22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件（23张PPT）

第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2二次函数y = ax 2 的图象和性质
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
学 习 目 标
3
1
2
在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想．
了解抛物线的有关概念，会用描点法画出形如????=?????????2的二次函数的图象.
?
通过观察图象，掌握二次函数????=?????????2?的图象特征和性质.
?

1.一次函数的图象是一条 .
温故知新
3.二次函数的一般形式是什么？
????=?????????+????????+????(????,????,????是常数,????≠?0)
?
直线
列表，描点，连线
2.通常怎样画一个函数的图象？
知识讲解
…
0
1
2
3
…
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
9
4
1
0
1
9
4
列表：????,????的几组对应值如下：
?
用描点法画二次函数????=????????的图象.
?
例1
1.二次函数????=????????????的图象和性质
?
在????=??????????中自变量????可以是任意实数
?
列表
描点
连线
描点：根据表中????,????的数值在坐标平面中描点????,????；
?
连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到????=?????????的图象，如图所示．
?

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
函数图象画法
x
y
O
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y=x2
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，叫做抛物线 y = x2 .
这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.
抛物线的顶点
观察与思考
x
…
0
1
2
3
…
…
9　
4　
1　
0　
1　
4　
9　
…　
问题 从二次函数????=????????的图象你发现了什么性质？
?
在对称轴????轴的左侧，抛物线从左往右下降；
在对称轴????轴的右侧，抛物线从左往右上升.
?
顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最低点.

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
解：列表如下：
x
···
0
1
2
3
4
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数????=12????2 ，????=2????2的图象．
?
2.二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系
例2
x
···
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
????=????????????
?
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察二次函数????=????????????????，????=????????????， ????=????????图象的开口大小，与a的绝对值大小有什么关系？
?
当????>????时，????的绝对值越大，开口越小.
?
????=????????????
?
????=????????
?
????=????????????????
?
思考
问题 请画出函数????=?????????的图象，观察图象函数????=?????????有哪些性质？
?
解：列表如下：
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
在对称轴????轴的左侧，抛物线从左往右上升；
在对称轴????轴的右侧，抛物线从左往右下降.
?
顶点坐标是（0，0），是抛物线上的最高点.
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
0　
…　
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 ????=?12????2 ，????=?2????2 的图象．
?
x
···
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
0
···
解：
列表如下：

x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
观察二次函数????=????????????????? ， ????=?????????，?????=?????????????图象的开口大小，与a的绝对值大小有什么关系？
?
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
思考
????=?????????????
?
????=?????????
?
????=?????????????????
?
x
y
O
x
y
O
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
位置与开口
对称性
顶点最值
增减性
总结
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于????轴对称，对称轴是直线????＝0
?
顶点是原点（0，0）
当????=0时，????最小值=0
?
当????=0时，????最大值=0
?
在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
问题 观察下列图象，抛物线????=????????????与????=?????????????（????>0)的关系是什么？
?
x
y
O
????=????????????
?
????=?????????????
?
3.抛物线????=????????????与????=?????????????的关系
?
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
4.函数????=????????????性质的应用
?
已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图象上，若B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
例3
????1=8
?
????2=18
?
（1）把两点的横坐标代入二次函数解析式得纵坐标
分析：
<
二次函数图象关于y轴对称
<
图象左边部分与右边部分对称
（2）两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积
(????,????)
?
(????,????)
?
8
点转换到同一侧
或
S阴影部分面积之和＝????×????＝????????
?
解:∵点B的坐标为（????,????），
∴当????＝????时，????＝????×????????＝????.
∴点C的坐标为（????,????），????????=????.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴????????＝????????，
∴在长方形????????????????内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝????×????＝????????.
?
求不规则图形的面积，常采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此对称轴左右两侧折叠可以重合，因此比较二次函数的大小时，我们可以根据图象的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较.
归
纳
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向及大小
对称轴????轴
?
顶点坐标（0，0）
增减性
课堂小结
2.（1）????=????????????的图象是 ；
（2）????=????????????????的图象是 ；
（3）????=?????????????的图象是 ；
（4）????=?????????????????的图象是 .
?
1.已知二次函数????=????????的图象过点????，????，则它必过的另一点是（ ）
A. ????，????? B. ?????，???? C. ?????，????? D. ????，????
?
随堂训练
x
y
O
②
①
③
④
B
③
①
④
②
3.如图，观察函数????=（??????????）????????的图象,则k的取值范
围是 .
?
x
y
????>????
?
O
4.若抛物线????=?????????????（?????≠?????），过点（?????，????）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 ;
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值，
抛物线在????轴的 方（除顶点外）;
(4) 若????（????????,????????),????(????????,????????)在这条抛物线上，且?????????
2
y轴
向上
（0,0）
小
上
>
?
谢谢
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