4.1 函数（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版八年级数学上册第四章一次函数
4.1
函数
【知识清单】
一、函数：
一般地，如果在一变化过程中有两个变量x与y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
二、函数的三种表示法：
(1)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
(2)关系式(解析)法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式(解析)法.
(3)图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法.
三、自变量取值范围：
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围.一般地函数表达式为整式(自变量可取全体实数)，函数表达式为分式(分母不为0)、函数表达式为二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑.
四、函数值：
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
【经典例题】
【例题】1、如图是某市冬季某一天气温变化情况曲线．
(1)这个曲线图反映了哪两个变量之间的关系？
(2)根据图象，观察并回答，当t为何值时，这天
的气温最高？当t为何值时，这天的气温最低？
当t为何值时，这天的气温为0℃？
(3)哪段时间气温不断下降？哪段时间气温不断上升？
【考点】函数的图象．
【分析】(1)根据函数图象得出其中变量之间关系；(2)、(3)利用函数图象直接得出答案．
【解答】(1)一天中时间t(时)与温度T(℃)两个变量之间关系；
(2)t=14时气温最高9℃，t=4时，气温最低2℃．
t=6时和24时时，气温为0℃.
(3)0时～4时和14时～24时气温不断下降；4时～14时气温不断上升.
【点评】本题考查了函数的图象，要求同学们能看懂图象，正确理解函数图象横、纵坐标表示的意
义，理解图象的变化过程是解题关键．
例题2、下表是某网站公布的世界人口数据及预测情况：
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2026
2050
人口数(亿)
30
40
50
60
70
80
80+
(1)表中分别有几个变量？
(2)你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
(3)如果用x表示时间，y表示世界人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
(4)世界人口每增加10亿，所需时间是怎样变化的？．
【考点】表中信息的应用．
【分析】运用数学基础知识，认真审题是解决问题的关键，表中涉及到的变量年份及人口数，而每个年份都对应惟一的人口数，符合函数的定义.
【解答】(1)表中有两个变量：一个是时间(年份)，另一个是人口数；
　
　
(2)我们可以将人口数看成是时间(年份)的函数；
　　
(3)由表格可知：随着x的增大，y逐渐增大；
　　
(4)世界人口由30亿增加到40亿，花了17年时间；由40亿增加到50亿，花了13年时间；由50亿增加到60亿，花了12年时间；由60亿增加到70亿，花了11年时间；由70亿增长到80亿，花了15年时间．因此世界人口每增加10亿，所需时间是先逐渐减少，后逐渐增加．
【点评】理解表中的数据以及对应关系，从表中得到必要的信息是解决本题的关键．
【夯实基础】
1、如图所示反映两个变量中，其中y是x的函数的是
(　　)
2、在下列等式中，y是x的函数的有
(
)
①5x7y=6；②x2y2=1；③y=2；④y=?；
⑤x=；⑥y=3x22x+5.
A．1个??
B．2个
C．3个??
?D．4个
3、在下列关系中表示函数的是(　　)
(1)在直角三角形中一锐角Y与另一锐角X之间的关系；(2)圆的面积S与其周长p之间的关系；(3)长方形的周长为20，宽为x，则面积y与时间x之间的关系；(4)三角形的面积为a(常数)，则这个三角形底边为y，底边上的高为x之间的关系．
A．(2)(4)
B．(1)(2)(3)(4)
C．(1)(2)(3)
D．(1)(4)
4、根据下图所示程序计算函数值，若输入x的值为，则输出的函数值为(　　)
A．7
B．
C．
D．
5、(1)暑假到来之际学校为了增加学生的课外知识，提高学生的阅读能力，图书馆准备将1200本图书借给学生阅读，若每人6本，则余下书数y(本)与借阅学生数x(位)间的关系为______．
(2)火车以40千米/时的速度行驶，它走过的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系
是
，其中自变量是
，因变量是
.
6、(1)已知x=2，则函数y=4xx2的值为
.
(2)已知=24，
=3，则x、y的等量关系为
.
7、(1)直角三角形中，一直角边为3，则斜边y与另一直角边x之间的函数关系式为________.
(2)老张的是养鸡专业户，为了扩规模计划再建一个长方形鸡舍，鸡舍的一边利用足够长的墙，
老张购买了篱笆256米．要建成的鸡舍是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，
AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是
，自变量x取值范围是
．
8、下表是某公共电话亭打长途电话的几次收费记录(不满1分钟的按1分钟收费)：
时间(分)
1
2
3
4
5
6
7
电话费(元)
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
(1)上表反映了哪两个变量间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用x表示时间，y表示电话费，那么随x的变化，y的变化趋势是什么？
(3)某人打了5.5分钟电话，那么电话费需付多少元？
9、?一根弹簧原长为15cm，它能挂的质量不超过26kg，并且每挂重1kg就伸长0.5cm．
(1)写出挂重后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数表达式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当挂重12kg时，求此弹簧的长度；
(4)弹簧长度为26cm时，求此时所放物体的质量．弹簧的长度能否为29cm？
【提优特训】
10、一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t(h)，航行的路程为s(km)，则s与t的函数图象大致是(　　)
11、若函数y=
，则x的取值范围是(　　)
A．x>5
B．x≥5
C．x≠0
D．x≠5
12、一个长方形的周长为24，一边长为x，则它的另一边长y为关于x的函数解析式为
(　　)
A．y=12x(x<12)
B．y=12x(0C．y=12x(x>0)
D．y=12x
x(013、某人从家出发，到一个超市购物，购物后这个人到售报亭买报纸，然后回家.如图描述了这个人在购物过程中离家的距离s(米)与购物所用的时间t(分)之间的函数关系，用一个曲线图直观的表示出来.
根据图象，下列信息错误的是(
)
A．这个人购物用时20分钟
B．超市阅报栏距这个人家240米
C．这个人购物后去报停用时10分钟
D．这个人从报停回家的速度为每分钟3米
14、已知等腰三角形的周长为32cm，则腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系式为
，其中自变量x的取值范围是
．
15、某电影院共有座位28排.第一排有20个座，后一排比前排多2个座，则每排的座位数m与这排的排数数n之间的函数关系式为
.
16、设y=ax7+bx5+cx3+dx+5，其中a，b，c，d为常数．当x=11时，y=5，当x=11时，y的
为
．
17、如图所示，是就餐示意图，按图中桌子的排放规律，请观察图形回答下列问题：
(1)根据图示填写下表：
桌子张数x(张)
1
2
3
4
5
6
…
就坐人数y(位)
6
10
14
18
22
26
…
(2)写出x与y的函数关系式；
(3)求当x=10
时，函数y的值；当x=17
时，函数y的值；
(4)如果一共有54人，需要拼多少张桌子才能坐下？能否同时坐80人呢？
18、已知函数f
(x)=1+，其中f
(a)表示x=a时，对应的函数值，
如f
(1)=1+，
f
(2)=1+，
f
(3)=1+，…，f
(a)=1+，
求f
(1)×f
(2)×f
(3)×…×f
(2021)的值.
【中考链接】
19、(2019?四川自贡)如图1均匀地向一个容器注水，在注满水过程中，水面高度h与时间t的函数
关系，则该容器是下面四个中的(??)
20、(2019?资阳)爷爷在离家900米的公园锻炼后回家，离开公园20分钟后，爷爷停下来与朋友聊天10分钟，接着又走了15分钟回到家中．下面图形中表示爷爷离家的距离y
(米)与爷爷离开公园的时间x
(分)之间的函数关系是(???)
21、
(1)(2019?江苏无锡)
函数y=中自变量x的取值范围
A．x>2
B．?x≥2
C．
x≤2
D．x≠2
(2)
(2019?眉山)函数y=中，自变量x的取值范围
A．x<3
B．?x≤3
C．
x>3
D．x≥3
(3)
(2019?广元)
函数y=自变量x的取值范围
A．x>1
B．?x<1
C．
x≥1
D．x≤1
22、
(1)
(2019?四川乐山)
函数y=的自变量x的取值范围
x≥2
(2)
(2019?岳阳)
函数y=的自变量x的取值范围x≥-2
参考答案
1、D
2、D
3、B
4、C
5、(1)y=12006x、(2)s=40t，t，s
6、(1)1、(2)y=2x+3
7、(1)
(2)
，010、D
11、B
12、B
13、D
14、，015、m=20+2(n1)
16、15
19、D
20、B
21、(1)C
(2)B
(3)C
22、(1)x≥2
(2)
)x≥2
8、下表是某公共电话亭打长途电话的几次收费记录(不满1分钟的按1分钟收费)：
时间(分)
1
2
3
4
5
6
7
电话费(元)
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
(1)上表反映了哪两个变量间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用x表示时间，y表示电话费，那么随x的变化，y的变化趋势是什么？
(3)某人打了5.5分钟电话，那么电话费需付多少元？
解：(1)上表反应的是时间和电话费两个变量之间的关系，时间是自变量，电话费是因
变量；
(2)根据图表数据得出：随着x的增大，y的值相应的也增大；
(3)由图表中数据直接得出：某人打了5.5分钟电话，那么电话费需付3.6元．
9、?一根弹簧原长为15cm，它能挂的质量不超过26kg，并且每挂重1kg就伸长0.5cm．
(1)写出挂重后的弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数表达式；
(2)求自变量x的取值范围；
(3)当挂重12kg时，求此弹簧的长度；
(4)弹簧长度为26cm时，求此时所放物体的质量．弹簧的长度能否为29cm？
?解：(1)根据已知可得：y=15
+x．
(2)由题意可知：0≤x≤26．
(3)令x=12，则y=15
+x
=21．
答：当放重物15kg后，此弹簧的长度为21cm．
(4)令y=26，则15
+x
=22，
解得：x=22．
故弹簧长度为26cm时，此时所放物体的质量为22kg．
令x=26，则y=15
+x
=28．
∵28＜29，∴弹簧的长度不能为29cm．
17、如图所示，是就餐示意图，按图中桌子的排放规律，请观察图形回答下列问题：
(1)根据图示填写下表：
桌子张数x(张)
1
2
3
4
5
6
…
就坐人数y(位)
6
10
14
18
22
26
…
(2)写出x与y的函数关系式；
(3)求当x=10
时，函数y的值；当x=17
时，函数y的值；
(4)如果一共有54人，需要拼多少张桌子才能坐下？能否同时坐80人呢？
解：(2)1张桌子可坐4×1+2=6人，
2张桌子拼在一起可坐2×4+2=10人，
3张桌子拼在一起可坐3×4+2=14人，
4张桌子拼在一起可坐4×4+2=18人，
…
那么x张桌子坐(4x+2)人．
∴x与y的函数关系式为：y=4x+2；
(3)当x=10
时，y=4x+2=42，当x=17
时，y=4x+2=70；
(4)当y=54时，4x+2=54，解得x=13，
∴需要拼13张桌子才能坐下；
当y=80时，
4x+2=80，解得x=，
∴不能否同时坐80人.
18、已知函数f
(x)=1+，其中f
(a)表示x=a时，对应的函数值，
如f
(1)=1+，
f
(2)=1+，
f
(3)=1+，…，f
(a)=1+，
求f
(1)×f
(2)×f
(3)×…×f
(2021)的值.
解：f
(1)×f
(2)×f
(3)×…×f
(2021)
=(1+)×(1+)×(1+)×…×(1+)×(1+)
=×××××…××
=2045253.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
第17题图1
第17题图2
第17题图3
第8题图
第19题图1
例题1图
A
B
C
D
第13题图
第4题图
第17题图1
第17题图2
第17题图3
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