24.1.4 圆周角课件（28张PPT）

第 二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
学习目标
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推
论解决简单的几何问题.（重点）
3.理解圆内接四边形及其性质.（重点）
4.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的
关系”.（难点）
新课导入
问题：指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？
A
B
C
O
一、圆周角
知识讲解
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
A
B
C
O
顶点在圆内
顶点在圆外
圆周角
圆心角
·
C
O
A
B
C
O
B
C
A
B
A
B
C
O
A
B
C
O
B
A
A
想一想：下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
C
（4）
边AC没有与圆相交
圆周角
O
二、圆周角定理及其推论
想一想：1.图中圆心角∠BOC与圆周角∠BAC存在怎样的数量关系.
2.是不是所有的圆心角和圆周角都符合这个数量关系呢？需要满足什么样的条件呢？
A
B
C
O
（1）当圆心O在∠BAC的一边上时（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
A
B
C
O
O
A
B
D
O
A
C
（2）圆心O在∠BAC的内部时
C
O
D
O
（3）当圆心O在∠BAC的外部时
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
想一想：怎样证明等弧所对的圆周角相等呢？通过一道题目来探讨一下.
A1
A2
A3
A
B
C
O
如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
理由如下：
连接DO，AO，BO.
∵ AB=AD
∴∠AOB=∠AOD.
又∠1=12∠AOB ， ∠2=12∠AOD
∴∠1=∠2.
?
⌒
⌒
⌒
解：∠1=∠2.
推论2
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
想一想：如图，点A，B，C，D在同一个圆上，AC，BD为四边形ABCD的对角线.
若AC是半圆，
∠ADC = ，
∠ABC = .
90°
90°
若AC是直径，
例1 如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.
（1）求DC的长；
（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．
B
解：(1)∵AC是直径，
∴ ∠ADC=90°.
在Rt△ ADC 中，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
(2)∵ AC是直径,∴ ∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB ,∠BAC=∠BDC .
∴ ∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
B
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.

归纳
三、圆内接四边形及其性质
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
1.圆内接多边形
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+ ∠C=180?，∠B+ ∠D=180?
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
证明：连接OB，OD.
∵∠A所对的弧为 ，∠C所对的弧为 ，
又 和 所对的圆周角的和是周角，
∴∠A+∠C=360°÷2=180°.
同理∠B+∠D=180°.
2.圆内接四边形的性质
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠DCB＝180°，
E
∠DCB＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
拓展
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？
例2 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC.
随堂训练
1.判断：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）
（3）90°的角所对的弦是直径. （ ）
（4）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
×
×
×
2. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
3.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB=（ ）
A.70° B.110° C.90° D.120°
A
C
B
O
D
E
B
4.如图，AB是⊙O的直径， C，D是圆上的两点，∠ABD=40°，
则∠BCD=＿＿＿.
50°
5.已知△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°,∠ABC=47°，
则∠AOB= ．
A
B
O
C
D
B
A
C
O
166°
6.如图，已知圆心角∠AOB=100°，则圆周角∠ACB= ，
∠ADB= .
D
A
O
C
B
130°
50°
7.如图，△ABC的顶点A，B，C都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，则⊙O的半径是 .
C
A
B
O
解析：连接OA，OB.
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °.
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=2，即⊙O的半径为2.
2
8.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30° ， ∠BDC=20° ，
∴∠C=180°?∠CBD?∠BDC=130°.
∴∠A=180°?∠C=50°.
?
变式：已知∠OAB等于40°,求∠C 的度数.
A
B
C
O
D
9.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
解：AB＝AC.
证明如下：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC.
∵BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC.
(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？
解：当△ABC为正三角形时，
E是 AC的中点．
理由如下：连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.
∵△ABC为正三角形，
∴AE＝EC，
即E是AC的中点．
课堂小结
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
1.同弧或等弧所对的圆周角相等；
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆内接四边形
圆内接四边形的对角互补
谢谢
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