人教版九年级数学上册教案：24.1.2 垂直于弦的直径（习题含答案）

课题：垂直于弦的直径
【学习目标】
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
【学习重点】
圆的对称性、垂径定理、推论及其应用．
【学习难点】
利用垂径定理进行计算或证明．
一、情景导入　感受新知
问题1：请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
问题：请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质．(板书课题)
二、自学互研　生成新知
阅读教材P81～P82上面的文字，完成下面的内容：
活动1：
①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次．
a．通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有无数条对称轴．
b．“圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？
不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴．
②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？
a．要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上．
活动2：
①垂径定理：
a．思考：沿直径CD所在直线折叠，线段AM与A′M重合．，分别与，重合．
因此，AM＝A′M，＝，＝.即直径CD平分被AA′，并且平分，平分．
b．归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
②垂径定理的推论：
a．思考：若把条件“直径CD⊥弦AA′于M”改为“直径CD平分弦AA′于M”，则图形是否还是轴对称图形？∠AMC与∠A′MC相等吗？＝与＝还成立吗？试折纸验证一下．
结论都还成立．
b．反例：当弦AA′为直径时，结论还成立吗？为什么？
不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直．
c．限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
师生活动：
①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误．
②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内相互交流研讨、订正结论．
三、典例剖析　运用新知
典例1：如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为，求圆心O到弦AB的距离．
解：如图，作OE⊥AB，垂足为E，则OE垂直平分AB.
∴AE＝BE＝AB＝.
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，即圆心O到弦AB的距离为.
变式：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
解：连接OA.
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°.
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
OA＝OC＝R，OD＝5－R.
由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．
师生活动：
①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性．
②差异指导：指导学生探究证明思路．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
四、课堂小结　回顾新知
(1)圆的对称性．
(2)垂直定理及其推论．
五、检测反馈　落实新知
1．下列说法中正确的是(　B　)
A．在同一个圆中最长的弦只有一条
B．垂直于弦的直径必平分弦
C．平分弦的直径必垂直于弦
D．圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2．如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是(　C　)
A．∠AOD＝∠BOD　　　　B．AD＝BD
C．OD＝DC
D．＝
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第3题图）))
3．如图是一条水平铺设的直径为2
m的通水管道横截面，其水面宽为1.6
m，则这条管道中的水最深为0.4m.
4．如图，两个圆都以点O为圆心．
求证：AC＝BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA，OC，OD，OB，则AE＝BE，CE＝DE，∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
六、课后作业　巩固新知