人教a版 必修二 第四章 4.1 4.1.2 圆的一般方程 配套课件

(共15张PPT)
4．1.2 圆的一般方程
)
D
1．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是(
2．圆 x2＋y2－2x＋2y＝0 的周长是(
)
A
3．若 x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0 表示圆，则λ的取值范围
是(
)
C
(1，－5)
4．圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 的圆心为_________，半径为
_____.
重点
确定圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般
方程．
注意：(1)x2 和 y2 的系数相同，都不等于 0.(2)没有xy 这样
的二次项．
难点
求曲线轨迹方程的常用方法
1．直接法：建系，设点，列式，代换，化简，证明(可省
略)，适用于动点满足的条件易于列出的问题，是求曲线轨迹方
程最基本的方法．
2．定义法：若动点 P 的轨迹符合某已知曲线的定义，可直
接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确
定相应系数，从而求出方程．
3．代入法(也叫相关点法)：若动点 P(x，y)的变动依赖于另
一动点 Q(x0，y0)，而 Q(x0，y0)在某已知曲线 f(x，y)＝0 上，则
可先写出方程 f(x0，y0)＝0，再找出(x0，y0)与(x，y)之间的关系，
代入已知方程 f(x0，y0)＝0，便可得到动点 P(x，y)适合的曲线方
程．
4．待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立以有关
系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方
程．
将圆的一般方程化为标准方程
例 1：将圆的一般方程 x2＋y2－x＝0 化为标准方程，并写出
圆心坐标和半径．
思维突破：把圆的一般方程化为标准方程时常采用配方法．
1－1.将圆的方程 x2＋y2＋2ay－1＝0 化为标准方程并写出
圆心坐标和半径．
求圆的方程
例 2：已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心在直线
x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
思维突破：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，
如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径．
解：将 x2＋y2＋2ay－1＝0 配方得 x2＋(y＋a)2＝1＋a2，所以
解法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三：线段 AB 的中垂线方程为 2x＋y＋4＝0.
它与直线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)即为圆心，
由两点间距离公式得 r2＝10，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
确定圆的方程需要三个独立条件，“选标
准，定参数”是解题的基本方法．
解：设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 A(2，
－2) ， B(5 ， 3) ， C(3 ，-1) 三点的坐标代入圆的方程，得
∴圆的方程为 x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
2－1.求过点 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)的圆的方程．
求与圆有关的动点轨迹方程
例 3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0)
和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程.
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，
化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)，
∵点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，
又∵P 为 MA 的中点，
点 P 为 MA 的中点，点 M 为固定点，点 A
为圆上的动点，因此利用点 P 的坐标代换点 A 的坐标，从而代
入圆的方程求解．
∵平行四边形对角线互相平分，
3－1.设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以
OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
错因剖析：误认为只需要满足 x2 和 y2 的系数相同，没有把
m 的值代回原方程检验．
综上所述，m＝－3 即为所求．
正解：∵方程表示一个圆，故 2m2＋m－1＝m2－m＋2，
即 m2＋2m－3＝0.
故 m＝1 或 m＝－3.
当 m＝1 时，原方程可化为 2x2＋2y2＝－3，不合题意；
例 4：当 m 是何值时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2
－m＋2)y2＋m＋2＝0 表示一个圆．
4－1.已知点 P(1,2)在圆 C∶x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 的外部，
)
则 k 的取值范围是(
A．k∈R
答案：D
解析：∵x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 表示圆，
又点 P(1,2)在圆 C 的外部，
∴12＋22＋k＋2×2＋k2＞0，
即 k2＋k＋9＞0，
∴k∈R，