(共33张PPT)
§3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
明目标、知重点
1.两角和与差的正切公式
(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝
.
(2)T(α－β)：tan(α－β)＝
.
填要点·记疑点
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)T(α＋β)的变形：
tan
α＋tan
β＝
.
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝
.
tan
αtan
β＝
.
tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)
tan(α＋β)
(2)T(α－β)的变形：
tan
α－tan
β＝
.
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝
.
tan
αtan
β＝
.
tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)
tan(α－β)
探要点·究所然
情境导学
某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山的山顶C处.小山的高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约为67米，从点A处观测电视发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.
解 设电视发射塔的高CD＝x，∠CAB＝α，
在Rt△ABD中，
如何能由sin
α＝求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sin
α把tan(45°＋α)表示出来呢？
虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式显然不能直接解决上述问题.我们有必要得到两角和与差的正切公式.
探究点一 两角和与差的正切公式的推导
思考1 你能根据同角三角函数基本关系式tan
α＝，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试.
当cos
αcos
β≠0时，分子分母同除以cos
αcos
β，得
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T(α＋β)，T(α－β)中α，β，α±β都不能等于kπ＋(k∈Z).
思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)，
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式
这些变形公式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习.
练习：直接写出下列式子的结果：
(2)tan
75°＝
；
1
例1 求下列各式的值：
(2)tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°.
∴tan
15°＋tan
30°＝1－tan
15°tan
30°
∴原式＝(1－tan
15°tan
30°)＋tan
15°tan
30°＝1.
反思与感悟 公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示出第三个.
跟踪训练1 求下列各式的值：
例2 若α，β均为钝角，且(1－tan
α)(1－tan
β)＝2，求α＋β的值.
解 ∵(1－tan
α)(1－tan
β)＝2，
∴1－(tan
α＋tan
β)＋tan
αtan
β＝2，
∴tan
α＋tan
β＝tan
αtan
β－1，
反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值，②确定所求角的范围.此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解.
∴△ABC为等腰钝角三角形.
反思与感悟 三角形中的问题，A＋B＋C＝π肯定要用，有时与诱
导公式结合，有时利用它寻找角之间的关系减少角.
跟踪训练3 已知A、B、C为锐角三角形ABC的内角.求证：tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
证明 ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.
∴tan
A＋tan
B＝－tan
C＋tan
Atan
Btan
C.
即tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
Atan
Btan
C.
当堂测·查疑缺
1
2
3
1.若tan(－α)＝3，则tan
α的值为( )
B
4
2.已知A＋B＝45°，则(1＋tan
A)(1＋tan
B)的值为( )
A.1
B.2
C.－2
D.不确定
B
解析 (1＋tan
A)·(1＋tan
B)
＝1＋(tan
A＋tan
B)＋tan
Atan
B
＝1＋tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)＋tan
Atan
B
＝1＋1－tan
Atan
B＋tan
Atan
B＝2.
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.公式T(α±β)的适用范围及结构特征和符号规律
(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋
(k∈Z).
(2)公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan
α与tan
β的和或差，分母为1与tan
αtan
β的差或和.
(3)
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
2.公式T(α±β)的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.
3.公式T(α±β)的变形应用
只要见到tan
α±tan
β，tan
αtan
β时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.(共31张PPT)
§3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.1 两角差的余弦公式
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.理解用向量法导出公式的主要步骤.
3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
明目标、知重点
两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝
，其中α、β为任意角．
cos
αcos
β＋sin
αsin
β
填要点·记疑点
探要点·究所然
情境导学
我们在初中时就知道cos
45°＝，cos
30°＝，由此我们能否得到cos
15°＝cos(45°－30°)＝？大家可以猜想，是不是等于cos
45°－cos
30°呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos(α－β)＝？
探究点一 两角差余弦公式的探索
思考1 有人认为cos(α－β)＝cos
α－cos
β，你认为正确吗，试举两例加以说明．
答 不正确．
cos(α－β)≠cos
α－cos
β；
cos(α－β)≠cos
α－cos
β.
思考2 请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．
①cos
45°cos
45°＋sin
45°sin
45°＝
＝
；
②cos
60°cos
30°＋sin
60°sin
30°＝
＝
；
③cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝
＝
；
④cos
150°cos
210°＋sin
150°sin
210°＝
＝
．
猜想：
cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝
；
即：
.
1
cos
0°
cos
30°
0
cos(－90°)
cos(－60°)
cos(α－β)
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
探究点二 两角差余弦公式的证明
如图，以坐标原点为中心，作单位圆，以Ox为始边作
角α与β，设它们的终边分别与单位圆相交于点P，Q，
请回答下列问题：
(cos
α，sin
α)
(cos
α，sin
α)
1
(cos
β，sin
β)
(cos
β，sin
β)
1
α－β＝2kπ
从而，对任意角α，β均有cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β.
cos(α－β)
cos
αcos
β＋sin
αsin
β
思考1 若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos
α的值？
答 cos
α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)·sin
β.
思考2 利用α－(α－β)＝β可得cos
β等于什么？
答 cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
α·sin(α－β)．
探究点三 两角差余弦公式的应用
思考3 若cos
α－cos
β＝a，sin
α－sin
β＝b，则cos(α－β)等于什么？
例1 利用两角差余弦公式求cos
75°、cos
15°的值．
解 cos
75°＝cos(120°－45°)＝cos
120°·cos
45°＋sin
120°·sin
45°
cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
反思与感悟 在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．而把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos
15°＝cos(60°－45°)，要学会灵活运用.
跟踪训练1 求cos
105°＋sin
195°的值．
解 cos
105°＋sin
195°＝cos
105°＋sin(90°＋105°)
＝cos
105°＋cos
105°＝2cos
105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos
135°cos
30°＋sin
135°sin
30°)
反思与感悟 (1)注意角α、β的象限，也就是符号问题．
(2)三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
反思与感悟 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．
(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
当堂测·查疑缺
1
2
3
1.cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°的值为( )
A
解析 cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°＝cos(78°－18°)＝cos
60°＝，故选A.
1
2
3
2.cos
165°等于( )
C
解析 cos
165°＝cos(180°－15°)＝－cos
15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°)＝－
4.已知sin
α＝－，sin
β＝，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.
1
2
3
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
呈重点、现规律
1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”.注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧.
2.“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值.
确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.(共36张PPT)
§3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用.
明目标、知重点
1.倍角公式
(1)S2α：sin
2α＝
，sin
cos
＝
；
(2)C2α：cos
2α＝
＝
＝
；
(3)T2α：tan
2α＝
.
2sin
αcos
α
填要点·记疑点
sin
α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
2.倍角公式常用变形
(1)＝
，＝
；
(2)(sin
α±cos
α)2＝
；
(3)sin2α＝
，cos2α＝
；
(4)1－cos
α＝
,1＋cos
α＝
.
cos
α
1±sin
2α
sin
α
探要点·究所然
情境导学
在教材3.1.2例4(2)中，若将题目改为cos
20°cos
70°＋sin
20°sin
70°，你还能利用诱导公式将70°换为20°吗？当然能换！换出的结果是cos
20°sin
20°＋sin
20°cos
20°＝2sin
20°cos
20°.那么，利用我们已经学习的公式，能否将2sin
20°cos
20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin
20°cos
20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题.
探究点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导
思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式.你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？
答 sin
2α＝sin(α＋α)＝sin
αcos
α＋cos
αsin
α＝2sin
αcos
α；
cos
2α＝cos(α＋α)＝cos
αcos
α－sin
αsin
α＝cos2α－sin2α；
思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin
α或cos
α表示cos
2α？
答 ∵cos
2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)
＝2cos2α－1；
或cos
2α＝cos2α－sin2α＝(1－sin2α)－sin2α＝1－2sin2α.
探究点二 余弦的二倍角公式的变形形式及应用
思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？
答 二倍角的余弦公式cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α变形较多，应用灵活.其中sin2α＝，cos2α＝称作降幂公式，＝sin2，＝cos2称作升幂公式.这些公式在统一角或函数名时非常有用.
练习1：函数f(x)＝sin
xcos
x＋cos2x－的最小正周期是
.
π
练习2：函数f(x)＝cos
2x＋4sin
x的值域是
.
解析 f(x)＝cos
2x＋4sin
x＝1－2sin2x＋4sin
x
＝－2sin2x＋4sin
x＋1＝－2(sin
x－1)2＋3.
当sin
x＝1时，f(x)max＝3；
当sin
x＝－1时，f(x)min＝－5.
[－5,3]
思考 因为3α＝2α＋α，可以借助二倍角公式推导出三倍角公式.请完成三倍角公式的证明：
(1)sin
3α＝3sin
α－4sin3α；
探究点三 三倍角公式的推导
答 证明如下：
sin
3α＝sin(2α＋α)＝sin
2αcos
α＋cos
2αsin
α
＝2sin
αcos2α＋(1－2sin2α)sin
α
＝2sin
α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin
α
＝2sin
α－2sin3α＋sin
α－2sin3α＝3sin
α－4sin3α.
(2)cos
3α＝4cos3α－3cos
α.
答 cos
3α＝cos(2α＋α)＝cos
2αcos
α－sin
2αsin
α
＝(2cos2α－1)cos
α－2sin2αcos
α
＝(2cos2α－1)cos
α－2(1－cos2α)cos
α
＝2cos3α－cos
α－2cos
α＋2cos3α
＝4cos3α－3cos
α.
于是sin
4α＝2sin
2αcos
2α
反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数关系及诱导公式是常用方法.
跟踪训练1 求值：(1)cos
20°·cos
40°·cos
80°；
＝tan4A＝右边，
反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
＝tan
θ.
又tan
B＝2，
又tan
B＝2，
反思与感悟 倍角公式、和角公式本质上没有区别，可用不同的思路去思考.解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式.
当堂测·查疑缺
1
2
3
1.cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于( )
C
4
1
2
3
B
4
1
2
3
4
1
2
3
4
呈重点、现规律(共32张PPT)
§3.1
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
3.熟悉两角和与差的正、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
明目标、知重点
1.两角和与差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝
.
C(α＋β)：cos(α＋β)＝
.
2.两角和与差的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝
.
S(α－β)：sin(α－β)＝
.
cos
αcos
β＋sin
αsin
β
填要点·记疑点
cos
αcos
β－sin
αsin
β
sin
αcos
β＋cos
αsin
β
sin
αcos
β－cos
αsin
β
探要点·究所然
情境导学
从两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
探究点一 由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)
思考 由于公式C(α－β)对于任意α，β都成立，那么把其中的＋β换成－β后，也一定成立.请你根据这种联系，从两角差的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cos(α＋β)的公式？
答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos
β，sin(－β)＝－sin
β，
∴cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos
αcos(－β)＋sin
αsin(－β)
＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
即cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β.
思考 利用诱导公式五(或六)可以实现正弦和余弦的互化，根据这种联系，请你试着从差角的余弦公式出发，推导出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sin(α＋β)及sin(α－β)的公式？
探究点二 由公式C(α－β)推导公式S(α＋β)及S(α－β)
＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
即sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
从而，sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sin
αcos(－β)＋cos
αsin(－β)
＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
思考 运用两角和与差的正弦、余弦公式化简、求值要注意灵活进行三角函数名称以及角的变换，善于构造符合某一公式的特征结构后，再运用公式化简、求值.如果题目中存在互余角，要善于发现和利用.
探究点三 两角和与差的正弦、余弦公式的应用
解 原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·
sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)
例1 化简求值：
(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
反思与感悟 解答此类题一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.
跟踪训练1 化简求值：(1)sin
14°cos
16°＋sin
76°·cos
74°；
解 原式＝sin
14°cos
16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°
＝sin(14°＋16°)＝sin
30°＝.
(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin
90°＝1.
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
反思与感悟 此类题是给值求角题，步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值；(2)确定所求角的范围，此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
例3 已知sin(2α＋β)＝3sin
β，求证：tan(α＋β)＝2tan
α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin
β
?sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
?sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α
＝3sin(α＋β)cos
α－3cos(α＋β)sin
α
?2sin(α＋β)cos
α＝4cos(α＋β)sin
α
?tan(α＋β)＝2tan
α.
反思与感悟 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异.
当堂测·查疑缺
1
2
3
1.sin
7°cos
37°－sin
83°cos
53°的值是( )
A
解析 原式＝sin
7°cos
37°－cos
7°sin
37°
4
解析 sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B
1
2
3
4
答案 A
1
2
3
4
3.函数f(x)＝sin
x－cos
x(x∈R)的值域是
.
∴f(x)∈[－2,2].
[－2,2]
1
2
3
4
1
2
3
4
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.公式Cα±β与Sα±β的联系、结构特征和符号规律
四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)
cos(α＋β)
sin(α＋β)
sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.
对于公式Cα－β与Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”.
对于公式Sα－β与Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”.
2.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin
βcos(α＋β)－cos
βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：
sin
βcos(α＋β)－cos
βsin(α＋β)
＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin
α.
3.运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解.
