高一数学人教A版必修4课件：3.2 简单的三角恒等变换课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
§3.2
简单的三角恒等变换
明目标
知重点
填要点
记疑点
探要点
究所然
内容
索引
01
02
03
当堂测
查疑缺
04
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.
2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法.理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.
3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
明目标、知重点
填要点·记疑点
点(a，b)
探要点·究所然
情境导学
三角变换不同于代数式变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数式结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并
探究点一　半角公式的推导
小结　以上各公式统称为半角公式(不要求记忆).
思考2　半角公式中根号前面的正负号怎样确定？
答　在半角公式中根号前面的正负号由所在的象限来确定.
思考3　利用倍角公式，半角的正切公式还可以作如何变形？
思考1　根据两角和与差的正、余弦公式把下列等式补充完整：
①sin(α＋β)＋sin(α－β)＝
；
②sin(α＋β)－sin(α－β)＝
；
③cos(α＋β)＋cos(α－β)＝
；
④cos(α＋β)－cos(α－β)＝
.
探究点二　积化和差与和差化积公式的推导
2sin
αcos
β
2cos
αsin
β
2cos
αcos
β
－2sin
αsin
β
思考2　由上述①～④这四个等式不难得出下列四个对应的积化和差公式，请你试一试写出这四个公式：
sin
αcos
β＝
；
cos
αsin
β＝
；
cos
αcos
β＝
；
sin
αsin
β＝
.
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
[sin(α＋β)－sin(α－β)]
[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
[cos(α＋β)－cos(α－β)]
探究点三　辅助角公式
思考2　请写出把asin
x＋bcos
x化成Asin(ωx＋φ)形式的过程.
答　asin
x＋bcos
x
∵α为第四象限角，
解　方法一　∵180°<θ<270°，
方法二　∵180°<θ<270°，∴sin
θ<0，
例2　已知函数f(x)＝2cos
x(sin
x－cos
x)＋1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
解　f(x)＝2cos
x(sin
x－cos
x)＋1
因此，函数f(x)的最小正周期为π.
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
例3　如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记
∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的
面积最大？并求出这个最大面积.
解　在Rt△OBC中，OB＝cos
α，BC＝sin
α.
设矩形ABCD的面积为S，
反思与感悟　从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝asin
x＋bcos
x的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归思想.
跟踪训练3　2002年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos
2θ的值等于
.
由(cos
θ＋sin
θ)2＋(cos
θ－sin
θ)2＝2，
∴cos
2θ＝cos2θ－sin2θ
当堂测·查疑缺
1
2
3
B
4
D
1
2
3
4
A
1
2
3
4
4.求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值.
解　3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos
60°＋5cos(x＋20°)sin
60°
1
2
3
4
＝7sin(x＋20°＋φ)，
所以f(x)max＝7.
1
2
3
4
呈重点、现规律
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3.研究形如f(x)＝asin
x＋bcos
x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a、b应熟练掌握，