课题：圆周角及推论
【学习目标】
1．学习圆周角、圆内接多边形的概念，圆周角定理及推论．
2．掌握圆周角与圆心角、直径的关系，能用分类讨论的思想证明圆周角定理．
3．会用圆周角定理及推论进行证明和计算．
【学习重点】
圆周角的定理及应用．
【学习难点】
运用分类讨论的数学思想证明圆周角定理．
一、情景导入 感受新知
情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.
问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？
问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？
由此导入课题．(板书课题)
二、自学互研 生成新知
认真看P85“探究”～P86推论上面内容，根据课本回答下列问题：
(1)圆周角的概念
①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
②如图，下列图形中是圆周角的是( C )
(2)圆周角定义
①猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？
②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.
a．如图，∠ACB＝∠AOB.
b．你可以画多少个所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？
可以画无数个．这些圆周角都等于∠AOB的一半．
③想一想：在⊙O中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？
有3种位置关系．如图：
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图1))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图2))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图3))
证一证：
如图1，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A＝∠BOC．理由如下：?∠A＝∠BOC.
如图2，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A＝∠BOC，理由略．
如图3，∠A与∠BOC的大小关系怎样？你是怎样得到的？
答：∠A＝∠BOC，理由略．
归纳：1.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．同弧或等弧所对的圆周角相等．
3．半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
师生活动：
①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图，⊙O的直径AB为10
cm，弦AC为6
cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，BD的长．
解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴在Rt△ACB中，BC＝＝＝8(cm).
同理∠ADB＝90°，又CD是∠ACB的平分线，∴∠DCA＝∠DCB＝∠ACB＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°，∴AD＝BD.
在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2，∴BD＝＝5
cm.
变式：你能求出上题中CD的长吗？
解：作AE⊥CD于E，则△ACE为等腰直角三角形．
由AC＝6，易求AE＝CE＝3
cm.
在Rt△AED中，ED＝＝＝4
cm.
∴CD＝CE＋DE＝7
cm.
四、课堂小结 回顾新知
(1)描述圆周角定理及其推论．
(2)结合图形用数学符号描述定理．
五、检测反馈 落实新知
1．如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为( C )
A．156° B．78° C．39° D．12°
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
2．如图，在⊙O中，已知∠OAB＝22.5°，则∠C的度数为( D )
A．135°
B．122.5°
C．115.5°
D．112.5°
3．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？
第二个工件是合格的．因为半圆所对的圆周角为直角．
六、课后作业 巩固新知课题：圆内接四边形的性质
【学习目标】
1．理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
2．了解圆内接多边形、多边形的外接圆等概念．
3．独自探索并证明圆内接四边形的性质，并能应用该性质解决问题．
【学习重点】
理解圆周角定理的推论，并运用推论进行有关的计算和证明．
【学习难点】
独自探索并证明圆内接四边形的性质，并能应用该性质解决问题．
一、情景导入 感受新知
如图：所对的圆心角是∠AOD，所对的圆周角有∠ABD和∠ACD．∠ABD和∠ACD的大小关系是相等．它们都等于∠AOD度数的一半．
二、自学互研 生成新知
阅读教材P87“思考”到P88“练习”之前的内容：
①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．
②在图中标出和所对的圆心角，这两个圆心角有什么关系？
∠BAD＋∠BCD＝180度，同理可得：∠ABC＋∠ADC＝180度．
③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．
④练习：
a．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝50°，∠BCD＝130°．
b．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，求∠ADE的度数．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＋∠ADC＝180°，
又∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ADE＝∠B＝110°.
c．求证：圆内接平行四边形是矩形．
∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，∴圆内接平行四边形四个角都是直角．
∴圆内接平行四边形是矩形．
师生活动：
①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：生生互动，交流研讨．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，经过点A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过点B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F.
求证：CE∥DF.
证明：连接AB.
∵四边形ABEC是⊙O1的圆内接四边形，
∴∠ACE＋∠ABE＝180°.
∵四边形ABFD是⊙O2的圆内接四边形，
∴∠ADF＋∠ABF＝180°.
又∵∠ABE＋∠ABF＝180°，
∴∠ACE＋∠ADF＝180°，∴CE∥DF.
变式：如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
证明：∵∠A＋∠BCD＝180°，∠BCE＋∠BCD＝180°.∴∠A＝∠BCE.∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．
师生活动：
①明了学情：关注学生解答时存在的疑问和困惑．
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导．
③生生互助：小组内交流、研讨，互相纠错．
四、课堂小结 回顾新知
(1)圆内接四边形的性质．
(2)圆周角定理及其推论．
五、检测反馈 落实新知
1．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( B )
A．115° B．105° C．100° D．95°
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
2．如图，在⊙O中，已知∠AOB＝100°，则∠D＝50°，∠C＝130°．
3．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状并证明你的结论．
解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵∠APC＝∠ABC＝60°，∠CPB＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．
六、课后作业 巩固新知
