人教版数学八年级上册12.3.1 角平分线的性质课件(共16张PPT)

角的平分线的性质
学习任务
角的平分线有什么特殊性质？
如何运用角的平分线的性质解决具体数学问题？
温故知新
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
温故知新
从直线外一点
到这条直线的垂线段
的长度，
叫做点到直线的距离。
O
P
A
B
我的长度
2、点到直线距离
　　思考　下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AE平分∠DAB（角平分线的定义）
探究新知
知识精讲
尺规作角的平分线
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
知识精讲
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？

Ｏ
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
知识精讲
A
B
O
C
如图，OC是角∠AOB的平分线.
D
E
P
思考：在射线OC上任取一点P，过P画出OA,OB的垂线， 分别记垂足为D,E,线段PD与PE相等吗？
知识精讲
　　
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 。
A
B
O
C
D
E
P
求证：PD =PE 。
知识精讲
　　
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E 。
A
B
O
C
D
E
P
求证：PD =PE 。
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO ≌△ PEO（AAS）
知识精讲
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
B
O
C
D
E
P
∵OC平分∠AOB ，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。
符号语言
∴PD =PE．
知识精讲
如下各图中，OC平分∠AOB，点P在OC 上下列结论一定成立的是___________．
(1)图1，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE。
(2)图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE。
(3)图3，PD⊥OA，垂足为D．若PD=3，则点P到OB的距离为3。
图1
图2
图3
典例解析
，
4
如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
知识精讲
如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F 。
证明：EB =FC 。
A
B
C
D
E
F
小结梳理
角平分线性质的应用。
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
利用尺规作图做一个角的平分线。
角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．