24.1.2 垂直于弦的直径课件（21张PPT）
文档属性
| 名称 | 24.1.2 垂直于弦的直径课件（21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-08-24 13:07:37 | ||
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文档简介
第 二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
学 习 目 标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
新课导入
宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
在切蛋糕的过程中，你有什么发现？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
垂径定理及其推论
知识讲解
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
线段: AE=BE；
劣弧: AC=BC, AD=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
理由如下：连接????????,????????.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
?
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
（1）垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
⌒
⌒
AC =BC，
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳
·
O
A
B
D
C
P
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，
AC =BC,
⌒
⌒
⌒
⌒
AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）垂径定理的推论
⌒
⌒
CD⊥AB,
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径，
AE=BE
推导格式
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
提示：
圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.
O
A
B
N
D
M
C
一条直线满足五个条件：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦（非直径）
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
①②
③④⑤
知二推三
总结：
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA.
∵ CE⊥AB 于D，
设OC=xcm，则OD =（x-2）cm.
根据勾股定理，得
解得x=5.
即半径OC 的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长.
∴AD =12AB=4cm.
?
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
（2）弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
拓展归纳
随堂训练
1.判断下列说法的正误
(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . ( )
(2)平分弦的直线必垂直弦 .
(3)弦的垂直平分线是圆的直径 .
( )
( )
(4) 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= .
????????????cm
?
4. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN =12cm，EF =16cm，则弦MN 和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
5.在直径为40mm的圆柱形油槽内装入一些油后，
截面如图所示.若油面宽AB = 32mm，则油的最大
深度是 .
32
8mm
B
C
D
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
课堂小结
垂径定理
定理
推论
辅助线
一条直线满足五个条件:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两类辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
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24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
学 习 目 标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
新课导入
宝宝要过生日了！妈妈买来了蛋糕，要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
在切蛋糕的过程中，你有什么发现？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
垂径定理及其推论
知识讲解
问题1： 如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
线段: AE=BE；
劣弧: AC=BC, AD=BD.
⌒
⌒
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理由如下：连接????????,????????.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
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·
O
A
B
C
D
E
（1）垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
⌒
⌒
AC =BC，
⌒
⌒
AD =BD.
推导格式
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳
·
O
A
B
D
C
P
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P.求证：AP=BP，
AC =BC,
⌒
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⌒
AD =BD.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
∠AOC=∠BOC.
从而∠AOD=∠BOD.
想一想：能不能用所学过的知识证明垂径定理？
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
（2）垂径定理的推论
⌒
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CD⊥AB,
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD
CD是直径，
AE=BE
推导格式
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
思考：
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
提示：
圆的两条直径是互相平分的，但是不一定相互垂直.
O
A
B
N
D
M
C
一条直线满足五个条件：
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦（非直径）
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
①
⑤
③④②
①
④
③②⑤
①③
②④⑤
①
④
⑤
②
③
①②
③④⑤
知二推三
总结：
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA.
∵ CE⊥AB 于D，
设OC=xcm，则OD =（x-2）cm.
根据勾股定理，得
解得x=5.
即半径OC 的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
例 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝ 2cm，求半径OC的长.
∴AD =12AB=4cm.
?
在圆中有关弦长a，半径r， 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
（1）涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
（2）弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
拓展归纳
随堂训练
1.判断下列说法的正误
(1)垂直于弦的直径平分这条弦 . ( )
(2)平分弦的直线必垂直弦 .
(3)弦的垂直平分线是圆的直径 .
( )
( )
(4) 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
2.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
5cm
3.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°，则弦AC= .
????????????cm
?
4. 已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN =12cm，EF =16cm，则弦MN 和EF之间的距离为 .
14cm或2cm
5.在直径为40mm的圆柱形油槽内装入一些油后，
截面如图所示.若油面宽AB = 32mm，则油的最大
深度是 .
32
8mm
B
C
D
6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
解：AC＝BD.理由如下：
过点O作OE⊥AB，垂足为点E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
课堂小结
垂径定理
定理
推论
辅助线
一条直线满足五个条件:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两类辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
谢谢
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