22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质课件（24张PPT）

第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
?
?
学 习 目 标
3
1
2
探究二次函数y = ax 2与????=a（x?????）2+k的联系．
?
能够用描点法画出二次函数y=ax?????2，????=a（x?????）2+k的图象.
?
通过观察图象，掌握二次函数y=ax?????2，????=a（x?????）2+k的图象特征和性质.（重点）
?
温故知新
1. 二次函数 y = ax2 +????的图象与性质　　
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
图象（示例）
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数最值
函数增减性
向上
直线x=0
向下
在对称轴左侧,y随x增大而减小，对称轴右侧,y随x增大而增大
（0，k）
在对称轴左侧,y随x增大而增大，对称轴右侧,y随x增大而减小
当x=0时，????有最大值????
?
当x=0时，????有最小值????
?
2.二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0）
的图象平移得到：
当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到；
当k < 0 时，向下平移?????个单位长度得到.
?
知识讲解
用描点法画出二次函数 ????=?12（????+1）??，????=?12（?????1）?的图象.
?
例1
1.二次函数y=a（x?h）2的图象和性质
?
x
···
0
1
2
3
···
···
···
···
···
－2
－8
－2
0
0
－2
－8
?????????
?
?????????
?
－2
?????????
?
?????????
?
?????????
?
?????????
?
解：
列表如下：
观察图象，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、函数最值、函数增减性是怎样的？
思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
（?????，????）
?
（????，????）
?
（1，0）
直线????=?????
?
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
????
?
????
?
????
?
直线????=????
?
直线????=????
?
向下
向下
顶点坐标是 .
向上
低
向下
高
直线 x = h
( h,0 )
总结：二次函数????=????（?????????)?????的图象的特点
?
a＞0时，开口 , 最 ____ 点是顶点; a＜0时，开口 , 最 ____
点是顶点;对称轴是 ;顶点坐标是 .
对称轴是 ;

直线 x = h
( h,0 )
????=?????????（????+????）?
?
????=?????????（?????????）??
?
????=???????????????
?
做一做:画出函数 ????=?12????+12?1的图象,并指出它的开口方向、顶点与对称轴.
?
2.二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
列表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
…
…
…
…
?????.????
?
?????
?
?????.????
?
?????
?
?????.????
?
?????
?
?????.????
?
2
4
x
-2
-4
-6
-8
y
O
?????
?
?????
?
直线x=－1
????=?????????????+?????????????
?
顶点坐标是?????,?????
?
开口方向向下
对称轴是直线????=?????
?
练一练 画出函数????=????（?????????）?????1的图象，并说出它的开口
方向、对称轴、顶点.
?
顶点坐标是(????,?????).
?
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
开口方向向上；
对称轴是直线????=????;
?
总结：二次函数????=????（?????????)????+????的图象和性质
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数最值
函数增减性
向上
直线x=h
向下
在对称轴左侧,y随x增大而减小，对称轴右侧,y随x增大而增大
（????，k）
?
在对称轴左侧,y随x增大而增大，对称轴右侧,y随x增大而减小
当x= ????时，????有最大值????
?
当x= ????时，????有最小值????
?
已知二次函数????=6?????22+1?，则下列说法正确的是（ ）
A.图象的开口向下 B.函数的最小值为1
C.图象的对称轴为直线????=?2?????????????D.当????<2时，????随????的增大而增大
?
例2
x
y
O
解析：
????=6?????22+1?
?
????>0
?
开口向上
?
对称轴为直
线????=2
?
????=?????
?
当????<2时，????随????的增大而减小
?
????
?
B
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两
点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
方法2：根据二次函数的对称性列出关于m、n的方程，
然后整理即可得解．
例3
分析：
(1)把点(3，0)的坐标代入函数解析式计算即可；
(2)方法1：根据y1＝y2列出关于m、n的方程，然后开方
整理即可得解；
函数图象上的点，坐标必满足函数的解析式．
∴m＋n－1＝1－m，化简得2m＋n＝2.
解：
(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1.
方法1：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4.
(2)
∵ y1＝y2，
∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴ m－1＝－(m＋n－1)，化简得2m＋n＝2.
方法2：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，
且平行于y轴的直线，
3.二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
????=?????????????????向___平移___个单位长度得到抛物线????=?????????（????+????）?.
?
????=?????????????????向___平移 个单位长度得到抛物线????=?????????（?????????）?.
?
右
思考
左
????=?????????????????
?
????=?????????（?????????）?
?
????=?????????（????+????）?
?
?????
?
+????
?
1
1
????
?
????
?
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
左
右
????=?????????（?????????）?
?
????=?????????????????
?
????=?????????（????+????）?
?
规律：左加右减
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线????=?????????????????就可以得到抛物线????=?????????????+????2?????？
?
探究
????=?????????????????
?
向下平移
1个单位
????=?????????????+????2?????
?
????=?????????????+????2?????
?
????=??????????????????????
?
向左平移
个单位
1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
还可怎样平移？
????=?????????????????
?
向左平移
1个单位
????=?????????????+????2?????
?
????=?????????????+????2?????
?
????=?????????(????+????)????
?
向下平移
个单位
1
二次函数????=???????????? 与????=????（?????????)????+????的图象的关系
?
?????=?????????????
?
?????=??????????????+??????
?
?????=?????(????????????)????
?
?????=?????????????????????? +????
?
平移规律
总结
平移得到
向上（k>0)或下（k<0）
平移????个单位
?
口诀：左右平移在括号，上下平移在末稍；
? 左正右负须牢记，上正下负错不了.
向右（h>0)或左（h<0）
平移h个单位
?
向右（h>0)或左（h<0）
平移h个单位
?
向上（k>0)或下（k<0）
平移????个单位
?
1. 抛物线?????=?????????－?????????????6可以由抛物线????=????????????怎样平移得到?
?
由抛物线向下平移6个单位再向右平移????????个单位得到的.
?
2.如果一条抛物线的形状与?????=?????????－?????????????6形状相同，且顶点坐标是（?4，2），试求这个函数解析式.
?
练一练
?????=?????????+????????+2
?
二次函数????=????(?????????)????+????的图象及性质
?
开口方向
对称轴:直线????=h
?
顶点坐标:（h，????）
?
增减性
课堂小结
y=ax2
????>0,图象开口向上， ????<0,图象开口向下
?
性质
向右(????>????)或向左(?????
向上(????>????)或向下(?????
y=a(?????????)2
?
????=????(?????????)????+????
?
随堂训练
1. 要得到抛物线????=?(????－????)????，可将抛物线????=?????????( )
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
?
C
????????>????????>????????
?
2.若（??????????????，????????）（?????????，????????）（????????，????????）为二次函数????=(?????????)????+????图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为____________.
?
3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）????=????(?????+????)????; （2）????=－????(????－????)????－????;
（3）????=????(????－????)????+????; （4）????=－????(????+????)????－????.
?
解：（1）????=????>????，开口向上，对称轴为直线????=－????，顶点坐标为
（－3，0）;
?
（2）????=－????（1,－2）;
?
（3）????=????>????，开口向上，对称轴为直线????=????，顶点坐标为（????,????）;
?
（4）????=－????（－2, －6）.
?
4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3m，水管应多长?
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
因此可设这段抛物线对应的函数是????=????(????－????)????＋???????(????≤????≤????).
∵这段抛物线经过点(????,????)，∴ ????=????(????－????)????＋????,
解得????=?34.
因此抛物线的解析式为y= ?34 (x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当????=????时,????=????.????????.
即水管应2.25 m长.
?

????
?
????（????，????）
?
????（????，????）
?
????
?
????
?
????
?
谢谢
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