(共14张PPT)
1．3.3 球的体积和表面积
1．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(
)
A ．
1
2
B．1
C．2
D．3
D
2．火星的半径约是地球的一半，地球表面积是火星表面积
的___倍．
4
3．若一个球的体积为 ，则它的表面积为_____.
12π
4．已知球的半径为 10 cm，若它的一个截面圆的面积是
36π cm2，则球心与截面圆周圆心的距离是______.
8 cm
解析：设截面圆半径为 r，球心与截面圆圆心的距离为 d，
球半径为 R，由已知，R＝10 cm，πr2＝36π cm2，∴r＝6 cm，
重点
球的表面积、体积公式及应用
1．球的结构特征：球可以看作是以半圆的直径所在直线为
旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．
球的体积
例 1：(1)球的表面积增大为原来的 4 倍，则体积增大为原
来的____倍；
(2)三个球的半径之比为 1∶2∶3，那么最大的球的体积是
其余两个球的体积和的______倍；
(3)把半径分别为 3,4,5 的三个铁球，熔成一个大球，则大球
半径是______．
答案：(1)8
(2)3
(3)6
思维突破：(1)球的表面积增大为原来的 4 倍，即半径增大
为原来的 2 倍，所以体积增大为原来的 8 倍．
(2)设三个球的半径分别为 r、2r、3r，
大球的半径 R 满足 R3＝216，即 R＝6.
1－1.直径为 10 cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直
径为 2 cm 的小球，如果不计损耗，可铸成这样的小球的个数为
(
)
D
A．5
B．15
C．25
D．125
球的表面积
例 2：已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离为
球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积．
图 1
解：如图 1，设截面圆心为 O′，连接 O′A，设球半径为
R，
2－1.(2010 年辽宁)已知 S、A、B、C 是球 O 表面上的点，
SA⊥平面 ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ ，则球 O 的表
)
A
面积等于(
A．4π
C．2π
B．3π
D．π
球与多面体及旋转体的组合体的计算问题
例 3：已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为
，则长方体的体积为____________；外接球的体积
为__________；对角线的长为____________．
思维突破：球是长方体的外接球，从而长方体的对角线是
外接球的直径．
3－1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶
点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为____.
14π
解：设球半径为 R，正四棱柱底面边长为 a，
∴a＝8，∴S 表＝64×2＋32×14＝576.
又∵4πR2＝324π，
∴R＝9.
图 10
3－2.表面积为 324π的球，其内接正四棱柱的高是 14，求这
个正四棱柱的表面积．
例 4：半径为 10 cm 的球被两个平行平面所截，两个截面圆
的面积分别是 36π cm2，64π cm2 ，则这两个平行平面的距离是
________．
错因剖析：没有考虑两个截面圆在球心同侧和异侧两种情
形以致漏解．
图 2
如图 2(2)，当球的球心在两个平行平面之间时，这两个平
面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之和，即为
正解：如图 2(1)，当球的球心在两个平行平面的外侧时，
这两个平行平面间的距离为球心与两个截面圆圆心的距离之
4－1.(2010 年湖北)圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若
放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好
淹没最上面的球(如图 3)，则球的半径是___cm.
4
图 3(共21张PPT)
第一章
空间几何体
1．1 空间几何体的结构
1．1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．棱柱至少有___个面，五棱台有___个面．
5
7
4
2．一个棱锥至少有___个面，它既叫___面体，又叫___棱锥.
)
C
3．四棱柱的侧棱及顶点的数目分别为(
A．四条侧棱、四个顶点
B. 八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点
D. 六条侧棱、八个顶点
四
三
)
B
4．过正三棱柱底面一边的截面是(
A．三角形
B．三角形或梯形
C．不是梯形的四边形
D．梯形
1．棱柱的性质：
(1)侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
重点 棱柱、正棱锥和正棱台的性质
2．正棱锥的性质：
(1)正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形；
(2)等腰三角形底边上的高(即棱锥的斜高)都相等．
3．正棱台的性质：
(1)各侧棱相等；
(2)正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；
(3)正棱台的斜高相等．
重难点
棱柱的两个本质特征
1．有两个面(底面)相互平行．
2．其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平
行．
因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．
但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的
几何体”不一定是棱柱．
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例 1：长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝3，AD＝4，AA1
＝5，求对角线的长．
长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB＝a，AD
＝b，AA1＝c，对角线 AC1＝
1－1.如图 1，长方体 ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面 BCNM 把这个长方体分成两部分，各部分形成的
几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果
不是，说明理由．
图 1
解：(1)是棱柱，并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个
面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱
互相平行，符合棱柱定义．
(2)截面BCNM 的上方部分是三棱柱BMB1－CNC1，下方部
分是四棱柱 ABMA1－DCND1.
1－2.将 8 个棱长为 1 的正方体按不同的方式摆放成实心长
方体，求所得长方体的对角线的最大值．
解：将 8 个棱长为 1 的正方体排成一排组成长方体，其棱
长分别为 1,1,8，所得长方体的对角线长为
将 8 个棱长为 1 的正方体排成两排组成长方体，其棱长分
别为 1,2,4，所得长方体的对角线长为
将 8 个棱长为 1 的正方体排成正方体，其棱长分别为 2,2,2，
所得长方体的对角线长为
所以长方体的对角线的最大值为
空间想象能力的训练
例 2：下面是一多面体的展开图，如图 2 每个面内都给了字
母，请根据要求回答问题：
图 2
(1) 如 果 A 在 多 面 体 的 底 面 ， 那 么 哪 一 面 会 在 上 面
__________；
(2)如果面 F 在前面，从左边看是面 B，那么哪一个面会在
上面__________；
(3)如果从左面看是面 C，面 D 在后面，那么哪一个面会在
上面__________．
答案：(1)F
(2)E
(3)A
2－1.如图 3，纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记
为上、下、东、南、西、北．现有沿该正方体的一些棱将正方
体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面
的方位是(
)
B
图 3
A．南
B．北
C．西
D．下
2－2.如图 4，一个封闭的正方体，它的六个表面各标有 A、
B、C、D、E、F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的
)
D
位置，则字母 A、B、C 对面的字母分别为(
图 4
A．D、E、F
B．F、D、E
C．E、F、D
D．E、D、F
有关计算问题
例 3：如图 5，正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 a，高为 h，
求它的侧棱 PA 的长和斜高(侧面的高)PE.
图 5
思维突破：把侧棱、斜高分别放到 Rt△PAO、Rt△POE 中，
解三角形即可．
解：∵正四棱锥的底面边长为 a，
空间问题平面化，平面问题三角化．
解：如图 1，设棱台的两底面的中心分别是 O 和 O1，B1C1
和 BC 的中点分别是 E1 和 E，连接 OO1、O1E1、OE、EE1，则
OBB1O1 和 OEE1O1 都是直角梯形．
图 1
3－1.正四棱台 AC1 的高是 17 cm，两底面的边长分别是 4 cm
和 16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
∵A1B1＝4 cm，AB＝16 cm，
∴O1E1＝2 cm，OE＝8 cm，
例 4：如图 6，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝3，AD＝
2，CC1＝4，一条绳子从 A 沿着表面拉到 C1，求绳子的最短长
度．
错因剖析：考虑问题不全面以致漏解．
图 6
图 7
则 AC1 的最短长度为
若沿着 AB 剪开如图 8，
图 8
正解：将长方体沿着 AA1 剪开，如图 7，
4－1.长方体三条棱长分别是 AA′＝1，AB＝2，AD＝4，则
从 A 点出发，沿长方体的表面到 C′的最短矩离是(
)
A．5
B．7
A(共20张PPT)
1．2.2 空间几何体的直观图
)
A
1．哪个实例不是中心投影(
A．工程图纸
B．小孔成像
C．相片
D．人的视觉
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是
(
)
C
A．原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴，
长度不变
B．原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，
长度变为原来的
1
2
C．画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′
必须是 45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不
同
)
C
3．如图 1，该直观图表示的平面图形为(
图 1
A．钝角三角形
C．直角三角形
B．锐角三角形
D．正三角形
4.利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是_____.
①②
重难点
空间几何体的直观图
1．用斜二测法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形
直观图的画法，而其中的关键是确定多边形顶点的位置．
2．用斜二测法画水平放置的平面图形的步骤为：画轴、取
点、成图．图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中仍平行于 x′
轴且长度_________，平行于 y 轴的线段，在直观图中仍平行于
y′轴且长度变为__________，与坐标轴不平行的线段，可通过
确定端点的办法来解决；画空间图形的直观图时，只需增加一
个竖直的 z′轴，图形中平行于 z 轴的线段，在直观图中仍平行
于 z′轴且长度_________．
3．将直观图还原为其空间几何体时，应抓住斜二测画法的
规则．
保持不变
原来的一半
保持不变
用斜二测画法画平面图形的直观图
解：(1)如图 2(1)，在已知五边形 ABCDE 中，取中心 O 为
原点，对称轴 FA 为 y 轴，过点 O 与 y 轴垂直的是 x 轴，分别
过B、E 作 GB∥y 轴，HE∥y 轴，与 x 轴分别交于点 G、H，画
对应的轴 O′x′、O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
例 1：用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图．
且以点 F′为中点，画 C′D′∥x′轴，且使 C′D′＝CD；
(3)连接 A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，
所得五边形 A′B′C′D′E′就是正五边形 ABCDE 的直观
图，如图 2(3)．
图 2
1－1.画如图 3 中水平放置的直角三角形的直观图．
图 3
解：如图 5，按如下步骤完成：
图 5
①在已知的直角三角形 ABC 中取直角边 CB 所在的直线为
x 轴，过点 B 与 BC 垂直的直线为 y 轴，画出对应的 x′轴和 y′
轴，使∠x′O′y′＝45°；②在 x′轴上取 O′C′＝BC，过
A′O′，即得到该直角三角形的直观图．
用斜二测画法画空间图形的直观图
例 2：已知一个正四棱台的上底面边长为 2 cm，下底面边
长为 6 cm，高为 4 cm，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
解：如图 4(1)，步骤如下：
(1)画轴．以底面正方形 ABCD 的中心为坐标原点，画 x 轴、
y 轴、z 轴，三轴相交于 O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；
(2)画下底面．以 O 为中点，在 x 轴上取线段 EF，使得 EF
＝6 cm，在 y 轴上取线段 GH，使得 GH＝3 cm，再过 G、H 分
为 H，这样就得到了正四棱台的下底面 ABCD 的直观图；
x′O1y′，在 x′O1y′中重复(2) 的步骤画出上底面的直观图
A1B1C1D1；
(4)连接 AA1、BB1、CC1、DD1，得到的图形就是所求的正
四棱台的直观图，如图 4(2)．
图 4
(3)画上底面．在 z 轴上截取线段 OO1＝4 cm，过 O1 点作
O1x′∥Ox 、O1y′∥Oy ，使∠x′O1y′＝45° ，建立坐标系
解：直观图如图 6，具体步骤略．
图 6
2－1.画棱长为 4 cm 的正方体的直观图．
给出直观图来研究原图形
例 3：如图 5，梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观
＝1.请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的面积．
图 5
解：如图6，建立直角坐标系 xOy，在 x 轴上截取 OD＝O1D1
＝1，OC＝O1C1＝2.在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA＝2D1A1
＝2.在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB＝A1B1＝2.连接 BC，即
得到了原图形．
图 6
由作法可知，原四边形 ABCD 是直角梯形，上、下底长度
分别为 AB＝2，CD＝3，直角腰长度为 AD＝2，所以面积为 S
＝
2＋3
2
×2＝5.
3－1.图 7 为水平放置的△OAB 的直观图，由图判断原三角
形中 AB、OB、OD、BD 由小到大的顺序为_________________.
图 7
OD
根据三视图，画直观图
例 4：根据三视图(如图 8)，画出物体的直观图．
图 8
解：(1)画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy＝45°，∠xOz
＝90°.如图 9；
图 9
(2)画圆柱的两底面和圆台上底面．画出底面圆 O，在 z 轴
上截取 O′，使 OO′等于三视图中相应高度．过 O′作 Ox 的
平行线 O′x′，Oy 的平行线 O′y′，利用 O′x′与 O′y′
画出底面圆 O′( 与画圆 O 一样) ．再在 z 轴上截取 O″，使
O′O″等于三视图中相应高度．过 O″作 Ox 的平行线 O″x″，
Oy 的平行线 O″y″，利用 O″x″与 O″y″画出底面圆 O″；
(3)成图．连接 AA′、A′A″、B″B′、B′B，整理得到
三视图所表示的立体图形的直观图．
4－1.图 10 中，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它
的直观图．
图 10
解：画法：
(1)画轴．如图 7(1)，画 x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°；
图 7
(2)画圆柱的两底面，仿照例 4 画法，画出底面⊙O.在 z 轴
上截取 O′，使 OO′等于三视图中相应高度，过 O′作 Ox 的
平行线 O′x′，Oy 的平行线 O′y′，利用 O′x′与 O′y′
画出底面⊙O′(与画⊙O 一样)；
(3)画圆锥的顶点．在 Oz 上截取点 P，使 PO′等于三视图
中相应的高度；
(4)成图．连接 PA ′、PB′、A′A、B′B，整理得到三视
图表示的几何体的直观图〔图7(2)〕．
正解：C
错因剖析：①忘记平行于 y 轴的线段，长度为原来长度的
一半；②忘记y 轴与x 轴的夹角由直角变为45°，此时三角形的
中的高，h 是平面图形中的高．
出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的(
)
例 5：对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作(共10张PPT)
章末整合提升
专题一
三视图的应用
已知几何体的三视图，求该几何体的体积或表面积时，需
先由三视图还原出直观图，再根据直观图求几何体的体积或表
面积．
图 1
例 1：(2010 年天津)一个几何体的三视图如图 1，则这个几
何体的体积为________．
答案：
10
3
思维突破：由三视图可得，该几何体由一个正四棱柱和一
个正四棱锥组成，正四棱柱的底面边长为 1，高为 2，正四棱锥
的底面边长为 2 ，高为 1 ，故该几何体的体积 V ＝1×1×2 ＋
1－1.(2010 年辽宁)如图 2，网格纸的小正方形的边长是 1，
在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的
一条棱的长为_____.
图 2
1－2.(2010 年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视
图如图 3，则其表面积等于__________.
解析：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1 的正
图 3
专题二
几何体体积或表面积的相关计算
例 2：(2010 年上海)如图 4，为了制作一个圆柱形灯笼，先
要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，再用 S 平方
米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．
(1)当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最
大值(结果精确到 0.01 平方米)；
(2)若要制作一个如图 4 放置的，底面半径为 0.3 米的灯笼，
请作出用于灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素).
图 4
解：(1)设圆柱形灯笼的母线长为 l，则 l＝1.2－2r(0S＝－3π(r－0.4)2＋0.48π，
所以当 r＝0.4 时，S 取得最大值约为 1.51 平方米．
(2)当 r＝0.3 时，l＝0.6，作三视图略．
2－1.(2010 年天津)一个几何体的三视图如图 5，则这个几
何体的体积为___.
3
图 5
2－2.(2010 年上海)已知四棱椎 P－ABCD 的底面是边长为 6
的正方形，侧棱 PA ⊥底面 ABCD，且 PA ＝8，则该四棱椎的体
积是___.
96(共17张PPT)
1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2.1 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图
1．如图 1，这是一幅电热水壶的正视图，则它的俯视图是
(
)
D
2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的
是(
)
D
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
图1
3．如图，小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地
面上形成的投影不可能是(
)
A
4．将如图 2 的 Rt△ABC 绕直角边 AC 旋转一周，所得几何
体的正视图是(
)
D
图2
重点
空间几何体的三视图
1.光线从几何体的前面向后投影所得的投影图成为“正视
图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投
影所得的图形称为“俯视图”．用这三种视图即可刻划空间物
体的几何结构，称为“三视图”.
2.球的正视图、侧视图、俯视图都是圆；正方体的正视图、
侧视图、俯视图都是正方形．
3.画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即
“正、俯视图一样长，正、侧视图一样高，俯、侧视图一样宽”．
4.将三视图还原成空间几何体，应充分抓住正视图的结构特
征及俯视图与侧视图的结构特点进行逆向思维，并联想基本的
几何体的图形结构．
简单几何体的三视图
例 1：作出图 3 中几何体的三视图．
图 3
思维突破：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线或棱用
实线表示，不能看见的轮廓线或棱用虚线表示．还要注意三视
图一般要求正视图在左，侧视图在右，俯视图在下．
解：如图 4.
图 4
1－1.在如图 5 的四棱锥中，已知底面是正方形，侧棱 AB
垂直底面，则其俯视图为(
)
D
图 5
1－2.一物体及其正视图如图 6，则它的侧视图与俯视图分
别是图形中的(
)
B
图 6
A．①②
B．③②
C．①④
D．③④
简单组合体的三视图
例 2：画出图 7 中组合体的三视图．
图 7
解：如图 8.
图 8
画组合体的三视图时，要注意相邻两个几
何体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中不
要忘记将它们画出来，还要注意是虚线还是实线．
解：如图 4.
图 4
2－1.画出如图 9 中几何体的三视图．
图 9
2－2.下列三视图所对应的直观图是(
)
C
由三视图还原几何体
例 3：如图 10 中的是一些立体图形的三视图，请说出立体
图形的名称．
图 10
解：分别为长方体、圆锥．
3－1.如图 11，找出相应的立体图，并在其下方括号内填写
它的序号：
图 11
解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知
三视图比较，所以依次为 C、A、D、B.
例 4: 如图 12，根据几何体，在相应的视图中补上缺少的线
条．
图 12
错因剖析：没有充分观察几何体，忘记不能看得见的轮廓
线或棱用虚线表示．
正解：如图13.
图 13
4－1.(2010 年北京)一个长方体去掉一个小长方体，所得几
何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图 14，则该几何体的俯视
图为(
)
图 14
答案：C(共15张PPT)
1．3.2 柱体、锥体、台体的体积
1．长方体相交于一点的三个面面积分别为 6 cm2，8 cm2，
)
12 cm2，则长方体体积为(
A．24 cm3
C．40 cm3
B．6 cm3
D．48 cm3
解析：设各边边长分别为 a、b、c，由已知有：ab＝6，ac
＝8，bc＝12，故 a＝2，b＝3，c＝4.故 V＝24.也可以三式相乘
得(abc)2＝242.故 V＝24.
A
2．轴截面(过圆锥顶点和底面中心的截面)是直角三角形的
圆锥的底面半径为 4，则该圆锥的体积为______.
64
π
3
3．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为
1 cm，2 cm， 3 cm，则此棱锥的体积为____.
1
4．将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的
体积是_____.
重点
柱、锥、台体的体积公式
1．柱体的体积公式是 V＝Sh.
解决用料问题
例 1：牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合
体，尺寸如图 1，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需
要多少平方米的篷布(精确到 0.01 m2)
图 1
正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，
解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是
体积计算．
下部分圆柱体的侧面积为 S1＝π×5×1.8.
所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为
≈50.06(m2)．
1－1.如图 2，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4，点 P、
)
Q 在棱 CC1 上，PQ＝1，则三棱锥 P－QBD 的体积是(
图 2
A.
8
3
B.
4
3
C．8
D．与 P 点位置有关
A
由三视图求几何体体积
例 2：长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何
体，其中一个几何体俯视图(正上方观察)，正视图(正前方观察)，
侧视图(左侧正前方观察)如图 3，则长方体的体积为________．
图 3
思维突破：依题意，如图 4，则长方体体积为：4×4×3＝
48.
图 4
答案：48
2－1.(2010 年陕西)若某空间几何体的三视图如图 5，则该
几何体的体积是(
)
B
图 5
A．2
B．1
C.
2
3
D.
1
3
对长方体对角线的理解
例 3：一个长方体全面积是 20 cm2，所有棱长的和是 24 cm，
求长方体的对角线的长．
解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c，
3－1.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为
2，3，6，求长方体的体积及对角线的长．
例 4：已知某几何体的俯视图是如图 6 中的矩形，正视图是
一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为
6、高为 4 的等腰三角形．
图 6
(1)求该几何体的体积 V；
(2)求该几何体的侧面积 S.
正解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底
面是长、宽分别为8 和6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底
边长为8，高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，
高为 h2 的等腰三角形如图7.
图 7
错因剖析：对几何体的形状想象不准确，导致解答错误．
(1)几何体的体积为
4－1.(2010 年广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图
)
A
及其尺寸如图 8，则该空间几何体的体积是(
图 8
A.
14
3
B.
7
3
C．14
D．7(共19张PPT)
1.3 空间几何体的表面积与体积
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积
1．侧棱长为 5 cm、底面边长为 6 cm 的正三棱锥的表面积
为___________.
解析：如图 8 中的正三棱锥 S－ABC，
过 S 作 SD⊥BC，垂足为 D，
图 8
2．已知正四棱台的上、下底面的边长分别是 4 cm 和 8 cm，
侧棱长为 8 cm，则正四棱台的表面积为____________.
图 9
解析：如图 9，在正四棱台 ABCD－A1B1C1D1，
3．若圆台的上、下底面半径分别是 1 和 3，它的侧面积是
两底面积和的 2 倍，则圆台的母线长为(
)
C
A．2
B．2.5
C．5
D．10
解析：设母线长为 l，由π(1＋3)l＝2π(12＋32)得 l＝5.
36
个几何体的表面积是___cm2.
图 1
4．棱长为 1 cm 的小正方体组成如图 1 的几何体，那么这
重点
柱、锥、台的表面积公式及应用
1.已知正方体的棱长为 a，则正方体的表面积是 6a2；已知
长方体的长、宽、高分别是 a、b、c，则该长方体的表面积是
2(ab＋bc＋ac)．
2.(1)圆柱的侧面展开图是矩形，当底面半径为 r，母线长为
l 时，圆柱的表面积为 S＝2πr2＋2πrl；
(2)圆锥的侧面展开图是扇形，当底面半径为 r，母线长为 l
时，圆锥的表面积为 S＝πr2＋πrl；
(3)圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r′、
r，母线长为 l 时，圆台的表面积等于上、下两个底面的面积和
加上侧面的面积，即 S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
难点
圆锥、圆台的侧面展开图
1.圆锥的侧面展开图是扇形，当底面半径为 r，母线长为 l
2.圆台的侧面展开图是扇环，当上、下底面半径分别为 r′、
r，母线长为 l 时，扇环的圆心角θ＝
r－r′
l
×360°.
最基本几何体的运算
例 1：如图 2，已知四边形 ABCD 为直角梯形，AB⊥AD，
DC∥AB，且边 AB、AD、DC 的长分别为 7 cm，4 cm，4 cm，分
别以 AB、AD、DC 三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表
面积．
图 2
解：作 CE⊥AB 于点 E，
(1)以 AB 所在直线为旋转轴(此时旋转得到一圆锥和一圆柱
的组合体)：
S1＝8π×4＋π×4×5＋π×42＝68π.
(2)以 AD 所在直线为旋转轴：
S2＝π×42＋π×72＋π×(4＋7)×5＝120π.
(3)以 DC 所在直线为旋转轴：
S3＝5π×4＋2π×4×7＋π×42＝92π.
3×4
，
解：以 AB 所在直线为旋转轴：S＝4π(4＋5)＝36π，
以 AC 所在直线为旋转轴：S＝3π(5＋3)＝24π，
以 BC 所在直线为旋转轴：此时所得几何体为两个圆锥的组
合体，则 BC 边上的高 AD＝
5
＝
12
5
1－1.已知△ABC 三边 AB、AC、BC 长分别为 3 cm，4 cm，
5 cm，分别以三边所在直线为旋转轴，求所得几何体的表面积．
由三视图求几何体表面积
例 2：一个正三棱柱的三视图如图 3，求这个正三棱柱的表
面积．
图 3
由侧视图知正三棱柱底面三角形的高为
解：由三视图知正三棱柱的高为 2 mm.
利用三视图求几何体表面积的关键，是正
确理解和认识三视图中所给量与几何体中量之间的对应关系．
∴正三棱柱的表面积为
2－1.(2010 年安徽)一个几何体的三视图如图 4，该几何体
)
B
的表面积是(
A．372
C．292
图 4
B．360
D．280
几何体表面积的最值问题
例 3：如图 5，圆台上、下底面半径分别为 5 cm,10 cm，母
线长为 20 cm，从母线 AB 的中点 M 拉一条细绳，围绕圆台侧面
转至下底面的 B 点，求 B、M 间细绳的最短长度．
图 5
，∴SA＝20 cm.
解：如图 6，沿 BA 所在母线将其展开，易知最短长度即为
线段 B、M 的长度．
设圆锥顶点为 S，△SBC 是其轴截面，则
5
10
＝
SA
SA＋20
∴△MSB′是直角三角形．
图 6
＝50(cm)．
即 M、B 间细绳的最短长度为 50 cm.
求旋转体或多面体侧面上两点间的最短距
离的思路：将其转化为平面图形，在平面图形上求出的两点间
线段的长度就是两点间的最短距离．
图 7
解：沿 A、B 所在棱将三棱锥侧面展开，则 A、B 两点间的
最短绳长就是线段 AB 的长度．
又 OA＝4 cm，OB＝3 cm，∠AOB＝90°，
∴AB＝5 cm.
故此绳在 A、B 间最短的绳长为 5 cm.
3－1.如图 7，在以 O 为顶点的三棱锥中，过 O 的三条棱两
两的交角都是 30°，在一条棱上有 A、B 两点，OA＝4 cm，OB
＝3 cm，以 A、B 为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳
和侧面无摩擦)，求此绳在 A、B 之间的最短绳长．
例 4：用一张长为 8 cm，宽为 4 cm 的矩形硬纸卷成圆柱的
侧面，求圆柱的轴截面的面积和底面积．
错因剖析：将矩形硬纸卷成圆柱有两种不同卷法，很容易
丢解．
正解：设卷成的圆柱的母线长(即高)为 h，
底面半径为 r，则
4－1.圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图为一个正方形，
)
那么这个圆柱的侧面积是(
A．4πS
B．2πS
C．πS
A
解析：设底面半径为 r，故 S＝πr2.由侧面展开图是正方形，