人教a版 必修二 第三章 3.2 3.2.3 直线的一般式方程 配套课件
文档属性
| 名称 | 人教a版 必修二 第三章 3.2 3.2.3 直线的一般式方程 配套课件 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 342.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-08-04 09:02:27 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
3．2.3 直线的一般式方程
1．过点 A(2,3)和点 B(2，－3)的直线的一般式方程是(
)
B
A．x＝2
C．y＝2
B．x－2＝0
D．y－2＝0
)
C
2．斜率为 k 且过原点的直线的一般式方程是(
A．y＝kx
B．x－ky＝0
C．kx－y＝0
D．kx＋y＝0
3．直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，若 l 过原点和二、四象
限，则(
)
D
解析：∵l 过原点，∴C＝0，又 l 过二、四象限，
4．直线 2x＋y＋7＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截
)
D
距为 b，则 a、b 的值是(
A．a＝－7，b＝－7
已知条件 方程 适用范围
点斜
式 点 P(x0，y0)和
斜率 k y－y0＝k(x－x0) 与 x 轴不垂直
的直线
斜截
式 斜率 k 和在 y
轴上的截距 y＝kx＋b 与 x 轴不垂直
的直线
两点
式 两点 P1(x1，y1)、
P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2) 与坐标轴不垂
直的直线
重点
五种形式的直线方程的对比
截距
式 在 x 轴和 y 轴上
的截距分别为
a、b(ab≠0) 与坐标轴不垂
直和不过原点
的直线
一般
式 两个独立的条
件
Ax＋By＋C＝0(A2 ＋
B2 ≠0) 任何直线
求直线方程的几种形式
例 1：已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的
一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图．
由两点式，得
y－6
8－6
＝
x＋5
，
－4＋5
整理，得 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
∴2x－y＝－16，两边同除以－16，
解：直线过 A(－5,6)，B(－4,8)两点，
＋ ＝1.
＋
＝1.
得
x
－8
y
16
故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
截距式方程为
x
－8
y
16
图象如图 1.
图 1
求直线方程时，结果在未作要求的情况下
一般都整理成一般式．把一般式化为截距式时方法有两种：①
分别令 x＝0，y＝0 求 b 和 a；②移常数项，如 Ax＋By＝－C，
两边同除以－C(C≠0)，再整理成截距式的形式．
1－1.已知直线 mx＋ny＋12＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别
是－3 和 4，求 m、n 的值．
解法二：将 mx＋ny＋12＝0 化为截距式得
故 m、n 的值分别为 4，－3.
利用一般式方程求斜率
例 2：已知直线 Ax＋By＋C＝0(A、B 不全为 0).
(1)当 B≠0 时，斜率是多少？当 B＝0 时呢？
(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
即直线与 x 轴垂直，斜率不存在．
(2)若方程表示通过原点的直线，则(0,0)符合直线方程，则
C＝0.∴当 C＝0 时，方程表示通过原点的直线．
解：(1)当 B≠0 时，方程可化为斜截式：
当 B≠0 时，直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率是
一般式化为斜截式后求解．
2m2 ＋m－1
解：(1)在(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0 中，令
(2)因为直线的斜率为－1，
所以－
m2－2m－3
＝－1，
解得 m＝－2，m＝－1(舍去)．
2－1.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－
2m＝0，根据下列条件分别确定实数 m 的值．
(1)l 在 x 轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
直线方程的综合应用
例 3：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角
形面积为 S.
(1)当 S＝3 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(2)当 S＝4 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(3)当 S＝5 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围．
思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不
等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面
＝±8，
即 a2－6a＋12＝0 或 a2＋6a－12＝0，
前一个方程Δ<0 无解，后一个方程Δ>0 有两个不等的解，
∴这样的直线共有 2 条．
有
a2
a－2
即 a2－8a＋16＝0 或 a2＋8a－16＝0，
前一个方程Δ＝0 有一个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 3 条．
＝±10，
有
a2
a－2
即 a2－10a＋20＝0 或 a2＋10a－20＝0，
前一个方程Δ>0 有两个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 4 条．
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 2 条，
则前一个方程必须有Δ<0，即(2S)2－4·4S<0.
∴S 的取值范围为(0,4)．
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 3 条，
则前一个方程必须有Δ＝0，即(2S)2－4·4S＝0.
∴S 的取值范围为 S＝4.
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 4 条，
则前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4·4S>0.
∴S 的取值范围为(4，＋∞)．
3－1.直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，
则 a 的值是(
)
D
A．－2
C．－2 或－1
B．－1
D．－2 或 1
例 4：(1)已知 A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形 ABCD
是平行四边形，求 D 点的坐标；
(2) 已知某四边形是平行四边形，其中三点的坐标分别为
A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，求第四个点 D 的坐标．
错因剖析：没有注意两小题之间的区别，第(2)题有三种情
形．
正解：(1)设 D 点的坐标为(x0，y0)，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，即 AC、
BD 的中点重合．
即 D 点的坐标为(5,6)．
(2)由于不知道四个点排列情况，所以答案应该有三个：
①当四边形为 ABCD 时，同上即 D 点的坐标为(5,6)；
②当四边形为 ABDC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(1，－2)；
③当四边形为 ADBC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(－3,4)．
3．2.3 直线的一般式方程
1．过点 A(2,3)和点 B(2，－3)的直线的一般式方程是(
)
B
A．x＝2
C．y＝2
B．x－2＝0
D．y－2＝0
)
C
2．斜率为 k 且过原点的直线的一般式方程是(
A．y＝kx
B．x－ky＝0
C．kx－y＝0
D．kx＋y＝0
3．直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，若 l 过原点和二、四象
限，则(
)
D
解析：∵l 过原点，∴C＝0，又 l 过二、四象限，
4．直线 2x＋y＋7＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截
)
D
距为 b，则 a、b 的值是(
A．a＝－7，b＝－7
已知条件 方程 适用范围
点斜
式 点 P(x0，y0)和
斜率 k y－y0＝k(x－x0) 与 x 轴不垂直
的直线
斜截
式 斜率 k 和在 y
轴上的截距 y＝kx＋b 与 x 轴不垂直
的直线
两点
式 两点 P1(x1，y1)、
P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2) 与坐标轴不垂
直的直线
重点
五种形式的直线方程的对比
截距
式 在 x 轴和 y 轴上
的截距分别为
a、b(ab≠0) 与坐标轴不垂
直和不过原点
的直线
一般
式 两个独立的条
件
Ax＋By＋C＝0(A2 ＋
B2 ≠0) 任何直线
求直线方程的几种形式
例 1：已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的
一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图．
由两点式，得
y－6
8－6
＝
x＋5
，
－4＋5
整理，得 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
∴2x－y＝－16，两边同除以－16，
解：直线过 A(－5,6)，B(－4,8)两点，
＋ ＝1.
＋
＝1.
得
x
－8
y
16
故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
截距式方程为
x
－8
y
16
图象如图 1.
图 1
求直线方程时，结果在未作要求的情况下
一般都整理成一般式．把一般式化为截距式时方法有两种：①
分别令 x＝0，y＝0 求 b 和 a；②移常数项，如 Ax＋By＝－C，
两边同除以－C(C≠0)，再整理成截距式的形式．
1－1.已知直线 mx＋ny＋12＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别
是－3 和 4，求 m、n 的值．
解法二：将 mx＋ny＋12＝0 化为截距式得
故 m、n 的值分别为 4，－3.
利用一般式方程求斜率
例 2：已知直线 Ax＋By＋C＝0(A、B 不全为 0).
(1)当 B≠0 时，斜率是多少？当 B＝0 时呢？
(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
即直线与 x 轴垂直，斜率不存在．
(2)若方程表示通过原点的直线，则(0,0)符合直线方程，则
C＝0.∴当 C＝0 时，方程表示通过原点的直线．
解：(1)当 B≠0 时，方程可化为斜截式：
当 B≠0 时，直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率是
一般式化为斜截式后求解．
2m2 ＋m－1
解：(1)在(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0 中，令
(2)因为直线的斜率为－1，
所以－
m2－2m－3
＝－1，
解得 m＝－2，m＝－1(舍去)．
2－1.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－
2m＝0，根据下列条件分别确定实数 m 的值．
(1)l 在 x 轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
直线方程的综合应用
例 3：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角
形面积为 S.
(1)当 S＝3 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(2)当 S＝4 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(3)当 S＝5 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围．
思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不
等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面
＝±8，
即 a2－6a＋12＝0 或 a2＋6a－12＝0，
前一个方程Δ<0 无解，后一个方程Δ>0 有两个不等的解，
∴这样的直线共有 2 条．
有
a2
a－2
即 a2－8a＋16＝0 或 a2＋8a－16＝0，
前一个方程Δ＝0 有一个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 3 条．
＝±10，
有
a2
a－2
即 a2－10a＋20＝0 或 a2＋10a－20＝0，
前一个方程Δ>0 有两个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 4 条．
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 2 条，
则前一个方程必须有Δ<0，即(2S)2－4·4S<0.
∴S 的取值范围为(0,4)．
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 3 条，
则前一个方程必须有Δ＝0，即(2S)2－4·4S＝0.
∴S 的取值范围为 S＝4.
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 4 条，
则前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4·4S>0.
∴S 的取值范围为(4，＋∞)．
3－1.直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，
则 a 的值是(
)
D
A．－2
C．－2 或－1
B．－1
D．－2 或 1
例 4：(1)已知 A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形 ABCD
是平行四边形，求 D 点的坐标；
(2) 已知某四边形是平行四边形，其中三点的坐标分别为
A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，求第四个点 D 的坐标．
错因剖析：没有注意两小题之间的区别，第(2)题有三种情
形．
正解：(1)设 D 点的坐标为(x0，y0)，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，即 AC、
BD 的中点重合．
即 D 点的坐标为(5,6)．
(2)由于不知道四个点排列情况，所以答案应该有三个：
①当四边形为 ABCD 时，同上即 D 点的坐标为(5,6)；
②当四边形为 ABDC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(1，－2)；
③当四边形为 ADBC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(－3,4)．