21.1.1 一元二次方程及有关概念-课件(共25张PPT)

一元二次方程及有关概念
学习目标
理解一元二次方程的概念.
根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.
理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
2.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
类比一元一次方程的定义，想一想：什么样的方程叫一元二次方程呢？
复习回顾
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得
化简，得
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
3600cm2
知识精讲
问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛.
根据题意，列方程：
化简，得：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
知识精讲
方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
知识精讲
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
ax2 称为二次项, a 称为二次项系数.
bx 称为一次项, b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
※一元二次方程的概念
※一元二次方程的一般形式
知识精讲
思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时 ，
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时 ，
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
知识精讲
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ）
C
不是整式方程
含两个未知数
化简整理成x2-3x+2=0
少了限制条件a≠0
【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
典例解析
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
?
?
?
?
?
?
?
?
(1) x2+ x=36
针对练习
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
【点睛】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
典例解析
方程(2a-4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程；
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
针对练习
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
知识精讲
例3 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
【点睛】判定一元二次方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数需要先将方程化为一般形式，再去判断；注意系数和项均包含前面的符号.
典例解析
※一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
【练习】下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解?
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解：
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
知识精讲
例4 已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
【点睛】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
典例解析
1. 下列哪些是一元二次方程？
(1)3x+2=5x-2
(2)x2=0
(3)(x+3)(2x-4)=x2
(4)3y2=(3y+1)(y-2)
(5)x2=x3+x2-1
(6)3x2=5x-1
?
?
?
?
?
?
达标检测
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
达标检测
4.已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为_______．
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k 　　　时，是一元二次方程．
当k 　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
达标检测
4.(1) 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2.
整理，得
根据题意有，
200cm
150cm
达标检测
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.
整理，得
根据题意有，
达标检测
5.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
达标检测
6.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0，有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述：m =2.
达标检测
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx +c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
※一元二次方程的概念
※一元二次方程的一般形式
※一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
小结梳理