人教a版 必修二 第二章 2.2 2.2.3 平面与平面平行的性质 配套课件

(共18张PPT)
2．2.3 平面与平面平行的性质
1．下列四个命题中，假命题是(
)
C
A．如果平面α内有两相交直线与平面β内的两条相交直线对
应平行，则α∥β
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．如果平面α内有无数条直线都与平面β平行，则α∥β
D．如果平面α内任意一条直线都与平面β平行，则α∥β
2．若平面α∥平面β，直线 a α，点 B∈β，则在β内过点 B
的所有直线中(
)
D
A．不一定存在与 a 平行的直线
B．只有两条与 a 平行的直线
C．存在无数多条与 a 平行的直线
D．存在唯一一条与 a 平行的直线
3．下列命题中，真命题的个数是(
)
D
①如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于
另一个平面；②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直
线与另一个平面没有公共点；③两个平面平行等价于一个平面
内的任意一条直线与另一个平面没有公共点．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．下列命题中，真命题的个数是(
)
C
①如果两个平面平行，那么分别在两个平面内存在直线 a、
b，使 a∥b；②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行；③如果两个平面平行，那么第一个平面内的
直线与第二个平面内的直线平行．
B．1 个
D．3 个
A．0 个
C．2 个
解析：①、②真，③假．
重点
面面平行的性质定理
1．面面平行的性质(1)：如果两个平行平面同时与第三个平
面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：α∥β，γ∩
α ＝a，γ∩β＝b a∥b.如图 1.
图 1
2．面面平行的性质(2)：α∥β，l α l∥β.
特别注意：本定理既是面面平行的性质定理，也是线面平
行的判定定理，因此证明线面平行，也可借助于面面平行．
难点
面面平行的判定及性质中的关系转换
利用两个平行平面的性质解题时，要注意常把面面平行的
问题转化成线面平行或线线平行的问题．
(1)两个平面平行，可得其中一平面内的任一直线平行于另
一个平面，此性质定理可简记为：面面平行，则线面平行；
(2)两个平面平行，可得两个平面与第三个平面相交，它们
的交线平行，而不是两个平面内的任意两条直线平行，此性质
定理可简记为：面面平行，则线线平行．
面面平行的性质定理的应用
例 1：如图 2，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 在 AB1 上，
F 在 BD 上，且 B1E＝BF，
求证：EF∥平面 BB1C1C.
图 2
＝
＝
证法一：连接 AF 并延长交 BC 于 M，连接 B1M，
∵AD∥BC，∴ AFD∽MFB，
∴
AF
FM
DF
BF
.
又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE.
∴
AF AE
FM B1E
，∴EF∥B1M，B1M 平面 BB1C1C.
∴EF∥平面 BB1C1C.
证法二：作 FH∥AD 交 AB 于 H，连接 HE.
∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC BB1C1C.
＝
∴FH∥平面 BB1C1C.
由 FH∥AD 可得
BF
BD
BH
.
BA
∴EH∥B1B，B1B 平面 BB1C1C.
∴EH∥平面 BB1C1C，EH∩FH＝H.
∴平面 FHE∥平面 BB1C1C，EF 平面 FHE.
∴EF∥平面 BB1C1C.
证法一为了证线面平行，先证线线平行．证
法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一
个平面内．
1－1.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过 P 点的两条
直线分别交α于 A、B，交β于 C、D，且 PA ＝6，AC＝9，AB＝8，
则 CD 的长为_______.
20 或 4
图 3
证明：连接 BC.
取 BC 的中点 E，分别连接 ME、NE，则 ME∥AC，
∴ME∥α.
同理：NE∥BD，∴NE∥β.
又 ME∩NE＝E，
∴平面 MEN∥平面α.
∵MN 平面 MEN，
∴MN∥α.
面面平行的判定定理与性质定理的综合应用
例 2：如图 3，设平面α∥平面β，AB、CD 是两异面直线，
M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 A、C∈α，B、D∈β.求证：
MN∥α.
将空间问题转化为平面问题，是解决立体
几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，
并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等．此题通过巧
作辅助线，得到所作平面与底面平行，由性质α ∥β，l α
l∥β易得线面平行，进而转化为面面平行，突出了平行问题中
的转化思想．
图 4
证明：如图20，作EP⊥BB1 于P，连接PF.在正三棱柱
ABC －A1B1C1 的侧面 ABB1A1 中，易知 A1B1⊥BB1，
2－1.如图 4，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E、F、G 是侧
面对角线上的点，且 BE＝CF＝AG.
求证：平面 EFG∥平面 ABC.
图 20
＝
又EP⊥BB1，∴EP∥A1B1∥AB.
∴EP∥平面 ABC，且
BE BP
.
A1B BB1
∴PF∥BC，则 PF∥平面 ABC.
∵EP∩PF＝P，∴平面 PEF∥平面 ABC.
∵EF 平面 PEF，∴EF∥平面 ABC.
同理：GF∥平面 ABC.
∵EF∩GF＝F，∴平面 EFG∥平面 ABC.
利用面面平行证线面平行
例 3：已知：有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不
在同一平面内，P、Q 分别是对角线 AE、BD 上的点，且 AP＝
DQ，求证：PQ∥平面 CBE.
＝
证法一：如图 (1)，连接AQ 并延长交BC 于G，
连接EG，则
AQ
QG
DQ
.
QB
∵AP＝DQ, PE＝BQ，
∴
AQ
QG
＝
AP
PE
.
∴
PQ
∥
EG
，
又
PQ
平面
BCE
，
EG

面
BCE
，
∴
PQ
∥
面
BCE
.

证法二：
如图
(2)
，分别过
P
、
Q
作
PK
∥
AB
，
QH
∥
AB
，则
PK
∥
QH
，
连接
KH
，则
PK
AB
＝
PE
AE
，
QH
CD
＝
BQ
BD
.
∵
CD
＝
AB
，
AE
＝
BD
，
PE
＝
BQ
，
∴
PK
＝
QH
，
∴PQHK 是平行四边形．∴PQ∥KH，
又 PQ 平面 BCE，KH 面 BCE，
∴PQ∥面 BCE.
证法三：如图 (3)，过 P 作 PO∥EB，连接 OQ，
则 OQ∥AD∥BC，面 POQ∥面 BEC，
又 PQ 平面 BCE，故 PQ∥面 BEC.
证明线面平行，关键是在平面内找到一条直
线与已知直线平行，证法一是作三角形得到的；证法二是通过
作平行四边形得到在平面内的一条直线 KH；证法三利用了面面
平行的性质定理．
证法一：如图21，连接 EF、AC，AC∩BD＝G，
图 21
显然四边形 EFAG 为平行四边形，
又AF 平面 BDE，EG 平面 BDE ，∴AF∥平面BDE.
证法二：取A1B1 中点G，连接AG、FG，证明平面AFG∥
平面BDE 即可．
3－1.如图 6，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E、F 是棱
C1D1、A1D1 的中点，求证：AF∥平面 BDE.
图 6
例 4：下列命题正确的是(
)
A．夹在两平行平面间的平行线段相等
B．夹在两平行平面间的相等线段必平行
C．两平面分别与第三平面相交，若两条交线平行，则这两
平面平行
D．平行于同一直线的两平面平行
正解：A
错因剖析：没有注意面面平行性质定理的应用条件．