(共29张PPT)
§2.5
平面向量应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.
明目标、知重点
1.力与向量
力与前面学过的自由向量有区别.
(1)相同点：力和向量都既要考虑
又要考虑
.
(2)不同点：向量与
无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的.
大小
填要点·记疑点
方向
始点
2.向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是
.
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的
运算，运动的叠加亦用到向量的合成.
(3)动量mν是
.
(4)功即是力F与所产生位移s的
.
向量
加、减
数乘向量
数量积
探要点·究所然
情境导学
你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，同学们很容易就举出来.进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识.因此我们通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用.
探究点一 向量的线性运算在物理中的应用
思考1 向量与力有什么相同点和不同点？
答 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.
用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上.
思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
答 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.
小结 向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.
思考3 请利用向量的方法解决下列问题：
如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；
答 由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得
－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tan
θ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大.
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20
km/h，此时水的流向是正东，流速为20
km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.
解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，
设帆船行驶的速度为v，
则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝(20cos
60°，20sin
60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，
则帆船的行驶速度
v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20
km/h.
跟踪训练1 某人在静水中游泳，速度为4
km/h，水的流速为4
km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
∵实际速度＝游速＋水速，
探究点二 向量的数量积在物理中的应用
思考1 向量的数量积与功有什么联系？
答 物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积.
小结 物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积.
思考2 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10
m/s2)
答 如右图所示，设木块的位移为s，
将力F分解，它在竖直方向上的分力F1的大小为
所以，摩擦力f的大小为
|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此，f·s＝|f||s|cos
180°＝1.1×20×(－1)
＝－22(J).
思考3 用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？
答 用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
例2 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99
J和－3
J.
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功.
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J).
∴合力F对质点所做的功为－102
J.
反思与感悟 物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos
θ，其中θ为F与s的夹角.
跟踪训练2 已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功.
∴力F对物体所做的功为1
J.
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10
N，则每根绳子的拉力大小为______
N.
1
2
3
4
解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10
N.
∴每根绳子的拉力都为10
N.
答案 10
1
2
3
4
2.已知一个物体在大小为6
N的力F的作用下产生的位移s的大小为100
m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________
J.
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos
60°＝300(J).
300
1
2
3
4
3.一条河宽为800
m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20
km/h，水速为12
km/h，则船到达B处所需时间为___分钟.
解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20，|v2|＝12，
3
1
2
3
4
4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3
km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3
km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2
km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
1
2
3
4
解 如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3
km/h.设船的实际航行速度为v.
方向由南向北，大小为2
km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是
km/h.
呈重点、现规律
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.(共33张PPT)
§2.5
平面向量应用举例
2.5.1 平面几何中的向量方法
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.
2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.
3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力.
明目标、知重点
1.向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb?
.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?
?
.
x1y2－x2y1＝0
填要点·记疑点
a·b＝0
x1x2
＋y1y2＝0
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos
θ＝
＝
.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝
.
2.直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为
，法向量为
.
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为
，法向量为
.
(1，k)
(k，－1)
(B，－A)
(A，B)
探要点·究所然
情境导学
向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
探究点一 直线的方向向量与两直线的夹角
思考1 直线y＝kx＋b的方向向量是如何定义的？如何求？
答
如果向量v与直线l共线，则称向量v为直线l的方向向量.
思考2 直线Ax＋By＋C＝0的方向向量如何求？
答 当B≠0时，k＝－，所以向量(B，－A)与(1，k)共线，所以向量(B，－A)是直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量；当B＝0时，A≠0，直线x＝－
的一个方向向量为(0，－A)，即(B，－A).
综上所述，直线Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为
v＝(B，－A).
例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程.
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)求AB边上的高线CH所在直线方程.
解 设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程.
反思与感悟 (1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算.
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为v＝(B，－A)，法向量
n＝(A，B).这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用.
跟踪训练1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程.
∠A的平分线的一个方向向量为：
∵∠A的平分线过点A.
整理得：7x＋y－29＝0.
探究点二 直线的法向量与两直线的位置关系
思考1 如何定义直线Ax＋By＋C＝0的法向量？
答 如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量.因此若直线的方向向量为v，则n·v＝0.从而对于直线Ax＋By＋C＝0而言，其方向向量为v＝(B，－A)，则由于n·v＝0，于是可取n＝(A，B)，这是因为(B，－A)·(A，B)＝AB－AB＝0.直线的法向量也有无数个.
思考2 如何利用直线的法向量判断两直线的位置关系？
答 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，它们的法向量分别为n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2).
当n1∥n2时，l1∥l2或l1与l2重合.即A1B2－A2B1＝0?l1∥l2或l1与l2重合；
当n1⊥n2时，l1⊥l2.即A1A2＋B1B2＝0?l1⊥l2.
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观.其基本方法是：
探究点三 平面向量在几何中的应用
思考1 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？
答 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
思考2 平行四边形是表示向量加法与减法的几何
模型.
如右图，
你
能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
答 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
思考3 请用向量法给出上述结论的证明.
答 证明：在平行四边形ABCD中，
例2 平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、
RT、TC之间的关系吗？
反思与感悟 解答过程易出现无从下手的情况，导致此种情况的原因是不能灵活选定基底，无法集中条件建立几何元素与向量之间的联系.
证明 选{a，b}为基底.延长OG交AB于M点，
∵G为△OAB的重心，
∴M为AB的中点，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是
_________________.
解析 设P(x，y)为圆上任一点，则
化简得x2＋y2＋x－3y＝0.
x2＋y2＋x－3y＝0
1
2
3
4
2.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的
直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若
则m＋n的值为________.
2
1
2
3
4
3.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值.
1
2
3
4
4.已知直线l1：3x＋y－2＝0与直线l2：mx－y＋1＝0的夹角为45°，求实数m的值.
解 设直线l1，l2的法向量为n1，n2，
则n1＝(3,1)，n2＝(m，－1).
1
2
3
4
整理得：2m2－3m－2＝0，
呈重点、现规律
1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
2.在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则
(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量.所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线.同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论，在解题时可以直接应用.
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1).
②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B).
