人教a版 必修二 第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定 配套课件

(共18张PPT)
2．3.2 平面与平面垂直的判定
1．已知直线 a∥平面α，a⊥平面β，则(
)
A
A．α⊥β
C．α与β不垂直
B．α∥β
D．以上都有可能
2．已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在的平面(如图 1)．图中互相垂
直的平面有(
)
图 1
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．5 对
解析：面 PAD⊥面 AC，面 PAB⊥面
AC，面PAB⊥面PBC，面PDC⊥面PAD，
面PAD⊥面PAB.
D
A
3．若 a⊥α，a∥b，b β，那么平面α与平面β的关系是(
)
A．α⊥β
B．α∥β
C．α与β相交但不垂直
D．无法确定
4．已知 O 是△ABC 的外心，P 是平面 ABC 外的一点，且
PA ＝PB＝PC，α是经过 PO 的任意一个平面，则(
)
A
A．α⊥平面 ABC
B．α与平面 ABC 不垂直
C．α与平面 ABC 可能垂直也可能不垂直
D．以上都不对
解析：由 O 是△ABC 的外心，PA ＝PB＝PC 可得，PO⊥平
面 ABC，∴α⊥平面 ABC.
重点
二面角的概念及面面垂直的判定
1．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的
图形叫二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做
二面角的面．记作二面角α－AB－β(简记为 P－AB－Q)．
2．二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱 l 上任取一点
O，以点 O 为垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱 l 的射线
OA和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角．
二面角的范围：0°≤θ≤180°.
3．面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面
角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．记作α⊥β.
4．面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，
则这两个平面垂直(线面垂直→面面垂直)．
难点
求二面角的平面角
要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面
角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．
步骤为作，证，求．
面面垂直的判定
例 1：如图 2，P 是△ABC 所在平面外一点，AP、AB、AC
两两垂直．求证：平面 PAC⊥平面 PAB.
图 2
证法一(定义法)：
∵AB⊥AP，AC⊥AP，
∴∠BAC 是二面角 B－PA －C 的平面角．
∴平面 PAC⊥平面 PAB.
证法二(定理法)：
∵AB⊥PA ，AB⊥AC，AB∩AC＝A，
∴AB⊥平面 PAC.
又∵AB 平面 PAB，∴平面 PAC⊥平面 PAB.
1－1.已知直线 m、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确
的是(
)
D
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B．若 m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m α，则 m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m α，则 m∥α
用定义求二面角的平面角的大小
面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小．
图 3
求二面角时，要抓住二面角的平面角定义
(两线垂棱)，找出其平面角，然后解直角三角形．
解：∵AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，
∴BD⊥AC，又 BD⊥CD，AC∩CD＝C，
∴BD⊥平面 ACD.
∵AD 平面 ACD，∴AD⊥BD.
∠ADC 是平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．
2－1.下列说法正确的是(
)
D
A．二面角的大小范围是大于 0°且小于 90°
B．一个二面角的平面角可以不相等
C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上
D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
A
解析：∠BDC 为二面角 B－AD－C 的平面角，设正三角形
＝60°.
(
)
A．60°
B．90°
C．45°
D．120°
2－2.在正三角形 ABC 中，AD⊥BC 于 D，沿 AD 折成二面
图 4
例 3：如图 4，已知 PA ⊥平面 ABCD，ABCD 为矩形，PA
＝AD，M、N 分别是 AB、PC 的中点，
求证：(1)MN∥平面 PAD；
(2)平面 PMC⊥平面 PDC.
面面垂直的综合应用
证明：(1)取 PD 的中点 Q，连接 AQ、QN，
∴四边形 AMNQ 是平行四边形，∴MN∥AQ.
又∵AQ 平面 PAD，MN 平面 PAD，
∴MN∥平面 PAD.
(2)∵PA ⊥平面 ABCD，∴∠PAD＝90°.
∵PA ＝AD，∴△PAD 为等腰直角三角形．
∵Q 为 PD 中点，∴AQ⊥PD.
∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面 PAD，
∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面 PDC.
由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面 PDC.
又∵MN 平面 PMC，∴平面 PMC⊥平面 PDC.
在证明线面平行时，利用中位线的性质证明
线线平行，从而得出线面平行，是立体几何中常用的证明方法．
3－1.如图 5，已知四边形 ABCD 为矩形，PA ⊥平面 ABCD，
M、N、E 分别是 AB、PC、CD 的中点．
(1)求证：MN∥平面 PAD；
(2)当 MN⊥平面 PCD 时，求二面角 P—CD—B 的大小．
图 5
(1)证明：取 PD 的中点 Q，连接 AQ、QN.
∵N 为 PC 的中点，
∴四边形 AMNQ 为平行四边形，
∴MN∥AQ.又∵AQ 平面 PAD，
∴MN∥平面 PAD.
(2)解：∵PA ⊥平面 ABCD，∴PA ⊥CD，又∵CD⊥AD，
∴PD⊥CD.
∴∠PDA 为二面角 P－DC－B 的平面角．
∵MN⊥平面 PCD，MN∥AQ，
∴AQ⊥平面 PDC，∴AQ⊥PD.
∵Q 为 PD 的中点，
∴△PAD 为等腰直角三角形，
∴∠PDA＝45°，即二面角 P－CD－B 的大小为 45°.
错因剖析：考虑不全面，作图可知有两种情况．
(
)
A．45°
B．60°
C．120°
D．60°或 120°
例 4：在直二面角α－AB－β棱 AB 上取一点 P，过 P 分别在
α、β平面内作与棱成 45°角的斜线 PC、PD，则∠CPD 的大小是
正解：D
4－1.下列命题中，假命题的个数为(
)
B
①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边；
②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点
等距离的平面平行于这个三角形所在平面．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：③是假命题，如果三个顶点不在平面的同侧，则该
平面与三角形所在的平面相交．