2012新课标高考数学（文）一轮复习讲义（带详细解析）集合与常用逻辑用语.doc

第一编　集合与常用逻辑用语
§1.1　集合的概念及其基本运算
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2009·海南，宁夏理，1)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩ NB等于(　　)
A．{1,5,7} B．{3,5,7} C．{1,3,9} D．{1,2,3}
解析　∵A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，
∴ NB＝{1,2,4,5,7,8，…}．∴A∩ NB＝{1,5,7}．
答案　A
2．(2009·福建理，2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，则 UA等于 (　　)
A．{x|0≤x≤2} B．{x|0C．{x|x<0或x>2} D．{x|x≤0或x≥2}
解析　∵x2－2x>0，∴x(x－2)>0，
∴x>2或x<0，∴A＝{x|x>2或x<0}，
UA＝{x|0≤x≤2}．
答案　A
3．(2010·泉州一模)已知集合A＝{x|－1A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
解析　B＝{x|0≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x<1}．
答案　C
4．(2009·辽宁理，1)已知集合M＝{x|－3A．{x|－5C．{x|－5解析　∵M＝{x|－3∴M∩N＝{x|－3答案　B
5．(2009·四川文，1)设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|(x＋7)·(x－3)<0}，则S∩T＝(　　)
A．{x|－7C．{x|－5解析　S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－5答案　C
6．(2009·茂名一模)若集合A＝{x|x2－9x<0，x∈N*}，B＝，则A∩B中元素
的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　A＝{x|0B＝{1,2,4}，∴A∩B＝B.
答案　D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2010·湛江月考)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，
则A∩B＝__________.
解析　A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．但本题要注意列举法的规范书写．
答案　{(0,1)，(－1,2)}
8．(2009·天津文，13)设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩( UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝
0,1,2,3,4}，则集合B＝________.
解析　A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩( UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}
＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．
答案　{2,4,6,8}
9．(2009·北京文，14)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1 A，且k＋1 A，
那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有
集合中，不含“孤立元”的集合共有______个．
解析　由题意知，不含“孤立元”的集合有：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，
{6,7,8}，共有6个集合．
答案　6三、解答题(共40分)
10．(13分)(2010·新乡阶段检测)已知全集为R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x≥a}，并
且M? RP，求a的取值范围．
解　M＝{x||x|<2}＝{x|－2∵M? RP，∴由数轴知a≥2.
11．(13分)(2009·南阳调研)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，
m∈R}．
(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；
(2)若A RB，求实数m的取值范围．
解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，
B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1)∵A∩B＝[0,3]，∴　∴m＝2.
(2) RB＝{x|xm＋2}，∵A RB，
∴m－2>3或m＋2<－1，即m>5或m<－3.
12．(14分)(2010·揭阳模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|解　(1)∵二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，∴a>0.
∴解不等式f(x)＝ax2＋x<0，得集合A＝.
(2)由B＝{x||x＋4|∵集合B是集合A的子集，
∴解得0§1.2　命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2009·重庆文，2)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析　原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案　B
2．(2009·浙江理，2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当a>0且b>0时，一定有a＋b>0且ab>0.反之，当a＋b>0且ab>0时，一定有a>0，
b>0.故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．
答案　C
3．(2008·广东文，8)命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”
的逆否命题是 (　　)
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析　由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝
logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案　A
4．(2010·衡阳四校联考)已知A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x>1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　A＝{x|x≥2或x≤0}，B＝{x|x>2}，
x∈AD /x∈B，但x∈B x∈A.
答案　B
5．(2010·枣庄一模)集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　A＝{x|－4≤x≤4}，若A B，则a>4，
a>4D /a>5，但a>5 a>4.
故“A B”是“a>5”的必要不充分条件．
答案　B
6．(2009·北京文，6)“α＝”是“cos 2α＝”的 (　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　当α＝时，cos 2α＝cos＝；而当α＝－时，cos 2α＝cos＝，这说明当cos 2α＝时，α除外还可以取其他的值．所以“α＝”是“cos 2α＝”的充分而不必要条件．
答案　A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2009·南平三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析　x [2,5]且x {x|x<1或x>4}是真命题．
由得1≤x<2.
答案　[1,2)
8．(2009·广州一模)设p：|4x－3|≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，
则实数a的取值范围是________．
解析　p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，易知p是q的真子集，∴∴0≤a≤.
答案　
9．(2009·江苏，12)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题中，真命题的序号为__________(写出所有真命题的序号)．
解析　命题①是两个平面平行的判定定理，正确；命题②是直线与平面平行的判定定理，
正确；命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直，但α与β只是相交关系，不一定垂直，
错误；命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直，但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直，所以直线l与α垂直的必要不充分条件是l与α内两条直线垂直．
答案　①②
三、解答题(共40分)
10．(13分)(2010·济宁模拟)已知命题p：
命题q：1－m≤x≤1＋m，m>0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解　p：x∈[－2,10]，q：x∈[1－m,1＋m]，m>0，
∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴p q且qD /p.
∴[－2,10]?[1－m,1＋m]．
∴　∴m≥9.
11．(13分)(2009·温州十校第一学期联考)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
解　由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴綈p：x<1或x>5.q：m－1≤x≤m＋1，
∴綈q：xm＋1.
又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，
∴　∴2≤m≤4.
12．(14分)(2010·郑州联考)求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
解　(1)a＝0适合．
(2)a≠0时，显然方程没有零根．
若方程有两异号实根，则a<0；
若方程有两个负的实根，则
必有，解得0综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1.
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负的实根的充要条件是a≤1.
1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．(2010·福州月考)下列有关命题的说法正确的是 (　　)
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“ x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是：“ x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
解析　A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1；B中，x＝－1 x2－5x－6＝0，应为充分条件；C中，命题的否定应为 x∈R，均有x2＋x＋1≥0.
答案　D
2．(2009·济宁联考)下列命题：① x∈R，x2≥x；② x∈R，x2≥x；③4≥3；④“x2≠1”的充要条件是“x≠1，或x≠－1”中，其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　②③正确，故选C.
答案　C
3．(2008·广东理，6)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 (　　)
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈 p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析　不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有(綈p)∨(綈q)为
真命题．
答案　D
4．(2010·杭州七校联考)已知命题p：a2≥0 (a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是 (　　)
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨q
解析　p真，q假，∴p∨q为真，故选A.
答案　A
5．(2009·天津滨海新区五校联考)命题“存在x∈Z使x2＋2x＋m≤0”的否定是(　　)
A．存在x∈Z使x2＋2x＋m>0
B．不存在x∈Z使x2＋2x＋m>0
C．对任意x∈Z使x2＋2x＋m≤0
D．对任意x∈Z使x2＋2x＋m>0
解析　由定义知选D.
答案　D
6．(2010·临沂一模)已知命题p： x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q： x∈R，sin x－cos x＝.
则下列判断正确的是 (　　)
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈 q是假命题
解析　2x2＋2x＋<0 (2x＋1)2<0，p为假；
sin x－cos x＝sin≤，故q为真．
∴綈q为假，故选D.
答案　D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2009·台州期末)若命题p： x∈R，x2－1>0，则命题p的否定是______________．
答案　 x∈R，x2－1≤0
8．(2009·嘉兴基础测试)已知命题p： x∈R，x3－x2＋1≤0，则命题綈p是________________．
答案　 x∈R，x3－x2＋1>0
9．(2010·广州一模)命题“ x∈R，x≤1或x2>4”的否定是__________________．
解析　已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．
答案　 x∈R，x>1且x2≤4
三、解答题(共40分)
10．(13分)(2009·青岛模拟)已知p(x)：x2＋2x－m>0，且p(1)是假命题，p(2)是真命题，求实
数m的取值范围．
解　p(1)：3－m>0，即m<3.
p(2)：8－m>0，即m<8.
∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴3≤m<8.
11．(13分)(2010·常德调研)写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形
式的新命题，并判断其真假．
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同，q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相
等．
解　(1)p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题．
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题．
(3)p或q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程x2＋x－1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2＋x－1＝0的两实数根符号不同，真命题．
12．(14分)(2010·合肥联考)已知两个命题r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.如果对
x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解　∵sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m<－.
又∵对 x∈R，s(x)为真命题，即x2＋mx＋1>0恒成立，有Δ＝m2－4<0，∴－2∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<－，
同时m≤－2或m≥2，即m≤－2，
当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－且－2即－≤m<2.
综上所述，m的取值范围是m≤－2或－≤m<2.