人教a版 必修二 第二章 2.1 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 配套课件

(共19张PPT)
2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1．给出下列四个命题，其中正确的是(
)
B
①在空间若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一
条相交；
④空间四条直线 a、b、c、d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，
那么 b∥c.
A．①②③
B．②④
C．③④
D．②③
解析：①错，可以异面．②正确，公理 4.③错误，和另一
条可以异面．④正确，由平行直线的传递性可知．
2．空间两条互相平行的直线指的是(
)
D
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线．
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
3．若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则(
)
A．a∥c
D
B．a 和 c 是异面直线
C．a 和 c 相交
D．a 和 c 或平行或相交或异面
4．一条直线和两条异面直线中的一条相交，则它与另一条
的位置关系是(
)
D
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或相交或异面
重点
两直线的位置关系及公理 4
1．空间两条直线的位置关系：
2．公理 4：平行同一条直线的两条直线互相平行，它反映
了空间中的平行线也具有传递性．
3．等角定理：空间中如果两个角的两边分别平行，那么这
两个角相等或互补．
难点
两异面直线所成的角
已知两条异面直线 a、b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥a，
b′∥b，把 a′、b′所成的锐角(或直角)叫异面直线 a、b 所成
的角(或夹角)．a′、b′所成的角的大小与点 O 的选择无关，
为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的
角的范围为(0,90°]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫
两条异面直线垂直，记作 a⊥b.求两条异面直线所成角的步骤可
以归纳为四步：选点→平移→定角→计算．
特别注意：如果已知条件中有中点，应首先考虑三角形的
中位线．
判断空间两直线的位置关系
例 1：下列说法正确的有(
)
①平行于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两条直线平行；
③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
④与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条．
A．1 个
C．3 个
B．2 个
D．4 个
思维突破：①③正确．②④在平面内成立，在空间中不成
立，如图 1 中，A1A⊥AD，AB⊥AD，但 A1A∩AB＝A，故②不
正确；④在空间中有无数条．
图 1
答案：B
判断空间两直线的位置关系需紧扣概念，
结合平移的思想，发挥空间想象力，借助长方体等几何模型，
得出正确答案．
1－1.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AA1、AB
的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：
(1)AB 与 CC1 _______；(2)A1B1 与 DC _____；
(3)A1C 与 D1B _____；(4)DC 与 BD1 ________；
(5)D1E 与 CF _____．
1－2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一
)
D
条的位置关系是(
A．平行
C．异面
B．相交
D．相交或异面
异面
平行
相交
异面
相交
平行公理的应用
例 2：空间四边形 ABCD 中，P、Q、R、H 分别是 AB、BC、
CD、DA 的中点．
(1)求证：四边形 PQRH 是平行四边形；
(2)若 AC＝BD，则四边形 PQRH 是什么四边形？
(3)若 AC⊥BD，则四边形 PQRH 是什么四边形？
(4)空间四边形 ABCD 满足什么条件时，PQRH 是正方形？
解：(1)在△ABD 中，P、H 分别为 AB、AD 的中点，
即 PH 为中位线．
∴PH＝PQ.
∴平行四边形 PQRH 为菱形．
(3)∵AC⊥BD，∴异面直线 AC 与 BD 所成角为直角．
∵PH∥BD，PQ∥AC，
∴∠HPQ 为 AC 与 BD 所成的角．
∴∠HPQ＝90°，即四边形 PQRH 为矩形．
(4)由(2)、(3)的证明可知，当 AC＝BD 且 AC⊥BD 时，四边
形 PQRH 为正方形．
2－1.如图 2，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，E、F、G、H
分别为 AB、AD、C1B1、C1D1 的中点，试判断下列直线是否平行．
图 2
(1)AD1 与 BC1；(2)EF 与 GH；(3)DE 与 HB1.
解：(1)平行．
∴ABC1D1 是平行四边形，∴AD1∥BC1.
(2)平行．
∵EF∥BD∥B1D1∥GH.
(3)平行．
取CD 中点为 S，连接 BS，可证 DE∥BS∥HB1.
求异面直线所成的角．
例 3：如图 3，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中．
图 3
(1)哪些棱所在的直线与直线 BA1 是异面直线？
(2)哪些棱所在的直线与直线 AA1 垂直？
(3)直线 BA1 和 CC1 的夹角是多少？
(4)直线 BA1 和 B1C 的夹角是多少？
(5)直线 BD 和 AC1 的夹角是多少？
解：(1)经过顶点 B、A1 的六条棱与直线 BA1 都相交，不是
异面直线，其余六条 CD、C1D1、CC1、DD1、C1B1、DA 与直线
BA1 都是异面直线．
(2)根据异面直线所成角的定义知，上底面、下底面的四条棱
都和直线 AA1 垂直，即 AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、
D1A1 所在的直线与直线 AA1 垂直．
(3)因为 CC1 ∥BB1，则∠B1BA 为直线 BA1 和 CC1 的夹角，
显然为 45°.
(4)连接 BD、A1D，因为 A1D ∥B1C，则∠BA1D 为直线 BA1
和 B1C 的夹角，又△ A1BD 是正三角形，所以∠BA1D＝60°.
(5)分别取 B1B、D1D 的中点 E、F，连接 AE、EC1、C1F、
FA 、EF，显然 EF∥BD，四边形 AEC1F 为菱形，EF⊥AC1，即
BD⊥AC1，故直线 BD 和 AC1 的夹角是 90°.
求异面直线所成角的基本方法就是平移，
有时候平移两条直线，有时候只需要平移一条直线，得到两条
相交直线，最后在三角形或四边形中解决问题．
图 4
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：连接 BC1、A1B、A1C1、EF，则 EF∥A1B，GH∥BC1，
∴∠A1BC1 是异面直线 EF、GH 所成的角,∵在正方体中,△ A1BC1
是等边三角形，∴∠A1BC1＝60°.
B
所成的角等于(
)
3－1.如图 4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、
H 分别为 AA1、AB、BB1、B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH
例 4：若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点，则(
)
A．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行
B．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直
C．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交
D．过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面
正解：B
错因剖析：由公理 4 知过点 P 没有与 l、m 都平行的直线；
C、D 选项中，都有无数条直线．
4－1.(2010 年江西)如图 5，过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的
顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB、AD、AA1 所成的角都相等，这
样的直线 l 可以作(
)
图 5
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：如图 13，将 A 移到 O 点，对应在 O 点建立坐标系，
形成 x 轴、y 轴、z 轴，l 与 x、y、z 轴所成角相等，这样的直线
刚好是 4 条体对角线所在直线，所以 4 条．
图 13
答案：D