人教a版 必修二 第二章 2.1 2.1.1 平面 配套课件
文档属性
| 名称 | 人教a版 必修二 第二章 2.1 2.1.1 平面 配套课件 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 401.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-08-04 09:03:15 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
1．下列命题正确的是(
)
C
A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm
B．一个平面的面积可以是 16 m2
C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把
空间分成两部分
D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
2．下列命题正确的是(
)
C
A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内
B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内
C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内
D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点
3．下列说法中正确的是(
)
C
A．两个平面相交有两条交线
B．两个平面可以有且只有一个公共点
C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交
线上
D．两个平面一定有公共点
)
B
重点
公理及其推论
1．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语
言”、“图形语言”列表如下：
公理 1 公理 2 公理 3
图形
语言
文字
语言 如果一条直线上的
两点在一个平面内，
那么这条直线在此
平面内. 过不在一条直线上
的三点，有且只有
一个平面. 如果两个不重合的
平面有一个公共点，
那么它们有且只有
一条过该点的公共
直线．
符号
语言 A、B、C 不共线
A、B、C 确定平面α
2.公理 2 的三条推论：
推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个
平面；
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
难点
公理及其推论的应用
1．公理 1 既可以判断直线是否在平面内，点是否在平面内，
又可以利用直线检验平面．
2．公理 2 的作用：
(1)确定平面；
(2)证明点、线共面．
3．公理 3 的作用：
(1)判断两个平面是否相交；
(2)确定两个平面的交线；
(3)证明若干点共线问题．
符号语言、文字语言、图形语言的互译
例 1：若α∩β＝l，点 A、B∈α，C∈β，试画出平面 ABC 与
平面α、β的交线．
(1)
(2)
图 1
若 AB∥l 时，如图 1(2)，直线 AB、CD 是所求交线．
解：若 AB∩l＝D 时，如图 1(1)，直线 AB、CD 是所求交线；
正确地用图形和符号表示点、直线、平面以
及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，
所以点与线、面的关系用“∈、 ”表示，线与线、线与面及面
与面的关系用“ 、 ”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：
(1)点 A 在平面α内，但不在平面β内；
(2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M；
(3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
解：(1)A∈α，A β，此处图形不唯一，符合要求即可，如
图 11(1)．
图 11
(2)P∈l，P α，l∩α＝M，如图 11(2)．
(3)α∩β＝l，P∈l，如图 11(3)．
点线共面问题
例 2：求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一
平面内．
解：已知：直线 AB、BC、CA 两两相交，交点分别为 A、B、
C(如图 2)．求证：直线 AB、BC、CA 共面．
图 2
证明：∵AB∩CA＝A，
思维突破：根据题目写出已知、求证后，再进行证明．
证明线共面一般先用公理 2 及其推论证两
条直线确定一个平面，再用公理 1 证明余下的直线也在它们确
定的平面内．
∴直线 AB 和 AC 确定一个平面α(推论 2)．
因此，直线 AB、BC、CA 都在平面α内，即它们共面．
图 3
证明：∵PQ∥a，
∴PQ 与 a 确定一个平面β，
∴直线 a β，点 P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，
∴α与β重合，∴PQ α.
2－1.如图 3，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，
求证：PQ α.
多点共线问题
例 3：已知：EF∩GH＝P，E∈AB，F∈AD，G∈BC，H∈
CD，求证：B、D、P 三点共线．
思维突破：应用公理 3，选择恰当的平面，只要证明此三点
都是某两个平面的公共点，即可证三点在这两个平面的交线上．
∵AB∩BD＝B，
∴AB 和 BD 确定平面 ABD.
∵A∈AB，D∈BD，
∴AD 平面 ABD(公理 1)．
∵E∈AB，F∈AD，∴EF 平面 ABD.
又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面 ABD.
同理，P∈平面 BCD.
∵BD 平面 ABD，BD 平面 BCD，
∴平面 ABD∩平面 BCD＝BD.
∴P∈BD，即 B、D、P 三点共线．
证明：如图 4.
图 4
证明若干点共线问题的基本方法：
①首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这两
个平面的公共点，根据公理 3 可推知这些点都在交线上，即证
若干点共线；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一些点都在这
条直线上．
3－1.△ABC 在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α
＝R，求证：P、Q、R 三点共线．
∴P、Q、R∈α
①，P∈AB，Q∈BC，R∈AC ②，
由②可得 P、Q、R∈ABC，
∴P、Q、R 是平面 ABC 与平面α的公共点，
∵两平面相交有且只有一条交线，
∴P、Q、R 三点在平面 ABC 与平面α的交线上，
即 P、Q、R 三点共线．
证明：AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，
例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F
分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、
平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图 5
错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题
的突破口．
证明：∵E、F 分别是 AA′与 AB 上一点，∴EF≠CD′.
又∵EF∥CD′，
∴四边形 EFCD′是梯形，直线 ED′和 FC 相交于一点，
设此点为 P，
∵P∈ED′ 平面 AA′D′D，P∈FC 平面 ABCD，
∴P 是平面 AA′D′D 与平面 ABCD 的公共点．
∵平面 AA′D′D∩平面 ABCD＝AD，∴P∈AD.
∴ED′、FC、AD 交于一点 P.
先证两条直线交于一点，再证第三条直线
经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．
4－1.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相
交于一点，那么第三条也经过这个点．
解:已知:平面α 、β、γ满足α∩β＝a,β∩γ＝b,γ∩α＝c,
a∩b＝A，如图12.求证：A∈c.
图 12
证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b.
又∵α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a α，b γ.
∴A∈α，A∈γ.
即 A 在平面α与平面γ的交线上，
又α∩γ＝c，∴A∈c.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1.1 平面
1．下列命题正确的是(
)
C
A．画一个平面，使它的长为 14 cm，宽为 5 cm
B．一个平面的面积可以是 16 m2
C．平面内的一条直线把这个平面分成两部分，一个平面把
空间分成两部分
D．10 个平面重叠起来，要比 2 个平面重叠起来厚
2．下列命题正确的是(
)
C
A．因为直线向两方无限延伸，所以直线不可能在平面内
B．如果线段的中点在平面内，那么线段在平面内
C．如果线段上有一个点不在平面内，那么线段不在平面内
D．当平面经过直线时，直线上可以有不在平面内的点
3．下列说法中正确的是(
)
C
A．两个平面相交有两条交线
B．两个平面可以有且只有一个公共点
C．如果一个点在两个平面内，那么这个点在两个平面的交
线上
D．两个平面一定有公共点
)
B
重点
公理及其推论
1．平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语
言”、“图形语言”列表如下：
公理 1 公理 2 公理 3
图形
语言
文字
语言 如果一条直线上的
两点在一个平面内，
那么这条直线在此
平面内. 过不在一条直线上
的三点，有且只有
一个平面. 如果两个不重合的
平面有一个公共点，
那么它们有且只有
一条过该点的公共
直线．
符号
语言 A、B、C 不共线
A、B、C 确定平面α
2.公理 2 的三条推论：
推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个
平面；
推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
难点
公理及其推论的应用
1．公理 1 既可以判断直线是否在平面内，点是否在平面内，
又可以利用直线检验平面．
2．公理 2 的作用：
(1)确定平面；
(2)证明点、线共面．
3．公理 3 的作用：
(1)判断两个平面是否相交；
(2)确定两个平面的交线；
(3)证明若干点共线问题．
符号语言、文字语言、图形语言的互译
例 1：若α∩β＝l，点 A、B∈α，C∈β，试画出平面 ABC 与
平面α、β的交线．
(1)
(2)
图 1
若 AB∥l 时，如图 1(2)，直线 AB、CD 是所求交线．
解：若 AB∩l＝D 时，如图 1(1)，直线 AB、CD 是所求交线；
正确地用图形和符号表示点、直线、平面以
及它们之间的关系．点看成是元素，线、面看成是点的集合，
所以点与线、面的关系用“∈、 ”表示，线与线、线与面及面
与面的关系用“ 、 ”表示．
1－1.试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：
(1)点 A 在平面α内，但不在平面β内；
(2)直线 l 经过平面α外一点 P，且与平面α相交于点 M；
(3)平面α与平面β相交于直线 l，且 l 经过点 P.
解：(1)A∈α，A β，此处图形不唯一，符合要求即可，如
图 11(1)．
图 11
(2)P∈l，P α，l∩α＝M，如图 11(2)．
(3)α∩β＝l，P∈l，如图 11(3)．
点线共面问题
例 2：求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一
平面内．
解：已知：直线 AB、BC、CA 两两相交，交点分别为 A、B、
C(如图 2)．求证：直线 AB、BC、CA 共面．
图 2
证明：∵AB∩CA＝A，
思维突破：根据题目写出已知、求证后，再进行证明．
证明线共面一般先用公理 2 及其推论证两
条直线确定一个平面，再用公理 1 证明余下的直线也在它们确
定的平面内．
∴直线 AB 和 AC 确定一个平面α(推论 2)．
因此，直线 AB、BC、CA 都在平面α内，即它们共面．
图 3
证明：∵PQ∥a，
∴PQ 与 a 确定一个平面β，
∴直线 a β，点 P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，
∴α与β重合，∴PQ α.
2－1.如图 3，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，
求证：PQ α.
多点共线问题
例 3：已知：EF∩GH＝P，E∈AB，F∈AD，G∈BC，H∈
CD，求证：B、D、P 三点共线．
思维突破：应用公理 3，选择恰当的平面，只要证明此三点
都是某两个平面的公共点，即可证三点在这两个平面的交线上．
∵AB∩BD＝B，
∴AB 和 BD 确定平面 ABD.
∵A∈AB，D∈BD，
∴AD 平面 ABD(公理 1)．
∵E∈AB，F∈AD，∴EF 平面 ABD.
又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面 ABD.
同理，P∈平面 BCD.
∵BD 平面 ABD，BD 平面 BCD，
∴平面 ABD∩平面 BCD＝BD.
∴P∈BD，即 B、D、P 三点共线．
证明：如图 4.
图 4
证明若干点共线问题的基本方法：
①首先找出两个平面的交线，然后证明这若干点都是这两
个平面的公共点，根据公理 3 可推知这些点都在交线上，即证
若干点共线；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一些点都在这
条直线上．
3－1.△ABC 在平面α外，AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α
＝R，求证：P、Q、R 三点共线．
∴P、Q、R∈α
①，P∈AB，Q∈BC，R∈AC ②，
由②可得 P、Q、R∈ABC，
∴P、Q、R 是平面 ABC 与平面α的公共点，
∵两平面相交有且只有一条交线，
∴P、Q、R 三点在平面 ABC 与平面α的交线上，
即 P、Q、R 三点共线．
证明：AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，
例 4：如图 5，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E、F
分别是 AA′、AB 上一点，且 EF∥CD′，求证：平面 EFCD′、
平面 AC 与平面 AD′两两相交的交线 ED′、FC、AD 交于一点．
图 5
错因剖析：遇到此类证明多线共点问题，找不到解决问题
的突破口．
证明：∵E、F 分别是 AA′与 AB 上一点，∴EF≠CD′.
又∵EF∥CD′，
∴四边形 EFCD′是梯形，直线 ED′和 FC 相交于一点，
设此点为 P，
∵P∈ED′ 平面 AA′D′D，P∈FC 平面 ABCD，
∴P 是平面 AA′D′D 与平面 ABCD 的公共点．
∵平面 AA′D′D∩平面 ABCD＝AD，∴P∈AD.
∴ED′、FC、AD 交于一点 P.
先证两条直线交于一点，再证第三条直线
经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．
4－1.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相
交于一点，那么第三条也经过这个点．
解:已知:平面α 、β、γ满足α∩β＝a,β∩γ＝b,γ∩α＝c,
a∩b＝A，如图12.求证：A∈c.
图 12
证明：∵a∩b＝A，∴A∈a，A∈b.
又∵α∩β＝a，β∩γ＝b，∴a α，b γ.
∴A∈α，A∈γ.
即 A 在平面α与平面γ的交线上，
又α∩γ＝c，∴A∈c.