人教a版 必修二 第四章 4.2 4.2.1 直线与圆的位置关系 配套课件

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4．2
直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
D
2．若直线 3x＋4y＋k＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则 k
的值等于(
)
A
A．1 或－19
C．－1 或－19
B．10 或－10
D．－1 或 19
3．直线 x＋y＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是_____．
4．设直线 2x＋3y＋1＝0 和圆 x2＋y2－2x－3＝0 相交于点 A、
B，则弦 AB 的垂直平分线方程是_____________.
相交
3x－2y－3＝0
重点
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定
的方法有两种：
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根
据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；
若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ
＜0，则相离；
(2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断，
若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直
线与圆相离．
难点
圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线．
在求过圆外一点的切线时常用以下方法：
(1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率；
(2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率；
(3)设切点坐标，用切线公式法求解．
其中，(1)(2)两种方法应注意切线斜率不存在的情形，若求
出只有一个斜率，应找回另一条．
直线与圆位置关系的判断
例 1：当 k 为何值时，直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋
y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？
思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法
和代数法，使用时以几何法为主．
(1)当Δ>0，即 k<－
(3)当Δ<0，即 k>－
故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.
12
5
时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即 k＝－
12
5
时，直线与圆相切．
12
5
时，直线与圆相离．
(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0.
解法二(几何法)：圆心 C 的坐标为 C(1,0)，半径 r＝1，圆心
1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
得 2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4)．
(1)当Δ>0，即－2(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切．
(3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离．
求圆的切线方程
例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
解法一：设切线的斜率为 k，由点斜式有 y＋7＝k(x－1)，
即 y＝k(x－1)－7，
将方程代入圆方程得 x2＋[k(x－1)－7]2＝25，
整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.
故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0，
思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距
离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法．
故切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
解法二：设所求切线斜率为 k，则所求直线方程为 y＋7＝
k(x－1)，整理成一般式为 kx－y－k－7＝0，
所以切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝
25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
2－1.求由下列条件所决定的圆 x2＋y2＝4 的切线方程：
弦长问题
例 3：直线 l：x＋y＋1＝0 被圆(x－3)2＋y2＝9 截得的弦长
为________．
(方法二)：直线l：y＝－x－1，斜率k＝－1，
图1
思维突破(方法一)：圆心 C(3,0)，r＝3，如图 1，圆心 C(3,0)
答案：2
求直线与圆相交时的弦长常用两种方法：(1)
几何法：设直线 l 与圆相交于 A、B 两点，弦心距为 d，圆的半
3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于
A、B 两点，则|AB|＝_____.
错因剖析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解．
正解：当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l 方程为 y＋3＝k(x－3) kx－y－3(k＋1)＝0，
当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，
故直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0 或 x＝3.
例 4：过点 A(3，－3)且与圆(x－1)2＋y2＝4 相切的直线 l 的
方程是________________．
解析：注意斜率不存在的情况．