人教a版 必修二 第二章 2.3 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 配套课件

(共18张PPT)
2．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1．已知 b⊥平面α，a α， 则 a 与 b 的位置关系是(
)
A．a∥b
B．a⊥b
B
C．a 与 b 垂直相交
D．a 与 b 垂直且异面
2．下列命题中，真命题的个数是(
)
C
①和一条直线成等角的两平面平行；②和两条异面直线都
平行的两平面平行；③和两相交直线都平行的两平面平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①假，②、③真．
3．下面四个命题，其中真命题的个数为(
)
B
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这
条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已
知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面
内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则
这条直线和另一个平面的位置关系是______________________．
解析：②、④是真命题．
相交、平行、在平面内
重点
线面、面面垂直的性质定理
1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
(线面垂直→线线平行)．
2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂
直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥
β，α∩β＝l，a α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)．
3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么
经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个
平面内．
直线与平面垂直的性质定理的简单应用
例 1：如图 1，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC，PB⊥AC，
求证：PC⊥AB.
图 1
思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面
垂直的定义得出线线垂直．
证明：过 P 作 PH⊥平面 ABC，垂足为 H，连接 AH、BH
和 CH.
∵PA ⊥BC, PH⊥BC，PA ∩PH＝P，
∴BC⊥平面 PAH.
又 AH 平面 PAH ，∴BC⊥AH.
同理 AC⊥BH，即 H 为△ABC 的垂心，
∴AB⊥CH.
∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面 PCH.
∵PC 平面 PCH，∴PC⊥AB.
点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在
解(证)题中的作用．
1－1.已知 a、b 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，
a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是(
)
B
A．若 a 与 b 相交，则α与β相交
B．若α与β相交，则 a 与 b 相交
C．若 a∥b，则α∥β
D．若α⊥β，则 a⊥b
解析：α与β相交，a 与 b 可能是异面直线．
1－2.α、β是两个不同的平面，m、n 是α、β之外的两条不同
的直线，给出以下四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认
为正确的一个命题___________.
解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．
①③④→②
图 2
证明：作 AH⊥SB 于 H.
∵平面 SAB⊥平面 SBC，
∴AH⊥平面 SBC.
∴AH⊥BC.
又 SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC.
又∵AH∩SA＝A，
∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB.
面面垂直→线面垂直．
平面与平面垂直的性质定理的简单应用
例 2：如图 2，在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥平面 ABC，平面
SAB⊥平面 SBC.求证：AB⊥BC.
2－1.如图 3，四棱锥 V－ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB
⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD.
求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
图 3
证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴BC⊥AB.
又∵面 VBA⊥面 ABCD，面 VBA∩面 ABCD＝AB，
∴BC⊥面 VAB.∴BC⊥VA.
∵VB⊥面 VAD，∴VB⊥VA.
∵VB∩BC＝B，∴VA⊥面 VBC.
又∵VA 面 VAC，∴面 VBC⊥面 VAC.
面面垂直的综合应用
例 3：如图 4，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA⊥平面 AC，AE
⊥SB 于 E 点，过 E 作 EF⊥SC 于 F 点．
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AG⊥SD.
图 4
证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC 平面AC，
∴SA⊥BC.
∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB⊥BC.
∴BC⊥平面 SAB.
又 AE 平面 SBC，∴BC⊥AE.
又 SB⊥AE，∴AE⊥平面 SBC.
∴AE⊥SC.
又 EF⊥SC，∴SC⊥平面 AEF，
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面 AC，DC 平面 AC，
∴SA⊥DC.
又 AD⊥DC，∴DC⊥平面 SAD.
又 AG 平面 SAD，∴DC⊥AG.
又由(1)有 SC⊥平面 AEF，AG 平面 AEF，
∴SC⊥AG，且 SC∩DC＝C，
∴AG⊥平面 SDC.∴AG⊥SD.
3 －1. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面
ABCD 成 45°角，M、N 分别为 AB、PC 的中点．
求证：平面 MND⊥平面 PDC.
图 27
证明：如图 27，设 E 为 PD 中点，连接 AE、EN，∵M、N
分别为 AB、PC 中点，
∴EN∥DC∥AB，
∴四边形 AMNE 为平行四边形，
∴MN∥AE.
∴DC⊥AE，DC⊥PD，
∴∠PDA 是二面角 P－DC－A 的平面角．
∵PDA＝45°，又 PA ⊥AD，
∴∠APD＝45°，△PAD 是等腰直角三角形．
∵E 为 PD 的中点，∴AE⊥PD.
又∵DC⊥AE，
∴AE⊥平面 PDC.又 MN∥AE，
∴MN⊥平面 PDC.
∴平面 MND⊥平面 PDC.
∵PA ⊥矩形 ABCD 所在的平面，∴PA ⊥DC，PA ⊥AD.
又∵DC⊥AD，
∴DC⊥平面 PAD，而 AE 平面 PAD.
例 4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么
它们的交线垂直于第三个平面．
错因剖析：找不准辅助线，无从下手．
证法一：如图5，在γ内取一点 P，作PA 垂直α与γ的交线于
A，再作 PB 垂直β与γ的交线于 B，
则 PA ⊥α，PB⊥β.
∵l＝α∩β，∴l⊥PA ，l⊥PB.
∵α与β相交，∴PA 与 PB 相交．
又 PA γ，PB γ，∴l⊥γ.
图 5
图 6
证法二：如图 6，在α内作直线 m 垂直于α与γ的交线，在β
内作直线 n 垂直于β与γ的交线，
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又 n β，
∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ.
证法三：如图7，在 l 上取一点 P，过点 P 作γ的垂线 l′，
但α∩β＝l，∴l 与 l′重合，∴l⊥γ.
图 7
点评：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个
平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性
质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这
是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这
一性质，添加了 l′这条辅助线，这是证法三的关键．
通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
)
D
4－1.(2010 年山东)在空间，下列命题正确的是(
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行