(共9张PPT)
3．3.2 两点间的距离
D
A．0
B．6
C．3
D．0 或 6
2．到 A(2，－3)和 B(4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是
(
)
C
A．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0
B．x－y＋1＝0
D．x＋y＋1＝0
3．动点 P 到点(1，－2)的距离为 3，则动点 P 的轨迹方程
是(
)
B
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
4．若点 A(3，m)与点 B(0,4)的距离为 5，则 m＝______.
0 或 8
重难点
两点间的距离公式
两点间距离公式的正用
例 1：已知：△ ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－1,3)，
C(3,0)．求证：△ABC 是直角三角形．
因为|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC 是以顶点 A 为直角顶点的直角三角形．
证明：由已知，
1－1.已知点 A(0,4)和点 B(1,2)，则|AB|＝____.
两点间距离公式的逆用
例 2: 试在直线 x－y＋4＝0 上求一点 P，使它到 M(－2，
－4)，N(4,6)的距离相等．
解：∵点 P 在 x－y＋4＝0 上，∴P(a，a＋4)．
∵|PM|＝|PN|，
值．
得 x2－4x－45＝0，解得 x1＝9 或 x2＝－5，
故所求 x 值为 9 或－5.
图 1
证明：如图1，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BC
的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy.
设点 A(a，b)，B(－c,0)，C(c,0)，由两点间距离公式得：
∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AO|2＋|OC|2＝a2＋b2＋c2.
∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
解析法的应用
例 3：已知 AO 是△ABC 中 BC 边的中线，
证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)．
3－1.△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合)，
且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.用解析法证明：△ABC 为等腰三角形．
解：如图33，作AO⊥BC，垂足为O，以 BC 所在直线为 x
轴，以 OA 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系．
设 A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．
因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，
所以 b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，
所以－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．
又d－b≠0，故－b－d＝c－d，所以－b＝c，即|BO|＝|OC|.
所以△ABC 为等腰三角形．
图 33
例 4：线段 AB∥x 轴，且|AB|＝5，若点 A 的坐标为(2,1)，
求 B 点的坐标．
错因剖析：忽视了距离是绝对值导致漏解．
正解：线段 AB∥x 轴，点 A 的坐标为(2,1)，设点 B(x,1)，
由|AB|＝5，故|x－2|＝5，∴x＝7 或 x＝－3，
故 B(7,1)或 B(－3,1)为所求．
上一点，则a＝_______.
4－1.若 A(－2，－3)，B(1,1)，点 P(a,2)是 AB 的垂直平分线(共21张PPT)
3．2.3 直线的一般式方程
1．过点 A(2,3)和点 B(2，－3)的直线的一般式方程是(
)
B
A．x＝2
C．y＝2
B．x－2＝0
D．y－2＝0
)
C
2．斜率为 k 且过原点的直线的一般式方程是(
A．y＝kx
B．x－ky＝0
C．kx－y＝0
D．kx＋y＝0
3．直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，若 l 过原点和二、四象
限，则(
)
D
解析：∵l 过原点，∴C＝0，又 l 过二、四象限，
4．直线 2x＋y＋7＝0 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截
)
D
距为 b，则 a、b 的值是(
A．a＝－7，b＝－7
已知条件 方程 适用范围
点斜
式 点 P(x0，y0)和
斜率 k y－y0＝k(x－x0) 与 x 轴不垂直
的直线
斜截
式 斜率 k 和在 y
轴上的截距 y＝kx＋b 与 x 轴不垂直
的直线
两点
式 两点 P1(x1，y1)、
P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2) 与坐标轴不垂
直的直线
重点
五种形式的直线方程的对比
截距
式 在 x 轴和 y 轴上
的截距分别为
a、b(ab≠0) 与坐标轴不垂
直和不过原点
的直线
一般
式 两个独立的条
件
Ax＋By＋C＝0(A2 ＋
B2 ≠0) 任何直线
求直线方程的几种形式
例 1：已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的
一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图．
由两点式，得
y－6
8－6
＝
x＋5
，
－4＋5
整理，得 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
∴2x－y＝－16，两边同除以－16，
解：直线过 A(－5,6)，B(－4,8)两点，
＋ ＝1.
＋
＝1.
得
x
－8
y
16
故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，
斜截式方程为 y＝2x＋16，
截距式方程为
x
－8
y
16
图象如图 1.
图 1
求直线方程时，结果在未作要求的情况下
一般都整理成一般式．把一般式化为截距式时方法有两种：①
分别令 x＝0，y＝0 求 b 和 a；②移常数项，如 Ax＋By＝－C，
两边同除以－C(C≠0)，再整理成截距式的形式．
1－1.已知直线 mx＋ny＋12＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别
是－3 和 4，求 m、n 的值．
解法二：将 mx＋ny＋12＝0 化为截距式得
故 m、n 的值分别为 4，－3.
利用一般式方程求斜率
例 2：已知直线 Ax＋By＋C＝0(A、B 不全为 0).
(1)当 B≠0 时，斜率是多少？当 B＝0 时呢？
(2)系数取什么值时，方程表示通过原点的直线？
即直线与 x 轴垂直，斜率不存在．
(2)若方程表示通过原点的直线，则(0,0)符合直线方程，则
C＝0.∴当 C＝0 时，方程表示通过原点的直线．
解：(1)当 B≠0 时，方程可化为斜截式：
当 B≠0 时，直线 Ax＋By＋C＝0 的斜率是
一般式化为斜截式后求解．
2m2 ＋m－1
解：(1)在(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0 中，令
(2)因为直线的斜率为－1，
所以－
m2－2m－3
＝－1，
解得 m＝－2，m＝－1(舍去)．
2－1.设直线 l 的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－
2m＝0，根据下列条件分别确定实数 m 的值．
(1)l 在 x 轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
直线方程的综合应用
例 3：如果直线 l 经过点 P(2,1)，且与两坐标轴围成的三角
形面积为 S.
(1)当 S＝3 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(2)当 S＝4 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(3)当 S＝5 时，这样的直线 l 有多少条，并求直线的方程；
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，求 S 的取值范围；
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，求 S 的取值范围；
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，求 S 的取值范围．
思维突破：本题主要考查直线方程、一元二次方程以及不
等式的基础知识，因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形面
＝±8，
即 a2－6a＋12＝0 或 a2＋6a－12＝0，
前一个方程Δ<0 无解，后一个方程Δ>0 有两个不等的解，
∴这样的直线共有 2 条．
有
a2
a－2
即 a2－8a＋16＝0 或 a2＋8a－16＝0，
前一个方程Δ＝0 有一个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 3 条．
＝±10，
有
a2
a－2
即 a2－10a＋20＝0 或 a2＋10a－20＝0，
前一个方程Δ>0 有两个解，后一个方程Δ>0 有两个不等的
解，∴这样的直线共有 4 条．
(4)若这样的直线 l 有且只有 2 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 2 条，
则前一个方程必须有Δ<0，即(2S)2－4·4S<0.
∴S 的取值范围为(0,4)．
(5)若这样的直线 l 有且只有 3 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 3 条，
则前一个方程必须有Δ＝0，即(2S)2－4·4S＝0.
∴S 的取值范围为 S＝4.
(6)若这样的直线 l 有且只有 4 条，
即 a2－2Sa＋4S＝0 或 a2＋2Sa－4S＝0，
后一个方程Δ>0 恒成立肯定有两个不等的解，
∴如果这样的直线只有 4 条，
则前一个方程必须有Δ>0，即(－2S)2－4·4S>0.
∴S 的取值范围为(4，＋∞)．
3－1.直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，
则 a 的值是(
)
D
A．－2
C．－2 或－1
B．－1
D．－2 或 1
例 4：(1)已知 A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形 ABCD
是平行四边形，求 D 点的坐标；
(2) 已知某四边形是平行四边形，其中三点的坐标分别为
A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，求第四个点 D 的坐标．
错因剖析：没有注意两小题之间的区别，第(2)题有三种情
形．
正解：(1)设 D 点的坐标为(x0，y0)，
因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，即 AC、
BD 的中点重合．
即 D 点的坐标为(5,6)．
(2)由于不知道四个点排列情况，所以答案应该有三个：
①当四边形为 ABCD 时，同上即 D 点的坐标为(5,6)；
②当四边形为 ABDC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(1，－2)；
③当四边形为 ADBC 时，根据中点公式有
即 D 点的坐标为(－3,4)．(共14张PPT)
3.2 直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
)
D
1．过点(4，－2)，倾斜角为 150°的直线的方程是(
)
C
2．已知直线的方程是 y＋2＝－x－1，则(
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(－2，－1)，斜率为 1
C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
3．直线 3x＋2y＋6＝0 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，
则有(
)
C
4．经过点 A(－2，－1)，斜率是 5 的直线方程是_________
y＝0(即 x 轴)
5x－y＋9
=0
难点
点斜式方程
1．若直线经过点 P1 (x1，y1)，且斜率为 k，则直线的方程 y
－y1＝k(x－x1)是由直线上一定点和直线的斜率 k 确定的，它叫
做直线方程的点斜式．
2．方程
y－y1
x－x1
＝k 与方程 y－y1＝k(x－x1)是不等价的，前者
表示的直线缺少一个点(x1，y1)，而后者表示的是整条直线．
3．直线方程的点斜式只适用于有斜率的直线．而当直线垂
直于 x 轴时，倾斜角为 90°，斜率不存在，其方程是 x＝x1.
重点
斜截式方程
斜截式方程是点斜式方程的特殊形式：
当已知点取特殊点(0，b)时，所得的方程 y＝kx＋b 即为斜
截式方程，称 b 为直线在 y 轴上的截距．
直线的点斜式方程
例 1：求下列直线的方程：
(1)经过点 A(2,5)，斜率是 4；
(2)经过点 A(2,5)，倾斜角为 45°；
(3)经过点 A(2,5)，且与 x 轴平行；
(4)经过点 A(2,5)，且与 x 轴垂直．
解：(1)直线方程为 y－5＝4(x－2)，即 y＝4x－3.
(2)∵倾斜角为 45°，∴斜率为 1，
∴直线方程为 y－5＝1×(x－2)，即 y＝x＋3.
(3)经过点 A(2,5)，且与 x 轴平行，直线方程为 y＝5.
(4)经过点 A(2,5)，且与 x 轴垂直，直线方程为 x＝2.
使用直线的点斜式方程必须注意“斜率存
在”这一前提条件．
直线的斜截式方程
例 2：求下列直线的方程：
(1)经过点 A(－2,5)且与直线 3x＋4y－20＝0 平行；
(2)经过点 A(－2,5)且与直线 3x＋4y－20＝0 垂直．
2－1.若直线 ax＋by＋c＝0 在第一、二、三象限，则(
)
D
A．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0
B．ab＞0，bc＜0
D．ab＜0，bc＜0
点斜式方程和斜截式方程的应用
例 3: 已知直线 l 经过点 P(－5，－4)，且 l 与两坐标轴围成
的三角形的面积为 5，求直线 l 的方程．
思维突破：由题意知所围三角形为直角三角形．根据直角
三角形面积公式以及直线方程求出该直线在两坐标轴的坐标即
可．
解：由已知：l 与两坐标轴不垂直．
∵直线 l 经过点 P(－5，－4)，
∴ 可设直线 l 的方程为 y－(－4)＝k[x－(－5)]，
即 y＋4＝k(x＋5)．
已知直线过一点时，常使用点斜式或斜截式
方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式或斜截式表示，
对斜率不存在的情况要另外讨论，以免丢解．
形，求该直线的方程．
例 4：已知过点 A(－2，m)和 B(m,4)的直线与直线 2x＋y－1
＝0 平行，则 m 的值为(
)
A．0
B．－8
C．2
D．10
错因剖析：误以为直线 2x＋y－1＝0 的斜率是 2.
∴有
4－m
m－(－2)
＝－2，即 m＝－8.故选 B.
正解：∵直线 2x＋y－1＝0 的斜率为－2，
4－1.(2010 年安徽)过点(1,0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的
直线方程是(
)
A
A．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0
B．x－2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0(共15张PPT)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1．下列命题中正确命题的个数是(
)
①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；
③若两直线垂直，则这两条直线的斜率之积为－1；
④若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角相等；
⑤若两直线的斜率不存在，则这两条直线平行．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①错，两直线可能重合；②错，有可能两条直线的
斜率不存在；③错，有可能一条直线的斜率不存在；④正确；
⑤错，有可能这两条直线重合．
B
答案：A
(
)
2．直线 l1 的倾斜角为 30°，直线 l1⊥l2，则直线 l2 的斜率为
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)，B(0,－3)的直线，则
直线的倾斜角为(
)
D
A．30°
B．45°
C．120°
D．135°
4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)，则 l 的斜率为___.
2
重难点 1
两直线平行
1．已知直线 l1：y＝k1x＋b1 ， l2：y＝k2x＋b2，
如果 l1∥l2，则 k1＝k2 且 b1≠b2；
如果 k1＝k2 且 b1≠b2，则 l1∥l2.
2．当 l1 与 l2 的斜率都不存在且 l1 与 l2 不重合时，则 l1 与 l2
平行．
重难点 2
两条直线垂直
(1)当 l1⊥l2 时，它们的斜率之间的关系有两种情况：
①它们的斜率都存在且 k1k2＝－1；
②一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为 0.
(2)使用 l1⊥l2 k1k2＝－1 的前提是 l1 和 l2 都有斜率且不等
于 0.
注意：在立体几何中，两直线的位置关系有平行、相交和
异面(没有重合关系)；而在本章中，在同一平面内，两直线有重
合、平行、相交三种位置关系．
两条直线平行的判定
例 1：已知直线 l1 过点 A(3，a)，B(a－1,4)，直线 l2 过点 C(1,2)，
D(－2，a＋2)．
(1)若 l1∥l2，求 a 的值；
(2)若 l1⊥l2，求 a 的值．
思维突破：由 C、D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，
由 A、B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因
此应对 a 的取值进行讨论．
∴a＝3.
(2)若 l1⊥l2，
当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－1，显然不符合题意；
当 k2≠0 时，l1 的斜率存在，此时 k1＝－1，
由于 l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，解得 a＝－3.
判断两条直线平行( 或垂直) 并寻求平行( 或
垂直)的条件时，特别注意结论成立的前提条件．对特殊情形要
数形结合作出判断．
1－1.试确定 m 的值，使过点 A(m＋1,0)和点 B(－5，m)的直
线与过点 C(－4,3)和点 D(0,5)的直线平行．
解：由题意得：kAB＝
，
m－0
－5－(m＋1)
＝
m
－6－m
两条直线垂直的判定
例 2：已知 A(1，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求点 D，使直线 AB
⊥CD 且直线 AD∥BC.
y－(－1) y＋1
1－2 1
kAB＝
2－(－1)
2－1
＝3，kCD＝
1－y
， ∴3×
4－x
1－y
＝－1
4－x
①.
又 AD∥BC，kAD＝
＝
x－1 x－1
，kBC＝
＝－ ，
4－2 2
∴
y＋1
x－1
＝－
1
2
②.
由①②，则 x＝－17，y＝8，则 D(－17,8)．
解：设 D(x，y)，∵AB⊥CD，
2－1.已知三点 A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)，若 AB
⊥BC，求 m 的值．
m2－m－1－1 m2－m－2
则 k2＝
＝
3－1 3－1
，
又知 xA－xB＝m－2，
①当m－2＝0,即m＝2时,k1不存在,此时k2＝0，则AB⊥BC；
解：设 AB、BC 的斜率分别为 k1、k2，
故若 AB⊥BC，则 m＝2 或 m＝－3.
②
当
m
－
2
≠
0
，即
m
≠
2
时，
k
1
＝
1
m
－
2
.
由
k
1
k
2
＝
m
2
－
m
－
2
2
·
1
m
－
2
＝－
1
，得
m
＝－
3
，
断四边形 ABCD 是否为梯形？如果是梯形，是否是直角梯形？
平行和垂直关系的综合应用
又∵直线 AB 和直线 CD 不重合，∴AB∥CD.
解：
∵
直线
AB
的斜率
k
AB
＝
5
－
1
2
－
0
＝
2
，
直线
CD
的斜率
k
CD
＝
23
5
－
(
－
3
)
14
5
－
(
－
1
)
＝
2
，
∴
k
AB
＝
k
CD
.
(1)判断一个四边形为梯形，需要两个条件：
①有一对相互平行的边；②另有一对不平行的边．(2)判断一个
四边形为直角梯形，首先需要判断它是一个梯形，然后证明它
有一个角为直角．
即直线 AD 与直线 BC 不平行．∴四边形 ABCD 是梯形．
∴AB⊥BC.
∴梯形 ABCD 是直角梯形．
∵
直线
AD
的斜率
k
AD
＝
－
3
－
1
－
1
－
0
＝
4
，直线
BC
的斜率
k
BC
＝
23
5
－
5
14
5
－
2
＝－
1
2
，
∴
k
AD
≠
k
BC
，
D（－4,4)四点所得的四边形是梯形．
从而直线 BC 与 DA 不平行，
∴四边形 ABCD 是梯形．
例 4：在直角△ABC 中，∠C 是直角，A(－1,3)，B(4,2)，
点 C 在坐标轴上，求点 C 的坐标．
则 kAC＝
－3
x＋1
，kBC＝
－2
x－4
，
∵AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即
6
(x＋1)(x－4)
＝－1，
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
正解：(1)当点 C 在 x 轴上时，设 C(x,0)，
错因剖析：没有分类讨论，主观认为点 C 在 x 轴上导致漏
解．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
4－1.已知点 A(－2，－5)，B(6,6)，点 P 在 y 轴上，且∠APB
＝90°，试求点 P 的坐标．
即
b－(－5) b－6
· ＝－1，解得 b＝7 或 b＝－6.
0－(－2) 0－6
所以点 P 的坐标为(0,7)或(0，－6)．
解：设点 P 的坐标为(0，b)，则 kAP·kBP＝－1，(共17张PPT)
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3．3.1 两条直线的交点坐标
1．直线 3x＋5y－1＝0 与直线 4x＋3y－5＝0 的交点是(
)
C
A．(－2,1)
C．(2，－1)
B．(－3,2)
D．(2，－2)
2．两条直线 2x＋3y－k＝0 与直线 x－ky＋12＝0 的交点在
)
y 轴上，那么 k 的值是(
A．－24
C．±6
B．6
D．以上都不对
C
3．如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那么
)
B
系数 a 为(
A．－3
B．－6
C．－
3
2
D.
2
3
4．过点(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直线方程为
(
)
A
A．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－5＝0
B．2x＋y－5＝0
D．x－2y＋7＝0
方程组的解 交点个数 两直线关系 直线方程系数特征
无解 0 平行 A1B2－A2B1＝0
B1C2－B2C1≠0
有唯一解 1 相交 A1B2－A2B1≠0
有无数个解 无数 重合 A1B2－A2B1＝0
B1C2－B2C1＝0
难点
判断两直线的位置关系
已知两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2
关系：
判断两直线的位置关系
例 1: 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交
点．
(1)l1：2x－y＝7 和 l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0 和 l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0 和 l2：y＝－2x＋3.
思维突破：可依据方程组解的情况来判断两直线的位置关
系．
因此直线 l1 和 l2 相交，交点坐标为(3，－1)．
这表明直线 l1 和 l2 重合．
这表明直线 l1 和 l2 没有公共点，故 l1∥l2.
1－1.求直线 l1：3x＋4y－5＝0 与直线 l2：2x－3y＋8＝0 的
交点 M 的坐标．
解：由 l1 与 l2 的方程联立方程组
∴点 M 的坐标为(－1,2)．
证明：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为 a(3x
－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
直线恒过定点问题
例 2：已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1.求证：无论 a 为何值
直线总经过一定点．
(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同
次幂的系数为0，从而可求出定点．(2)分别令参数为两个特殊值，
得方程组，求出点的坐标代入原方程，若满足，则此点为定点．
2－1.已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.
求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点．
即点(－1，－2)适合方程 2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0，也就
是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0.所以，不论λ取何实数
值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0 必过定点(－1，－2)．
证明：把直线方程整理为 2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.解方
讨论两直线的位置关系
例 3：已知两直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0 和 l2：x＋my－2m
＝0，问实数 m 取何值时，l1 与 l2 分别是下列位置关系：
(1)相交；(2)平行；(3)重合；
(4)垂直；(5)交点在第一象限．
思维突破：可由方程中的未知数的系数取值决定直线的位
置关系．
①×m－②得(m2－1)x＝m2－m
③.
代入方程组得 y＝
2m＋1
m＋1
，方程组有唯一的解．
因此，当且仅当 m≠±1 时，l1 与 l2 相交．
(2)由(1)中的方程③知，m＝－1 时得 0＝2 方程无解，即方
程组无解，两直线平行．
因此，当且仅当 m＝－1 时，l1 与 l2 平行．
(3)由(1)中的方程③知，m＝1 时得 0＝0，方程有无数多解，
即方程组有无数多解，两直线重合．
因此，当且仅当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
(4)因为 m≠±1 时，l1 与 l2 相交；
当 m＝0 时，l1 的斜率为 0，l2 的斜率不存在，l1⊥l2；
因此，当且仅当 m＝0 时，l1⊥l2.
(1)用方程组思想解决两直线平行、垂直问
题时，应分有斜率和没有斜率两种情况来解决，不要漏解．(2)
讨论交点位置时要注意方程组有唯一解的条件，如(5)中，易漏
掉m≠±1这一条件．本题也可把方程向斜截式转化再进行讨论．
因此，m<－1 或 m>0 且 m≠1 时，交点在第一象限．
3－1.已知直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
求 m 的值，使得：
(1)l1 和 l2 相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1 和 l2 重合.
解：(1)l1 和 l2 相交 1×3－(m－2)m≠0，
∴m2－2m－3≠0 m≠－1，或 m≠3，
∴当 m≠－1 且 m≠3 时，l1 和 l2 相交．
(3)∵m＝0 时，l1 不平行 l2，
(4)∵m＝0 时，l1 与 l2 不重合，
正解：由题意可得两直线平行，当 a＝0 时，直线 x＋6＝0
和－2x＝0 平行，没有公共点；
当 a＝－1 时，直线 x＋y＋6＝0 和－3x－3y－2＝0 平行，
没有公共点，
当 a＝3 时，直线 x＋9y＋6＝0 和 x＋9y＋6＝0 重合，有无
数个公共点，不满足题意，应舍去．
综上，a 的值为 0 或－1.
例 4：若直线 x＋a2y＋6＝0 和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0 没
有公共点，则 a 的值是__________．
错因剖析：忽略 a＝0 的情形．
4－1.若三条直线 l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0；l3：5x－ky
－15＝0 围成一个三角形，则 k 的取值范围是(
)
B
A．k∈R 且 k≠±5 且 k≠1
B．k∈R 且 k≠±5 且 k≠－10
C．k∈R 且 k≠±1 且 k≠0
D．k∈R 且 k≠±5
解析：三条直线如果有两条平行或三条直线交于一点时就
不能围成三角形．(共20张PPT)
章末整合提升
专题一
两直线的位置关系
例 1：已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.
(1)求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；
(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点
平分，求这条直线方程.
即点(－3，－3)适合方程 2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0，也就
是适合方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝0.
解：把直线方程整理为 2x＋y＋9＋λ(x－2y－3)＝0.
所以，不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋9－3λ＝
0 必过定点(－3，－3)．
(2)设经过点(－3，－3)的直线与两坐标轴分别交于 A(a,0)，
B(0，b)．
解得 a＝－6，b＝－6.
即 x＋y＋6＝0.
1－1.已知两条直线 l1：x＋my＋8＝0，l2：(m－3)x＋4y＋2m
＝0，问：当 m 为何值时， l1 与 l2 满足下列关系：
(1)相交； (2)平行；(3)重合．
解：当 m＝0 时，l1: x＝－8，l2：3x－4y＝0，
此时 l1 与 l2 相交；
专题二
距离公式
例 2：已知点 P(2，－1)，求：
(1)过 P 点与原点距离为 2 的直线 l 的方程；
(2)过 P 点与原点距离最长的直线 l 的方程并求出最大距离；
(3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线？若存在，求
出方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)过 P 点的直线 l 与原点距离为 2，而 P 点坐标为(2,1)，
可见，过 P(2,1)垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存
在，其方程为 x＝2.
若斜率存在，设 l 的方程为 y＋1＝k(x－2)，
即 kx－y－2k－1＝0.
此时 l 的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线 l 的方程为 x＝2 或3x－4y－10＝0.
(2)作图可知过 P 点与原点 O 距离最大的直线是过 P 点且与
PO 垂直的直线，
由直线方程的点斜式得 y＋1＝2(x－2)，
即 2x－y－5＝0，
即直线 2x－y－5＝0 是过 P 点且与原点 O 距离最大的直线，
直线，因此不存在过 P 点且到原点距离为 6 的直线．
方法二：设过 P 点到原点距离为 6 的直线的斜率存在且方
程为 y＋1＝k(x－2)，即 kx－y－2k－1＝0.
即 32k2－4k＋35＝0.
因Δ＝16－4×32×35<0，故方程无解．
所以不存在这样的直线．
2－1.已知直线方程为 Ax＋By＋C＝0，直线在 x 轴上的截距
为 a，在 y 轴上的截距为 b，直线的斜率为 k，坐标原点到直线
的距离为 p，则有(
)
A．k＝
b
a
C．a＝－kb
D．b2＝p2(1＋k2)
答案：D
2－2.已知 A(－1,0)，B(2,4)，△ABC 的面积为 10，则动点 C
的轨迹方程是(
)
B
A．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0 或 4x－3y－24＝0
y－0
4－0
＝
x＋1
2＋1
，即 4x－3y＋4＝0，
设 C 的坐标为(x，y)，
即 4x－3y－16＝0 或 4x－3y＋24＝0.
解析：由两点式，得直线 AB 的方程是
专题三
中心对称
例 3：(1)点(－1,2)关于原点的对称点的坐标为__________．
(2)原点关于点(－1,2)的对称点的坐标为________．
(3)点(－1,2)关于点(2，－4)的对称点的坐标为__________．
(4)直线 3x－y－4＝0 关于点 P(2，－1)的对称直线的方程为
________________．
思维突破：(1)设所求对称点(a，b)，
则 a－1＝0，b＋2＝0，
∴a＝1，b＝－2.即点(1，－2)．
∴c＝－2，d＝4.即点(－2,4)．
(3)设所求对称点(a，b)，则 a－1＝4，b＋2＝－8，
∴a＝5，b＝－10.即点(5，－10)
(4)方法一：由于直线 l 与 3x－y－4＝0 平行，
故设直线 l 的方程为 3x－y＋b＝0，
∴b＝－10 或 b＝－4(舍去)．
(2)(－2,4)
(3)(5，－10)
答案：(1)(1，－2)
(4)3x－y－10＝0
∴所求直线 l 的方程为 3x－y－10＝0.
方法二：将 x＝0 代入 3x－y－4＝0，得 y＝－4；
将 x＝1 代入 3x－y－4＝0，得 y＝－1；
∴点 A(0，－4)，B(1，－1)都在直线 3x－y－4＝0 上，
又 A、B 关于 P 点的对称点分别为 A′(4,2)，B′(3，－1)，
∴所求直线方程为 y－2＝3(x－4)，即 3x－y－10＝0.
解：设(x，y)是对称直线上任一点，则(x，y)关于 M(2,3)的
对称点为(4－x,6－y)在直线 4x＋y－1＝0 上．代入整理有 y＋4x
－21＝0，此即为所求直线方程．
专题四
轴对称
例 4：(1)点 P(－3,4)关于直线 4x－y－1＝0 的对称点的坐标
为__________；
(2)直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：3x＋4y－1＝0 的对称
直线 l2 的方程为__________．
3－1.求直线 4x＋y－1＝0 关于点 M(2,3)的对称直线的方程．
思维突破：(1)设所求的点 Q(a，b)，
即对称点的坐标为(5,2)．
再取 l1 上的点 A(2,0)，
答案：(1)(5,2)
(2)2x＋11y＋16＝0
则 M、A′都在 l2 上．
直线 A′M 的方程为
4－1.如果直线 y＝mx＋2 和直线 y＝3x＋n 关于直线 y＝x 对
称，则(
)
A
C．m＝3，n＝2
D．m＝3，n＝－6
4－2.在直线 l：3x－y－1＝0 上求一点 P，使得 P 到 A(4,1)
和 B(3,4)的距离之和最小．
又|PA |＋|PB|＝|PA |＋|PB′|，
解：设点 B 关于直线 3x－y－1＝0 上的对称点为 B′(a，b)，(共17张PPT)
3．3.3 点到直线的距离、两条平行直线间的距离
1．点(0,5)到直线 y＝2x 的距离是(
)
B
)
A
2．在直线 y＝x 上到 A(1，－1)距离最短的点是(
A．(0,0)
B．(1,1)
3．点 P(2，m)到直线 5x－12y＋6＝0 的距离为 4，则 m 等
于(
D
)
A．1
B．－3
C．1 或
5
3
D．－3 或
17
3
4．两条平行线 5x－12y－2＝0,5x－12y－11＝0 之间的距离
等于(
)
C
A.
9
169
B.
1
13
C.
9
13
D.1
重点
点到直线的距离公式
1．已知某点 P 的坐标为(x0，y0)，直线 l 的方程是 Ax＋By
2．点到几点特殊直线的距离：
(1)点 P(x0，y0)到直线 x＝a 的距离为 d＝|x0－a|；
(2)点 P(x0，y0)到直线 y＝b 的距离为 d＝|y0－b|.
难点
两平行直线间的距离
已知直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 和 l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，
点到直线的距离公式
例 1：求点 P(3，－2)到下列直线的距离：
(2)∵直线 y＝6 平行于 x 轴，
∴d＝|6－(－2)|＝8.
(3)∵直线 x＝4 平行于 y 轴，
∴d＝|4－3|＝1.
求点到直线的距离，一般先把直线的方程写
成一般式．对于与坐标轴平行的直线，其距离公式可直接写成 d
＝|x0－a|或 d＝|y0－b|.
1－1.点 P(－1,2)到直线 8x－6y＋15＝0 的距离为(
)
B
A．2
C．1
B.
D.
1
2
7
2
求两条平行直线间的距离
例 2: 求与直线 l：5x－12y＋6＝0 平行且到 l 的距离为 2 的
直线的方程．
点 P0 到直线 5x－12y＋C＝0 的距离为
解法一：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0.
∴C＝32 或 C＝－20.
∴所求直线的方程为
5x－12y＋32＝0 和 5x－12y－20＝0.
解法二：设所求直线的方程为 5x－12y＋C＝0.
由两平行直线间的距离公式，得
解得 C＝32 或 C＝－20.
故所求直线的方程为 5x－12y＋32＝0 或 5x－12y－20＝0.
(1)求两条平行线之间的距离，可以在其中的
一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离，即把两平行
线之间的距离，转化为点到直线的距离．(2)直接套两平行线间
2－1.已知两平行线 l1：3x＋4y－10＝0，l2：3x＋4y－15＝0，
求直线 l1 与 l2 的距离．
方程是(
)
C
A．x－y＋9＝0
B．x－y－7＝0
C．x－y＋9＝0 或 x－y－7＝0
D．x＋y－7＝0 或 x－y＋9＝0
点到直线的距离公式的应用
例 3：过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(4,5)的
距离相等，求该直线的方程．
思维突破：(1)利用代数方法求解，即点到直线的距离公式
建立等式求斜率 k.(2)利用几何性质解题，即 A、B 两点到直线
的距离相等，有两种情况：①直线与 AB 平行；②直线过 AB 的
中点．
即 x－2y＋5＝0 或 x－y＋3＝0.
解法一：设直线的方程为 y－2＝k(x＋1)，
即 kx－y＋k＋2＝0，
已知一点求直线的方程，通常会设点斜式
方程，但要注意斜率不存在的情况．本题解法二利用数形结合
的思想使运算量减少．
解法二：当直线与 AB 平行时，k＝kAB＝1，
∴直线的方程 y－2＝1×(x＋1)，即 x－y＋3＝0.
当直线过 AB 的中点时，∵AB 的中点为(3,4)，
3－1.过点 P(－1,2)引一直线，使它与点 A(2,3)，B(－4,5)的
距离相等，求该直线的方程．
当直线过 AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)，
∴直线的方程为 x＝－1.
故所求直线的方程为 x＋3y－5＝0 或 x＝－1.
例 4：两平行直线 l1 、l2 分别过 A(1,0)，B(0,5)，若 l1 与 l2
的距离为 5，求这两条直线方程．
错因剖析：易忽略 l1、l2 是特殊直线的情况，导致漏解．
l1 的方程为 y＝0 或 5x－12y－5＝0，
l2 的方程为 y＝5 或 5x－12y＋60＝0.
故所求两直线方程分别为 l1：y＝0，l2：y＝5 或 l1：5x－12y
－5＝0，l2：5x－12y＋60＝0.
4－1.已知正方形的中心为 G(－1,0)，一边所在直线的方程
为 x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程．
设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为
解得 C1＝－5 或 C1＝7.
解：正方形的中心 G(－1,0)到四边距离均为
故与已知边平行的直线方程为 x＋3y＋7＝0.
设正方形另一组对边所在直线方程为 3x－y＋C2＝0，
解得 C2＝9 或 C2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为 3x－y＋9＝0 和 3x－y
－3＝0.
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为
x＋3y＋7＝0,3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.(共16张PPT)
3．2.2 直线的两点式方程
1．过 P1(－1，－3)，P2(2,4)两点的直线的方程是(
)
B
2．过 P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是(
)
C
)
)
D
3．过点(－43,49)，(－43,2 012)的直线方程是(
A．y＝49
B．y＝2 012
C．x＝49
D．x＝－43
4．若直线 l 的横截距与纵截距都是负数，则(
A．l 的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l 的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l 的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l 的倾斜角为钝角且不过第三象限
B
难点
直线的两点式方程
1．直线的两点式方程由点斜式方程导出．从两点式方程
(直线方程为 x＝x1)或斜率为 0 时(直线方程为 y＝y1)，不能用两
点式．
2．若把两点式化为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，就可以
利用它求平面内过任意两点的直线方程．
重点
直线的截距式方程
的截距确定的，其中 a 叫做横截距，b 叫做纵截距．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线
以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面
积比较方便．
3．中点公式：
已知 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段 P1P2 的中点
利用两点式求直线的方程
例 1：已知三角形的顶点为 A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，
求 AB 边上的中线 CM 所在直线的方程．
程是
y－1
3－1
＝
x－1
，即 2x＋3y－5＝0.
－2－1
解：AB 的中点 M 的坐标是 M(1,1)，中线 CM 所在直线的方
1－1.已知△ABC 的顶点为 A(2,8)，B(－4,0)，C(6,0)，求过
点 B 且将△ABC 面积平分的直线方程．
y－0
4－0
＝
x＋4
4＋4
，即 x－2y＋4＝0.
解：AC 中点 D 的坐标为 D(4,4)，
则直线 BD 即为所求，由直线的两点式方程得
思维突破：设出截距式方程，根据题意列方程求解．
利用截距式求直线的方程
例 2：根据下列条件，求直线的方程：
(1)在 x 轴上的截距为－2，在 y 轴上的截距为 2；
(2)过点(1,4)，在两坐标轴上的截距之和为 10.
解：
(1)
x
－
2
＋
y
2
＝
1
，即
x
－
y
＋
2
＝
0.
此题求直线 l 的方程有两种方法：①用直线
方程的点斜式求 k；②用直线方程的截距式求 a、b.而第②种解
法较为简便．
(2)
设
x
a
＋
y
b
＝
1
，由题意得
1
a
＋
4
b
＝
1
a
＋
b
＝
10
，
解得
a
＝
2
b
＝
8
或
a
＝
5
b
＝
5
，
∴
所求直线方程为
x
2
＋
y
8
＝
1
或
x
5
＋
y
5
＝
1
，
即
4
x
＋
y
－
8
＝
0
或
x
＋
y
－
5
＝
0.
2－1.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线 l 的横截
距与纵截距之和为 6，求直线 l 的方程．
综上所述，所求直线方程为
2x＋y－4＝0 和 x＋y－3＝0.
中点公式的应用
例 3：过点 P(3,0)作一直线 l，使它被两直线 l1：2x－y－2
＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 所截的线段 AB 以 P 为中点，求此直线 l
的方程．
思维突破：过点 P 的直线 l 显然不与 y 轴平行，故可设点
斜式，求待定系数 k；也可设出 A 点坐标，利用中点坐标关系表
示出 B，再把 A、B 坐标分别代回到 l1、l2 方程中求出未知数．
故所求的直线 l 为 y＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0.
l2 的方程联立，得：
解法一：设直线 l 的方程为 y＝k(x－3)，将此方程分别与 l1、
解法二：设 l1 上的点 A 的坐标为(x1，y1)，
∵P(3,0)是线段 AB 的中点，
则 l2 上的点 B 的坐标为(6－x1，－y1)，
由两点式得 l 的方程为 8x－y－24＝0.
3－1.直线被两直线 l1：4x＋y＋6＝0，l2：3x－5y－6＝0 截
得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．
①＋②得：x0＋6y0＝0，
即点 A 在直线 x＋6y＝0 上，
又直线 x＋6y＝0 过原点，
所以直线 l 的方程为 x＋6y＝0.
解：设所求直线与 l1、l2 的交点分别是 A、B，
设 A(x0，y0)，则 B 点坐标为(－x0，－y0)
因为 A、B 分别在 l1、l2 上，
例 4：经过点 A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相
等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
错因剖析：易忽略截距的绝对值都为零的情况．
由直线过点 A(1,2)，可得k＝2，即y＝2x；
当截距不为0 时，设直线方程为
正解：当截距为 0 时，设 y＝kx，
∵直线过点 A(1,2)，
则得a＝3 或a＝－1，
即x＋y－3＝0 或x－y＋1＝0.
故这样的直线有3 条：
2x－y＝0，x＋y－3＝0，x－y＋1＝0.
解得 a＝－7.∴所求直线方程为 x－y＋7＝0.
当直线 l 在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为 y＝kx.
4－1.求经过 A(－3,4)，且在坐标轴上截距互为相反数的直
线 l 的方程．
