24.3 正多边形和圆课件（22张PPT）

第 二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
2020年秋人教版数学九年级上册精品课件
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系. (重点)
3.掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．
4.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.（难点）
新课导入
问题1： 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：
各边相等，各内角都相等的多边形.
问题2： 观看大屏幕上这些美丽的图案,都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
一.正多边形的定义
知识讲解
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题： 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？正方形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等
不是，因为菱形不符合各角相等
是，因为正方形的各边相等，各角也相等
二.正多边形的对称性
正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
总结：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
三.正多边形与圆的关系
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
A
B
C
D
·
得到一个正方形
把⊙O 进行五等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .这个五边形是正五边形吗？
·
O
A
E
D
C
B
∴ ∠A=∠B.
同理∠B=∠C=∠D=∠E.
又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
∴ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴BCE=CDA=3AB,
∵AB=BC=CD=DE=EA,
四.正多边形的有关概念
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距r
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
每一条边所对应的弦心距
正多边形的边心距
M
五.正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
② OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是
△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式:________________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
（1）正n边形的每个内角都等于?????2.180°????=180°?360°????.
（2）正n边形的每个中心角都等于360°????.
（3）正n边形的每个外角都等于360°????.
?
例 如图，公园里有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).
利用勾股定理,可得边心距
亭子地基的面积
在Rt△OPC中,OC＝4m, PC＝
4m
O
A
B
C
D
E
F
P
r
R
解：连接OB,OC.
因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于
△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
过点O作OP⊥BC，垂足为P.
六.正多边形的画法
1. 已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°.
120 °
O
C
A
B
2. 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？
·
A
B
C
D
O
·
A
B
C
D
E
O
O
A
B
C
D
E
F
·
90°
72°
60°
3.你能尺规作出正方形、正八边形吗？
·
A
B
C
D
O
只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
4. 你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？
O
A
B
C
E
F
·
D
作法：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………
随堂训练
1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（　　）
A．互余 B．互补 C．互余或互补 D．不能确定
2．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（　　）
A． ????? B．2 ???? C．???????? D．1
3.如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（　　）
A．4 B．2 C． ???? D． ????
?
D
C
A
4．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n=_____．
5.如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝ ．
24
72°
1
6.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
解：（1）连接OB，OC.
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°.
∴∠P= ????????∠BOC=45°；
（2）连接OB，过点O作OE⊥BC于点E.
∵OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBE=45°.
∴OE=BE.
∵OE2+BE2=OB2，OB=8，
∴BE=4???? .
∴BC=2BE=2×4 ?????=8 ???? ．
?
E
课堂小结
正多边形
正多边形的定义与对称性
正多边形的有
关概念及性质
①正多边形的内角和=
②中心角=
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
谢谢
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