人教a版 必修二 第二章 2.1 2.1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 配套课件

(共15张PPT)
2．1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1．以下命题正确的是(
)
C
A．两个平面可以只有一个交点
B．一条直线与一个平面最多有一个公共点
C．两个平面有一个公共点，则它们一定相交
D．两个平面有三个公共点，它们一定重合
2．下列命题正确的是(
)
C
A．若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l∥α
B．若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意一直线平
行
C．两条平行线中的一条直线与一个平面相交，那么另一条
也与这个平面相交
D．若一直线 a 和平面α内一直线 b 平行，则 a∥α
3．若一条直线平行于一个平面，这条直线就与这个平面内
)
B
的任意直线(
A．平行
C．异面
B．不相交
D．相交或异面
4．下列命题中，正确的是(
)
B
A．直线 a∥平面α，则 a 平行于α内任何一条直线
B．直线 a 与平面α相交，则 a 不平行于α内的任何一条直线
C．直线 a 不平行于平面α，则 a 不平行于α内任何一条直线
D．直线 a 不垂直于平面α内的某一条直线，则 a 不垂直于α
内任何一条直线
重点
直线与平面、平面与平面的位置关系
1．直线与平面的位置关系有且只有三种：
(1)直线和平面有无数个公共点——直线在平面内，记作：
l α；
(2)直线和平面有且只有一个公共点——直线与平面相交，
记作：l∩α＝P；
(3)直线和平面没有公共点——直线与平面平行，记作：l∥
α.
2．两个平面之间的位置关系有且只有两种：
(1)两个平面有一条公共的直线——相交，记作α∩β＝l；
(2)两个平面没有公共点——平行，记作α∥β.
特别注意：直线在平面内也叫平面经过直线，如果直线不
在平面内，记作：l α，包括直线与平面相交及直线与平面平行
两种情形．
判断直线与平面的位置关系
例 1：两条相交直线 a、b 都在平面α内且都不在平面β内，
且平面α与β相交，则 a 和 b(
)
A．一定与平面β都相交
B．至少一条与平面β相交
C．至多一条与平面β相交
D．可能与平面β都不相交
答案：B
思维突破：设α∩β＝c，∵若 a、b 都不与β相交，则 a∥c，
b∥c，∴a∥b，这与 a、b 相交矛盾，故 a、b 中至少一条与β相
交．
1－1.下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，
则 l∥α；②若直线 a 在平面α外，则 a∥α；③若直线 a∥b，直
线 b α，则 a∥α；④若直线 a∥b，b α，那么直线 a 就平行
于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为( )
A．1 个
C．3 个
B．2 个
D．4 个
解析：①错，l 可能在平面α内；②错，直线 a 在平面α外有
两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面α内；
④正确，无论 a 在平面α内或 a∥α，在平面α内都有无数条直线
与 a 平行．
A
判断平面与平面的位置关系
例 2：判断下列命题的真假：
(1)若两个平面都与第三个平面平行，则这两个平面平行；
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行；
(3)若一个平面内有三个不共线的点到另外一个平面的距离
相等(距离不为 0)，则这两个平面平行；
(4)垂直于同一个平面的两个平面平行．
思维突破：判断空间中平面与平面的位置关系时，可根据
题目中的具体条件展开空间想象．
解：(1)(2)是真命题，(3)(4)是假命题．
(3)会出现三点在这个平面的两侧且符合条件的情况，所以
这两个平面还可能相交．
(4)会出现两个相交平面同时与另外一个平面垂直的情况，
如正方体中共顶点的三个面．
要判断一个命题是假命题，只需举出一个
反例；而要想说明一个命题是真命题，则需理论上的证明．
A．平行
C．平行或相交
B．相交
D．垂直相交
解析：有平行、相交两种情况，如图 14.
图14
C
平行，那么这两个平面的位置关系是(
)
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相
理解直线与平面的位置关系
例 3：下列命题为假命题的是(
)
A．直线 a 与平面α的位置关系有且只有 a α、a α中的一
种
B．直线 a 与平面α的位置关系有且只有 a α、a∩α＝ 、
a∩α＝A 中的一种
C．已知直线 a 和平面α满足 a∩α＝ ，那么 a∥α
D．若直线 a 和平面α满足 a α，则 a∥α
答案：D
3－1.有以下命题，正确命题的序号是______.
①②
①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面
平行；
③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面
平行；
④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．
例 4：经过两条异面直线 a、b 外的一点 P 可以作几个平面
与 a、b 都平行？请证明你的结论．
正解：可作 0 个或 1 个平面与 a、b 都平行．证明如下：
(1)当点 P 所在位置使得 a、P(或 b、P)本身确定的平面平行
于 b(或 a)时，过点 P 作不出与 a、b 都平行的平面．
(2)当点 P 所在位置使得 a、P(或 b、P)本身确定的平面与
b(或 a)不平行时，可过点 P 作 a′∥a，b′∥b.因为 a、b 是异
面直线，所以 a′、b′不重合且相交于 P.因为 a′∩b′＝P，
a′、b′可以确定平面α，所以可作 1 个平面与 a、b 都平行．
综上所述，可作 0 个或 1 个平面与 a、b 都平行．
错因剖析：没有考虑点 P 的不同位置．
4－1.设异面直线 a 与 b 所成角为 50°，O 为空间一定点，
试讨论，过点 O 与 a、b 所成的角都是θ(0°≤θ≤90°)的直线 l
有且仅有几条？
解：过点 O 作 a1∥a，b1∥b，则相交直线 a1、b1 确定一平
面α.a1 与 b1 夹角为50°或130°，设直线OA 与 a1、b1 均为θ角，
作AB⊥平面α于点B，BC⊥a1 于点C，BD⊥b1 于点D，记∠AOB
＝θ1，∠BOC＝θ2，(θ2＝25°或65°)，
则有cosθ＝cosθ1·cosθ2，
因为0°≤θ≤90°，所以0≤cosθ≤cosθ2.
当θ2＝25°时，由θ≤cosθ≤cos25°，得 25°≤θ≤90°.
当θ2＝65°时，由θ≤cosθ≤cos65°，得 65°≤θ≤90°.
故当θ<25°时，直线 l 不存在；
当θ＝25°时，直线 l 有且仅有 1 条；
当 25°<θ<65°时，直线 l 有且仅有 2 条；
当θ＝65°时，直线 l 有且仅有 3 条；
当 65°<θ<90°时，直线 l 有且仅有 4 条；
当θ＝90°时，直线 l 有且仅有 1 条．