人教a版 必修二 第三章 3.1 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 配套课件

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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．下列命题中正确命题的个数是(
)
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为－1；
④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；
⑤若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①错，两直线可能重合；②错，有可能两条直线的
斜率不存在；③错，有可能一条直线的斜率不存在；④正确；
⑤错，有可能这两条直线重合．
B
答案：A
(
)
2．直线 l1 的倾斜角为 30°，直线 l1⊥l2，则直线 l2 的斜率为
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)，B(0,－3)的直线，则
直线的倾斜角为(
)
D
A．30°
B．45°
C．120°
D．135°
4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)，则 l 的斜率为___.
2
重难点 1
两直线平行
1．已知直线 l1：y＝k1x＋b1 ， l2：y＝k2x＋b2，
如果 l1∥l2，则 k1＝k2 且 b1≠b2；
如果 k1＝k2 且 b1≠b2，则 l1∥l2.
2．当 l1 与 l2 的斜率都不存在且 l1 与 l2 不重合时，则 l1 与 l2
平行．
重难点 2
两条直线垂直
(1)当 l1⊥l2 时，它们的斜率之间的关系有两种情况：
①它们的斜率都存在且 k1k2＝－1；
②一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0.
(2)使用 l1⊥l2 k1k2＝－1 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等
于 0.
注意：在立体几何中，两直线的位置关系有平行、相交和
异面(没有重合关系)；而在本章中，在同一平面内，两直线有重
合、平行、相交三种位置关系．
两条直线平行的判定
例 1：已知直线 l1 过点 A(3，a)，B(a－1,4)，直线 l2 过点 C(1,2)，
D(－2，a＋2)．
(1)若 l1∥l2，求 a 的值；
(2)若 l1⊥l2，求 a 的值．
思维突破：由 C、D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，
由 A、B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因
此应对 a 的取值进行讨论．
∴a＝3.
(2)若 l1⊥l2，
当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－1，显然不符合题意；
当 k2≠0 时，l1 的斜率存在，此时 k1＝－1，
由于 l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，解得 a＝－3.
判断两条直线平行( 或垂直) 并寻求平行( 或
垂直)的条件时，特别注意结论成立的前提条件．对特殊情形要
数形结合作出判断．
1－1.试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)和点 B(－5，m)的直
线与过点 C(－4,3)和点 D(0,5)的直线平行．
解：由题意得：kAB＝
，
m－0
－5－(m＋1)
＝
m
－6－m
两条直线垂直的判定
例 2：已知 A(1，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求点 D，使直线 AB
⊥CD 且直线 AD∥BC.
y－(－1) y＋1
1－2 1
kAB＝
2－(－1)
2－1
＝3，kCD＝
1－y
， ∴3×
4－x
1－y
＝－1
4－x
①.
又 AD∥BC，kAD＝
＝
x－1 x－1
，kBC＝
＝－ ，
4－2 2
∴
y＋1
x－1
＝－
1
2
②.
由①②，则 x＝－17，y＝8，则 D(－17,8)．
解：设 D(x，y)，∵AB⊥CD，
2－1.已知三点 A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若 AB
⊥BC，求 m 的值．
m2－m－1－1 m2－m－2
则 k2＝
＝
3－1 3－1
，
又知 xA－xB＝m－2，
①当m－2＝0,即m＝2时,k1不存在,此时k2＝0，则AB⊥BC；
解：设 AB、BC 的斜率分别为 k1、k2，
故若 AB⊥BC，则 m＝2 或 m＝－3.
②
当
m
－
2
≠
0
，即
m
≠
2
时，
k
1
＝
1
m
－
2
.
由
k
1
k
2
＝
m
2
－
m
－
2
2
·
1
m
－
2
＝－
1
，得
m
＝－
3
，
断四边形 ABCD 是否为梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？
平行和垂直关系的综合应用
又∵直线 AB 和直线 CD 不重合，∴AB∥CD.
解：
∵
直线
AB
的斜率
k
AB
＝
5
－
1
2
－
0
＝
2
，
直线
CD
的斜率
k
CD
＝
23
5
－
(
－
3
)
14
5
－
(
－
1
)
＝
2
，
∴
k
AB
＝
k
CD
.
(1)判断一个四边形为梯形，需要两个条件：
①有一对相互平行的边；②另有一对不平行的边．(2)判断一个
四边形为直角梯形，首先需要判断它是一个梯形，然后证明它
有一个角为直角．
即直线 AD 与直线 BC 不平行．∴四边形 ABCD 是梯形．
∴AB⊥BC.
∴梯形 ABCD 是直角梯形．
∵
直线
AD
的斜率
k
AD
＝
－
3
－
1
－
1
－
0
＝
4
，直线
BC
的斜率
k
BC
＝
23
5
－
5
14
5
－
2
＝－
1
2
，
∴
k
AD
≠
k
BC
，
D（－4,4)四点所得的四边形是梯形．
从而直线 BC 与 DA 不平行，
∴四边形 ABCD 是梯形．
例 4：在直角△ABC 中，∠C 是直角，A(－1,3)，B(4,2)，
点 C 在坐标轴上，求点 C 的坐标．
则 kAC＝
－3
x＋1
，kBC＝
－2
x－4
，
∵AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即
6
(x＋1)(x－4)
＝－1，
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
正解：(1)当点 C 在 x 轴上时，设 C(x,0)，
错因剖析：没有分类讨论，主观认为点 C 在 x 轴上导致漏
解．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
4－1.已知点 A(－2，－5)，B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且∠APB
＝90°，试求点 P 的坐标．
即
b－(－5) b－6
· ＝－1，解得 b＝7 或 b＝－6.
0－(－2) 0－6
所以点 P 的坐标为(0,7)或(0，－6)．
解：设点 P 的坐标为(0，b)，则 kAP·kBP＝－1，