°，
∴a·b＝|a||b|cos
90°＝4×3×0＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos
60°＝4×3×＝6.
探究点二 投影
思考1 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？
答 不一定；|b|cos
θ.
小结 我们把|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos
θ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角.由数量积的定义a·b＝|a||b|cos
θ可得：|a|cos
θ＝；|b|cos
θ＝.
思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos
θ的几何意义如何？
答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos
θ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos
θ的乘积.
例2 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投影为－，求a与b的夹角θ.
反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决.
(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
跟踪训练2 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量
2a－b在向量a＋b方向上的投影.
解 (2a－b)·(a＋b)
＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
＝2×12＋1×1×cos
120°－12＝.
探究点三 平面向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
答 a⊥b?a·b＝0.
思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
答 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
答 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos
θ.
两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos
θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos
θ|＝1，
即cos
θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”.
所以|a·b|≤|a||b|.
cos
θ＝.
例3 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|.
反思与感悟 此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.
跟踪训练3 已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角.
解 ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos
60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a与b的夹角为120°.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的投影为( )
A.4
B.－4
C.2
D.－2
解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos
120°＝－2.
D
1
2
3
4
2.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝___.
解析 a·a＋a·b＝12＋1×1×cos
120°＝.
1
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3
4
C＝90°.
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4
答案 －25
1
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4
1
2
3
4
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).
2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.
3.b在a方向上的投影：|b|cos
θ＝是一个数量而不是向量.具体情况可以借助下表分析：
θ的范围
θ＝0°
0°<θ
<90°
θ＝90°
90°<θ
<180°
θ＝180°
图形
b在a方
向上的
投影的
正负
正
正
0
负
负
