人教a版 必修二 第四章 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系 配套课件

(共17张PPT)
4．2.2 圆与圆的位置关系
1．经过圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4 的圆心且斜率为 1 的直
线方程为(
)
A
A．x－y＋3＝0
C．x＋y－1＝0
B．x－y－3＝0
D．x＋y＋3＝0
2．设 r>0，圆 (x－1)2＋(y＋3)2＝r2与 x2＋y2＝16 的位置关
系不可能是(
)
D
A．相切
C．内含和内切
B．相交
D．外切和外离
3．两圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 和 x2＋y2－6x＝0 的连心线方程
为(
)
C
A．x＋y＋3＝0
C．3x－y－9＝0
B．2x－y－5＝0
D．4x－3y＋7＝0
4．圆 x2＋y2＋2x＋6y－19＝0 与圆 x2＋y2－6x＋2y－10＝0
的两圆心之间的距离是_____.
5．经过两圆 x2＋y2－2x＋2y－7＝0 和 x2＋y2＋4x－4y－8
＝0 的两个交点的直线的方程是_____________.
6x－6y－1＝0
解析：两圆的方程相减得－6x＋6y＋1＝0，即 6x－6y－1＝
0.此方程表示的曲线过两个圆的交点．
两圆的位
置关系 图示 几何法 代数法
相离 |C1C2|>R＋r Δ<0
重点
圆与圆的位置关系及判定方法
圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝R2，
圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(R>r)．
两圆的位置关系如下表：
两圆的位
置关系 图示 几何法 代数法
外切 |C1C2|＝R＋r Δ＝0
内切 |C1C2|＝R－r Δ＝0
相交 R－r<|C1C2|0
内含 |C1C2|续表
两圆位
置关系 相离 外切 内切 相交 内含
公切线
条数 4 条 3 条 1 条 2 条 0 条
图示
难点
两圆的公切线
和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如
下表：
判断圆与圆的位置关系
例 1：判断圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋
y2＋2x－2my＋m2－3＝0 的位置关系．
解：把两圆的方程写成标准方程：
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝32，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝22.
得－5＜m＜－2 或－1＜m＜2.
∴当 m＝2 或－5 时，两圆外切；
当 m＝－1 或－2 时，两圆内切；
当－2＜m＜－1 时，两圆内含；
当 m＞2 或 m＜－5 时，两圆相离；
当－5＜m＜－2 或－1＜m＜2 时，两圆相交．
1－1.已知圆 C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆 C2：x2＋y2－4y－6
＝0，试判断两圆的位置关系．
将③代入①式整理得 13x2－24x－24＝0.
解法一：将圆 C1 与圆 C2 的方程联立，
∵Δ＝(－24)2－4×13×(－24)>0，故此方程有两个不等实
根，
∴圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，
∴圆 C1 与圆 C2 相交．
∴|r1－r2|＜|C1C2|求相交圆的公共弦长
例 2：求圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公
共弦的长.
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解．
把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0，
得 x2＋2x＝0，解得 x1＝－2，x2＝0，
解法一：由题意，列出方程组
∴y1＝0，y2＝2，
两圆的交点坐标为 A(－2,0)，B(0,2)，
消去二次项，得 y＝x＋2，它就是公共弦所在直线的方程．
圆 x2＋y2－4＝0 的半径 r＝2，
涉及圆的弦长问题，通常考虑由半径 r、圆
心到直线的距离 d、弦长的一半构成的直角三角形求解，即公共
2－1.已知圆 C1：x2＋y2－10x－10y＝0 和圆 C2：x2＋y2＋6x
＋2y－40＝0 相交于 A、B 两点，求公共弦 AB 的长.
解法一：由两圆的方程相减得到的方程即为公共弦 AB 所在
的直线方程，即为 4x＋3y＝10.
∴两圆交点的坐标分别是 A(－2,6)，B(4，－2)．
解法二：同解法一，先求出公共弦所在直线的方程：4x＋
3y＝10.过 C1 作 C1D⊥AB 于 D.
圆系方程的应用
例 3：求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0
的交点，并且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程．
思维突破：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设
出，其中待定系数可依据圆心在已知直线上求得．
∵圆心在直线 x－y－4＝0 上，
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－28＋λ(x2＋y2＋6x－4) ＝
0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6λx＋6y－28－4λ＝0, 则所求圆的圆
又圆 x2＋y2＋6x－4＝0 的圆心为(－3,0)，不在已知直线上，
∴所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
求经过两圆交点的圆可考虑圆系方程，但要
注意λ≠－1.另外由于圆系中不包括圆 x2＋y2＋6x－4＝0，故应
检验圆 x2＋y2＋6x－4＝0 是否也满足题中条件，即圆心是否在
直线 x－y－4＝0 上．
3－1.已知圆 x2＋y2＋x－6y＋3＝0 与直线 x＋2y－3＝0 的两
个交点为 P、Q，求以 PQ 为直径的圆的方程．
由圆心在直线 x＋2y－3＝0 上，
故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－4y＝0.
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋x－6y＋3＋λ(x＋2y－3)＝0，
整理得 x2＋y2＋(1＋λ)x＋(2λ－6)y＋3－3λ＝0，此圆的圆心坐标
例 4：集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}和 B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y
－4)2＝r2}，其中 r＞0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的
值是________．
错因剖析：两圆相切包括内切或外切，这里很容易漏解．
4－1.(2010 年湖南)若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a，b)，
(3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为___，圆(x－2)2
＋(y－3)2＝1 关于直线 l 对称的圆的方程为_____________.
正解：3 或 7
－1
x2＋(y－1)2＝1