(共15张PPT)
4．1.2 圆的一般方程
)
D
1．方程 x2＋y2＋2x－4y－6＝0 表示的图形是(
2．圆 x2＋y2－2x＋2y＝0 的周长是(
)
A
3．若 x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0 表示圆，则λ的取值范围
是(
)
C
(1，－5)
4．圆 x2＋y2－2x＋10y－24＝0 的圆心为_________，半径为
_____.
重点
确定圆的一般方程
方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般
方程．
注意：(1)x2 和 y2 的系数相同，都不等于 0.(2)没有xy 这样
的二次项．
难点
求曲线轨迹方程的常用方法
1．直接法：建系，设点，列式，代换，化简，证明(可省
略)，适用于动点满足的条件易于列出的问题，是求曲线轨迹方
程最基本的方法．
2．定义法：若动点 P 的轨迹符合某已知曲线的定义，可直
接设出相应的曲线方程，用待定系数法或题中所给几何条件确
定相应系数，从而求出方程．
3．代入法(也叫相关点法)：若动点 P(x，y)的变动依赖于另
一动点 Q(x0，y0)，而 Q(x0，y0)在某已知曲线 f(x，y)＝0 上，则
可先写出方程 f(x0，y0)＝0，再找出(x0，y0)与(x，y)之间的关系，
代入已知方程 f(x0，y0)＝0，便可得到动点 P(x，y)适合的曲线方
程．
4．待定系数法：题设条件已确定曲线类型，可建立以有关
系数为变量的方程(组)，用待定系数法确定曲线中系数而得出方
程．
将圆的一般方程化为标准方程
例 1：将圆的一般方程 x2＋y2－x＝0 化为标准方程，并写出
圆心坐标和半径．
思维突破：把圆的一般方程化为标准方程时常采用配方法．
1－1.将圆的方程 x2＋y2＋2ay－1＝0 化为标准方程并写出
圆心坐标和半径．
求圆的方程
例 2：已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心在直线
x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
思维突破：由题设三个条件，可利用待定系数法求方程，
如利用弦的中垂线过圆心，也可先确定圆心，再求圆的半径．
解：将 x2＋y2＋2ay－1＝0 配方得 x2＋(y＋a)2＝1＋a2，所以
解法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
解法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
解法三：线段 AB 的中垂线方程为 2x＋y＋4＝0.
它与直线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)即为圆心，
由两点间距离公式得 r2＝10，
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
确定圆的方程需要三个独立条件，“选标
准，定参数”是解题的基本方法．
解：设所求的圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将 A(2，
－2) ， B(5 ， 3) ， C(3 ，-1) 三点的坐标代入圆的方程，得
∴圆的方程为 x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
2－1.求过点 A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)的圆的方程．
求与圆有关的动点轨迹方程
例 3：已知点 A 在圆 x2＋y2＝16 上移动，点 P 为连接 M(8,0)
和点 A 的线段的中点，求 P 的轨迹方程.
代入圆的方程得(2x－8)2＋(2y)2＝16，
化简得(x－4)2＋y2＝4 即为所求．
解：设点 P 的坐标为(x，y)，A 的坐标为(x0，y0)，
∵点 A 在圆 x2＋y2＝16 上，
又∵P 为 MA 的中点，
点 P 为 MA 的中点，点 M 为固定点，点 A
为圆上的动点，因此利用点 P 的坐标代换点 A 的坐标，从而代
入圆的方程求解．
∵平行四边形对角线互相平分，
3－1.设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，以
OM、ON 为两边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹．
错因剖析：误认为只需要满足 x2 和 y2 的系数相同，没有把
m 的值代回原方程检验．
综上所述，m＝－3 即为所求．
正解：∵方程表示一个圆，故 2m2＋m－1＝m2－m＋2，
即 m2＋2m－3＝0.
故 m＝1 或 m＝－3.
当 m＝1 时，原方程可化为 2x2＋2y2＝－3，不合题意；
例 4：当 m 是何值时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2
－m＋2)y2＋m＋2＝0 表示一个圆．
4－1.已知点 P(1,2)在圆 C∶x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 的外部，
)
则 k 的取值范围是(
A．k∈R
答案：D
解析：∵x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0 表示圆，
又点 P(1,2)在圆 C 的外部，
∴12＋22＋k＋2×2＋k2＞0，
即 k2＋k＋9＞0，
∴k∈R，(共13张PPT)
第四章
圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
)
D
1．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝2 的圆心和半径分别是(
)
A
2．点 P(m2,5)与圆 x2＋y2＝24 的位置关系是(
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
解析：∵|PO|2＝m4＋25＞24，∴点 P 在圆外．
3．已知 A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段 AB 为直径的
圆的方程是(
)
B
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29
B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116
D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
4．圆心为 A(2，－3)，半径长为 5 的圆的方程为_________
__________.
(x－2)2＋
(y＋3)2＝25
重点
圆的标准方程
1．已知圆的圆心为(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程是(x
－a)2＋(y－b)2＝r2.
2．已知圆的圆心为原点，半径为 r，则圆的标准方程是 x2
＋y2＝r2.
难点
点与圆的位置关系
已知点 M(x0，y0)及圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
(1)点 M 在圆 C 外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(2)点 M 在圆 C 内 |CM|
(3)点 M 在圆 C 上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
求圆的标准方程
例 1：根据下列条件求圆的标准方程：
(1)圆心在 A(4，－3)，半径为 ；
(2)圆心在 A(2，－3)，且过点(6,0)；
(3)以 A(4,9)，B(6,3)为直径．
(2)r2＝(2－6)2＋(－3－0)2＝25，
所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
解：(1)(x－4)2＋(y＋3)2＝5.
1－1.经过点 P(5,1)，圆心为点 C(8，－3)的圆的方程是____
_______________.
(3)圆心为 AB 的中点(5,6)，
所以圆的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝10.
(x－
8)2＋(y＋3)2＝25
待定系数法求圆的标准方程
例 2：求下列条件所决定的圆的方程：
(1)已知圆过两点 A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线 3x
－y－2＝0 上；
(2)经过三点 A(1，－1)，B(1,4)，C(4，－2)．
∴所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.
解：(1)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为 C(a，
b)．
(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
将 A、B、C 三点坐标代入，得
两小题中求圆的方程选用了不同形式．①如
果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要利用圆心坐标列方
程，常选用标准方程；②如果已知条件与圆心坐标、半径无直
接关系常选用一般方程，其解法为待定系数法．
2－1.(2010 年广东)若圆心在 x 轴上、半径为 的圆 O 位于
y 轴左侧，且与直线 x＋2y＝0 相切，则圆 O 的方程是( )
D
2－2.求过两点 A(1,4)与 B(3,2)，且圆心在直线 y＝0 上的圆
的标准方程．
故 AB 的垂直平分线方程为 y－3＝x－2，即 x－y＋1＝0.
的解，即圆心坐标为(－1,0)．
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝20.
解：∵圆过 A、B 两点，∴圆心在线段 AB 的垂直平分线上．
直线与圆
例 3：直线 m 经过点 P(5,5)且和圆 C：x2＋y2＝25 相交，截
得弦长 l 为 4
解：设圆心到直线 m 的距离为 d，
设直线方程为 y－5＝k（x－5） ，
即 kx－y＋5－5k＝0，
所以直线 m 的方程为 x－2y＋5＝0 或 2x－y－5＝0.
3－1.求以 C(2，－1)为圆心，截直线 x＋y＋1＝0 所得的弦
长为 2
解：设圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝r2，则圆心(2，－1)到
又由垂径定理和勾股定理得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
正解：前者表示圆 x2＋y2＝4，后者表示圆 x2＋y2＝4 的上
半部分．
D
错因剖析：没有考虑变量 x、y 的取值范围．
A．一条直线及一个圆
B．两个点
C．一条射线及一个圆
D．两条射线及一个圆(共21张PPT)
4．2.3 直线与圆的方程的应用
1．已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于直线 y＝－x 对称，则
圆 C 的方程为(
)
C
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
解析：半径相等，找圆心的对称点即可．
2．一个以原点为圆心的圆与圆 x2＋y2＋8x－4y＝0 关于直
线 l 对称，则直线 l 的方程为____________.
解析：直线 l 是原点和(－4,2)连线的垂直平分线．
3．已知 A 点是圆 x2＋y2－2ax＋4y－6＝0 上任一点，A 点
关于直线 x＋2y＋1＝0 的对称点也在圆上，那么实数 a 等于__.
解析：直线 x＋2y＋1＝0 过圆心．
4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有
公共点，则实数 m 的取值范围是_____________________．
2x－y＋5＝0
3
(－∞，0)∪(10，＋∞)
重点
圆的切线与弦长
1．切线：
(1)过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：xx0＋ yy0
＝R2，过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一点 P(x0，y0)的切线方程是：
(x－a)(x0－a)＋(y－a)(y0－a)＝R2，一般地，求圆的切线方程应抓
住圆心到直线的距离等于半径；
(2)从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，
再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于
半径)来求；
(3)过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：当过两切点
的切线有交点时，先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的
圆，该圆与已知圆的公共弦所在直线方程就是过两切点的直线
方程．当过两切点的切线平行时，切点弦就是已知圆的直径．
2．弦长问题：
弦长问题
例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线
x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解
方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、
弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公
式求解．
解得 b＝±1.
故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
长为 8, 求此弦所在直线方程．
即 3x＋4y＋15＝0.
当斜率 k 不存在时，过点 P 的直线方程为 x＝－3，
代入 x2＋y2＝25，得 y1＝4，y2＝－4.
弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
∴所求直线方程为 x＋3＝0 或 3x＋4y＋15＝0.
切线问题
例 2：如图 1，自点 A(－3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上，被 x
轴反射，其反射光线 m 所在直线与圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0
相切，求光线 l 与 m 所在直线的方程．
图 1
解：圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0 的标准方程为(x－2)2＋(y
－2)2＝1，圆 C 关于 x 轴的对称圆 C′的方程为(x－2)2＋(y＋2)2
＝1.
设光线 l 所在直线的方程为 y－3＝k(x＋3)．
依题意，它是圆 C′的切线，从而点 C′到直线 l 的距离为
(x＋3)，即 3x＋4y－3＝0 或 4x＋3y＋3＝0.
同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y
－3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用
于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两
条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
16
3
解析：设过点(7,5)且与圆相切的直线方程为 y－5＝k(x－7)，
即 kx－y＋5－7k＝0，
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1
投射到 x 轴所得的影长为______.
最值问题
例 3：已知实数 x、y 满足方程 x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(2)y－x 的最小值；
(3)x2＋y2 的最大值和最小值．
思维突破：方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，
－x 可看作直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，x2＋y2 是圆上一点与
原点距离的平方，可借助平面几何的知识，利用数形结合求解．
解：(1)如图 2.
方程 x2＋y2－4x＋1＝0 表示以点(2,0)为圆心，以 为半径
的圆．
图 2
圆心(2,0)到直线 y＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，这时
斜率取得最大、最小值．
直线 OP 的倾斜角为 60°，直线 OP′的倾斜角为 120°)
于第四象限时，纵轴截距 b 取最小值．
涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性
质，利用数形结合求解，一般地：
最值问题．
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距
的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化圆心已定
的动圆半径的最值问题．
解：方程 x2＋y2＋4x＋3＝0 可化为(x＋2)2＋y2＝1，其表示
以 C(－2,0)为圆心，1 为半径的圆．
设
y－2
x－1
＝k，其几何意义为：圆 C 上的点 P(x，y)与点 Q(1,2)
连线的斜率．
将
y－2
x－1
＝k 变形为 PQ：kx－y－k＋2＝0，
有考虑变量的取值范围．
半圆有两个交点，b 为直线在 y 轴上的截距，
图 3
共点，求 b 的取值范围．
4－1.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋
y2＝4 上有且仅有四个点到直线 12x－5y＋c＝0 的距离为 1，则
实数 c 的取值范围是_________．
(－13,13)
小于 1，
|c|
13
<1，c 的取值范围是(－13,13)．
解析：圆半径为 2，圆心(0,0)到直线 12x－5y＋c＝0 的距离(共13张PPT)
章末整合提升
y0＋y
专题一
圆的切线方程
求过定点 P(x0，y0)的圆的切线方程：
(1)点 P(x0，y0)在圆上：则圆 x2＋y2＝r2 的切线方程为 x0x＋
y0y ＝r2 ，圆 x2 ＋y2 ＋Dx ＋Ey＋F ＝0 的切线方程为 x0x ＋y0y＋
D·
x＋x0
2
＋E·
2
＋F＝0；
(2)定点 P(x0，y0)在圆外：需采用求轨迹方程的方法求切线
方程，注意不要遗漏斜率不存在的切线方程．
例 1：(2010 年天津)已知圆 C 的圆心是直线 x－y＋1＝0 与
x 轴的交点，且圆 C 与直线 x＋y＋3＝0 相切．则圆 C 的方程为
____________________．
∴圆 C 的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
思维突破：令 y＝0 得 x＝－1，
∴直线 x－y＋1＝0 与 x 轴的交点为(－1,0)．
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，
答案：(x＋1)2＋y2＝2
的切线方程的是(
)
A
A．x＝0
C．x＝y
B．y＝0
D．x＝－y
专题二 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相离、相交和相切．
判定直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
的位置关系的方法：
(1)几何法：圆心到直线 l 的距离为 d，
可得形如 x2＋px＋q＝0 的方程，
反之，可根据直线与圆的位置关系得到直线或圆的方程及
相关性质．
有公共点，则 b 的取值范围是(
)
答案：D
思维突破：直线与圆有公共点可以是相切或相交，通过数
形结合可求出直线的截距的取值范围．
曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，即表示圆
心为(2,3)，半径为 2 的半圆．当直线 y＝x＋b 与此半圆相切时须
2－1.(2010 年山东)已知圆 C 过点(1,0)，且圆心在 x 轴的正
半轴上，直线 l：y＝x－1 被圆 C 所截得的弦长为
，则圆心
且与直线 l 垂直的直线的方程为___________.
x＋y－3＝0
－1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a＝3，故圆心坐标为
(3,0)，又圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m＝0，即 m＝
－3，故所求的直线方程为 x＋y－3＝0.
解析：由题意，设所求的直线方程为 x＋y＋m＝0，设圆心
专题三
弦长问题
计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)运用弦心距(即圆
心到直线的距离)、弦半径及半径构成直角三角形计算．(2)运用
例 3：已知圆 C∶x2＋y2＋x－6y＋m＝0 和直线 x＋2y－3＝0
相交于 P、Q 两点，若 OP⊥OQ，求 m 的值．
又∵点 P、Q 在直线 x＋2y－3＝0 上，
点评：求解本题时，应避免去求 P、Q 两点的坐标的具体
数值．除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，因为在
求解过程中并没有确保有交点存在，这一点很容易被忽略．
则以 PQ 为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2，
∵OP⊥OQ，∴坐标原点在该圆上，
则(0＋1)2+(0－2)2＝r2＝5，
在 Rt△CMQ 中，CQ2＝CM2＋MQ2，
3－1.(2010 年江西)直线 y＝kx＋3 与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4
相交于 M、N 两点，若|MN|≥
，则 k 的取值范围是(
)
A(共19张PPT)
4．2
直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
D
2．若直线 3x＋4y＋k＝0 与圆 x2＋y2－6x＋5＝0 相切，则 k
的值等于(
)
A
A．1 或－19
C．－1 或－19
B．10 或－10
D．－1 或 19
3．直线 x＋y＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是_____．
4．设直线 2x＋3y＋1＝0 和圆 x2＋y2－2x－3＝0 相交于点 A、
B，则弦 AB 的垂直平分线方程是_____________.
相交
3x－2y－3＝0
重点
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定
的方法有两种：
(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根
据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ＞0，则相交；
若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ
＜0，则相离；
(2)几何法：由圆心到直线的距离 d 与半径 r 的大小来判断，
若 d＜r，直线与圆相交；若d＝r，直线与圆相切；若 d＞r，直
线与圆相离．
难点
圆的切线方程
求过一点的圆的切线问题，首先要判断这点与圆的位置关
系，过圆外一点圆的切线有两条，过圆上一点圆的切线有一条，
过圆内一点，没有切线．
在求过圆外一点的切线时常用以下方法：
(1)设切线斜率，写出切线方程，利用判别式等于零求斜率；
(2)设切线斜率，利用圆心到直线的距离等于半径来求斜率；
(3)设切点坐标，用切线公式法求解．
其中，(1)(2)两种方法应注意切线斜率不存在的情形，若求
出只有一个斜率，应找回另一条．
直线与圆位置关系的判断
例 1：当 k 为何值时，直线 l：y＝kx＋5 与圆 C：(x－1)2＋
y2＝1：(1)相交？(2)相切？(3)相离？
思维突破：判断直线与圆的位置关系有两种方法：几何法
和代数法，使用时以几何法为主．
(1)当Δ>0，即 k<－
(3)当Δ<0，即 k>－
故Δ＝(10k－2)2－4×25(k2＋1)＝－96－40k.
12
5
时，直线与圆相交．
(2)当Δ＝0，即 k＝－
12
5
时，直线与圆相切．
12
5
时，直线与圆相离．
(x－1)2＋(kx＋5)2＝1，即(k2＋1)x2＋(10k－2)x＋25＝0.
解法二(几何法)：圆心 C 的坐标为 C(1,0)，半径 r＝1，圆心
1－1.求实数 b 的范围，使直线 y＝x＋b 和圆 x2＋y2＝2：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
得 2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝－4(b2－4)．
(1)当Δ>0，即－2(2)当Δ＝0，即 b＝－2 或 b＝2 时，直线与圆相切．
(3)当Δ<0，即 b<－2 或 b>2 时，直线与圆相离．
求圆的切线方程
例 2：求经过点(1，－7)且与圆 x2＋y2＝25 相切的切线方程．
解法一：设切线的斜率为 k，由点斜式有 y＋7＝k(x－1)，
即 y＝k(x－1)－7，
将方程代入圆方程得 x2＋[k(x－1)－7]2＝25，
整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.
故Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0，
思维突破：已知点和圆方程求切线方程，有三种方法：(1)
设切线斜率，用判别式法．(2)设切线斜率，用圆心到直线的距
离等于半径法．(3)设切点坐标，用切线公式法．
故切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
解法二：设所求切线斜率为 k，则所求直线方程为 y＋7＝
k(x－1)，整理成一般式为 kx－y－k－7＝0，
所以切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
解法三：设切点为(x0，y0)，则所求切线方程为 x0x＋y0y＝
25，将坐标(1，－7)代入后得 x0－7y0＝25，
故所求切线方程为 4x－3y－25＝0 或 3x＋4y＋25＝0.
2－1.求由下列条件所决定的圆 x2＋y2＝4 的切线方程：
弦长问题
例 3：直线 l：x＋y＋1＝0 被圆(x－3)2＋y2＝9 截得的弦长
为________．
(方法二)：直线l：y＝－x－1，斜率k＝－1，
图1
思维突破(方法一)：圆心 C(3,0)，r＝3，如图 1，圆心 C(3,0)
答案：2
求直线与圆相交时的弦长常用两种方法：(1)
几何法：设直线 l 与圆相交于 A、B 两点，弦心距为 d，圆的半
3－1.(2010 年四川)直线 x－2y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝8 相交于
A、B 两点，则|AB|＝_____.
错因剖析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解．
正解：当直线 l 的斜率存在时，
设直线 l 方程为 y＋3＝k(x－3) kx－y－3(k＋1)＝0，
当直线 l 的斜率不存在时，也满足题意，
故直线 l 的方程为 5x＋12y＋21＝0 或 x＝3.
例 4：过点 A(3，－3)且与圆(x－1)2＋y2＝4 相切的直线 l 的
方程是________________．
解析：注意斜率不存在的情况．(共16张PPT)
4．3.2 空间两点间的距离公式
1．已知空间坐标系中，A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线
段 AB 的长|AB|＝(
)
A
2 ．已知 A( －2,4,0) ，B(3,2,0) ，则线段 AB 的中点坐标是
__________.
垂足为 Q，则 Q 点的坐标是____________，过 P 作 y 轴的垂线，
垂足为 H，则 H 点的坐标是___________．
4．已知 A(1，－2,1)，B(2,2,2)，点 P 在 z 轴上，且|PA |＝|PB|，
则点 P 的坐标为_______.
5．已知△ABC 的三个顶点分别为点 A(3,1,2)，B(4，－2，
－2)，C(0,5,1)，则 BC 边上的中线长为______.
(0,0,3)
重点
空间两点的距离公式
1．空间两点距离公式：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
2．中点坐标公式：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
两点间的距离公式
例 1：已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3，－1)．
(1)求 P、Q 之间的距离；
(2)求 z 轴上的一点 M，使|MP|＝|MQ|.
1－1.求到两定点 A(2,3,0)，B(5,1,0)的距离相等的点的坐标
(x，y，z)满足的条件．
解：设 P(x，y，z)为满足条件的任一点，
则由题意得
∵|PA |＝|PB|，
∴6x－4y－13＝0 即为所求点所满足的条件．
1－2.已知空间三点 A(0,0,3)，B(4,0,0)，C(4,5,0)，求三角形
的周长．
空间两点间距离公式的应用
例 2：在 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上确定一点 M，使 M
到点 N(6,5,1)的距离最小．
解：由已知，可设 M(x,1－x,0)，
2－1.已知 A(2，m，m)，B(1－m,1－m，m)，求|AB|的最小
值．
2－2.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1，－2，11)，
B(4,2,3)，C(6，－1,4)，请判断△ABC 的形状．
空间直角坐标系的应用
例 3: 如图 1，正方体边长为 1，以正方体的三条棱所在的
直线为坐标轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，点 P 在正方体的对
角线 AB 上，点 Q 在正方体的棱 CD 上．
图 1
(1) 当点 P 为对角线 AB 中点，点 Q 在棱 CD 上运动时，求
|PQ|的最小值；
(2)当点 Q 为棱 CD 的中点，点 P 在对角线 AB 上运动时，
求|PQ|的最小值．
3－1.正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD
和平面 ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移
动，若 CM＝BN＝a(0(1)求 MN 的长；
(2)a 为何值时，MN 的长最小？
解：(1)∵平面 ABCD⊥平面 ABEF，
平面 ABCD∩平面 ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面 ABCD，则 AB、BE、BC 两两垂直．
以 B 为坐标原点，以 BA、BE、BC 所在直线分别为 x 轴、
y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．
例 4：给定空间直角坐标系，在 x 轴上找一点 P，使它与点
错因剖析：开方运算时容易漏掉负数．
∴(x－4)2＝25，解得 x＝9 或 x＝－1.
∴点 P 坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
4－1.在空间直角坐标系中，已知点 A(1,0,2)，B(1，－3,1)，
点 M 在 y 轴上，且 M 到 A 与到 B 的距离相等，则 M 的坐标是
__________．
解析：设 M(0,y,0)，由12＋y2＋4＝1+(－3－y)2＋1，可得
y＝－1.故 M(0，－1,0)．
(0，－1,0)(共17张PPT)
4．2.2 圆与圆的位置关系
1．经过圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4 的圆心且斜率为 1 的直
线方程为(
)
A
A．x－y＋3＝0
C．x＋y－1＝0
B．x－y－3＝0
D．x＋y＋3＝0
2．设 r>0，圆 (x－1)2＋(y＋3)2＝r2与 x2＋y2＝16 的位置关
系不可能是(
)
D
A．相切
C．内含和内切
B．相交
D．外切和外离
3．两圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 和 x2＋y2－6x＝0 的连心线方程
为(
)
C
A．x＋y＋3＝0
C．3x－y－9＝0
B．2x－y－5＝0
D．4x－3y＋7＝0
4．圆 x2＋y2＋2x＋6y－19＝0 与圆 x2＋y2－6x＋2y－10＝0
的两圆心之间的距离是_____.
5．经过两圆 x2＋y2－2x＋2y－7＝0 和 x2＋y2＋4x－4y－8
＝0 的两个交点的直线的方程是_____________.
6x－6y－1＝0
解析：两圆的方程相减得－6x＋6y＋1＝0，即 6x－6y－1＝
0.此方程表示的曲线过两个圆的交点．
两圆的位
置关系 图示 几何法 代数法
相离 |C1C2|>R＋r Δ<0
重点
圆与圆的位置关系及判定方法
圆 C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝R2，
圆 C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(R>r)．
两圆的位置关系如下表：
两圆的位
置关系 图示 几何法 代数法
外切 |C1C2|＝R＋r Δ＝0
内切 |C1C2|＝R－r Δ＝0
相交 R－r<|C1C2|0
内含 |C1C2|续表
两圆位
置关系 相离 外切 内切 相交 内含
公切线
条数 4 条 3 条 1 条 2 条 0 条
图示
难点
两圆的公切线
和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线，公切线条数如
下表：
判断圆与圆的位置关系
例 1：判断圆 C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0 与圆 C2：x2＋
y2＋2x－2my＋m2－3＝0 的位置关系．
解：把两圆的方程写成标准方程：
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝32，
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝22.
得－5＜m＜－2 或－1＜m＜2.
∴当 m＝2 或－5 时，两圆外切；
当 m＝－1 或－2 时，两圆内切；
当－2＜m＜－1 时，两圆内含；
当 m＞2 或 m＜－5 时，两圆相离；
当－5＜m＜－2 或－1＜m＜2 时，两圆相交．
1－1.已知圆 C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆 C2：x2＋y2－4y－6
＝0，试判断两圆的位置关系．
将③代入①式整理得 13x2－24x－24＝0.
解法一：将圆 C1 与圆 C2 的方程联立，
∵Δ＝(－24)2－4×13×(－24)>0，故此方程有两个不等实
根，
∴圆 C1 与圆 C2 有两个不同的交点，
∴圆 C1 与圆 C2 相交．
∴|r1－r2|＜|C1C2|求相交圆的公共弦长
例 2：求圆 x2＋y2－4＝0 与圆 x2＋y2－4x＋4y－12＝0 的公
共弦的长.
思维突破：可用方程思想和几何法两种方法，几何法更为
简便：先求出公共弦所在直线方程，再通过直角三角形求解．
把 y＝x＋2 代入 x2＋y2－4＝0，
得 x2＋2x＝0，解得 x1＝－2，x2＝0，
解法一：由题意，列出方程组
∴y1＝0，y2＝2，
两圆的交点坐标为 A(－2,0)，B(0,2)，
消去二次项，得 y＝x＋2，它就是公共弦所在直线的方程．
圆 x2＋y2－4＝0 的半径 r＝2，
涉及圆的弦长问题，通常考虑由半径 r、圆
心到直线的距离 d、弦长的一半构成的直角三角形求解，即公共
2－1.已知圆 C1：x2＋y2－10x－10y＝0 和圆 C2：x2＋y2＋6x
＋2y－40＝0 相交于 A、B 两点，求公共弦 AB 的长.
解法一：由两圆的方程相减得到的方程即为公共弦 AB 所在
的直线方程，即为 4x＋3y＝10.
∴两圆交点的坐标分别是 A(－2,6)，B(4，－2)．
解法二：同解法一，先求出公共弦所在直线的方程：4x＋
3y＝10.过 C1 作 C1D⊥AB 于 D.
圆系方程的应用
例 3：求经过两圆 x2＋y2＋6x－4＝0 和 x2＋y2＋6y－28＝0
的交点，并且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程．
思维突破：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设
出，其中待定系数可依据圆心在已知直线上求得．
∵圆心在直线 x－y－4＝0 上，
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－28＋λ(x2＋y2＋6x－4) ＝
0，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋6λx＋6y－28－4λ＝0, 则所求圆的圆
又圆 x2＋y2＋6x－4＝0 的圆心为(－3,0)，不在已知直线上，
∴所求圆的方程为 x2＋y2－x＋7y－32＝0.
求经过两圆交点的圆可考虑圆系方程，但要
注意λ≠－1.另外由于圆系中不包括圆 x2＋y2＋6x－4＝0，故应
检验圆 x2＋y2＋6x－4＝0 是否也满足题中条件，即圆心是否在
直线 x－y－4＝0 上．
3－1.已知圆 x2＋y2＋x－6y＋3＝0 与直线 x＋2y－3＝0 的两
个交点为 P、Q，求以 PQ 为直径的圆的方程．
由圆心在直线 x＋2y－3＝0 上，
故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x－4y＝0.
解：设所求圆的方程为 x2＋y2＋x－6y＋3＋λ(x＋2y－3)＝0，
整理得 x2＋y2＋(1＋λ)x＋(2λ－6)y＋3－3λ＝0，此圆的圆心坐标
例 4：集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}和 B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y
－4)2＝r2}，其中 r＞0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的
值是________．
错因剖析：两圆相切包括内切或外切，这里很容易漏解．
4－1.(2010 年湖南)若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a，b)，
(3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为___，圆(x－2)2
＋(y－3)2＝1 关于直线 l 对称的圆的方程为_____________.
正解：3 或 7
－1
x2＋(y－1)2＝1(共14张PPT)
4．3 空间直角坐标系
4．3.1 空间直角坐标系
1．已知点 A(－3,1，－4)，则点 A 关于原点的对称点坐标
为(
)
C
A．(1，－3，－4)
C．(3，－1,4)
B．(－4,1，－3)
D．(4，－1,3)
2．点 P(3，－2,1)关于坐标平面 yOz 的对称点的坐标为(
)
A
A．(－3，－2,1)
C．(－3，－2，－1)
B．(－3,2，－1)
D．(－3,2,1)
3．已知点 A(－3,1,4)，则 A 关于 x 轴的对称点的坐标为(
)
A
A．(－3，－1，－4)
C．(3，－1，4)
B．(3，－1，－4)
D．(－3，－1,4)
4．点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影
点分别是(
)
B
A．(－1,0,1)，(－1,2,0)
B．(－1,0,0)，(－1,2,0)
C．(－1,0,0)，(－1,0,0)
D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
重点
空间直角坐标系
1．在空间直角坐标系中，O 叫做坐标原点，x、y、z 统称
为坐标轴．由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；所确立的空间
坐标系是右手直角坐标系，即伸开右手，拇指指向 x 轴正方向，
食指指向 y 轴正方向，中指指向 z 轴正方向．
2．卦限：三个坐标平面把空间分为八部分，第一部分称为
一个卦限．在坐标平面 xOy 上方，分别对应该坐标平面上四个
象限的，称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限；在下方的卦限称为Ⅴ、
Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦限．各卦限的符号为：
第Ⅰ卦限：x>0，y>0，z>0；
第Ⅱ卦限：x<0，y>0，z>0；
第Ⅲ卦限：x<0，y<0，z>0；
第Ⅳ卦限：x>0，y<0，z>0；
第Ⅴ卦限：x>0，y>0，z<0；
第Ⅵ卦限：x<0，y>0，z<0；
第Ⅶ卦限：x<0，y<0，z<0；
第Ⅷ卦限：x>0，y<0，z<0.
3．空间点的对称：在空间直角坐标系中，已知点 P(x，y，
z)，则
(1)关于原点的对称点是(－x，－y，－z)；
(2)关于 x 轴的对称点是(x，－y，－z)；
(3)关于 y 轴的对称点是(－x，y，－z)；
(4)关于 z 轴的对称点是(－x，－y，z)；
(5)关于 xOy 坐标平面的对称点是(x，y，－z)；
(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是(－x，y，z)；
(7)关于 zOx 坐标平面的对称点是(x，－y，z)．
记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余相反”．
建立空间直角坐标系并写出相应点的坐标
例 1：已知正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为
10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．
的性质，建立适当的空间直角坐标系．
思维突破：先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥
解：∵正四棱锥 P－ABCD 的底面边长为 4，侧棱长为 10，
以正四棱锥的底面中心为原点，以垂直于 AB、BC 所在的
直线分别为 x 轴、y 轴，建立如图 1 的空间直角坐标系，
则正四棱锥各顶点的坐标分别为
图 1
确定空间定点 M 的坐标的步骤：(1)过点 M
分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴和 z
轴于 P、Q 和 R.(2)确定 P、Q 和 R 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标
x、y 和 z.(3)得出点 M 的坐标(x，y，z)．
1－1.如图 2，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中建立直角坐标
系，已知|AB|＝3，|BC|＝5，|AA1|＝2，写出下列各点的坐标：
图 2
B______， C______， A1______， B1______， C1______，
D1______．
(3,0,0)
(3,5,0)
(0,0,2)
(3,0,2)
(3,5,2)
(0,5,2)
空间中点的对称问题
例 2：在空间直角坐标系中，已知点 P(4，3，－5)，求点 P
关于各坐标轴及坐标平面的对称点．
解：点 P 关于原点的对称点是(－4,－3,5)；
点 P 关于 x 轴的对称点是(4,－3,5)；
点 P 关于 y 轴的对称点是(－4,3,5)；
点 P 关于 z 轴的对称点是(－4,－3,－5)；
点 P 关于 xOy 坐标平面的对称点是(4,3,5)；
点 P 关于 yOz 坐标平面的对称点是(－4,3.－5)；
点 P 关于 zOx 坐标平面的对称点是(4,－3,－5)．
记忆方法：“关于谁对称则谁不变，其余
相反”．
)
B
2－1.点 M(3,5,2)关于平面 yOz 对称的点的坐标是(
A．(3,－5,2)
B．(－3,5,2)
C．(3,5,－2)
D．(－3，－5,2)
2－2.分别求点 M(2，－3,1)关于 xOy 平面、y 轴和原点的对
称点．
解：点 M 关于 xOy 平面的对称点是(2，－3，－1)，关于 y
轴的对称点是(－2，－3，－1)，关于原点的对称点是(－2,3，
－1)．
空间距离
例 3: 在空间直角坐标系中，已知点 P(4,3，－5)，求点 P
到各坐标轴及坐标平面的距离．
点 P 到 xOy 坐标平面的距离是|z|＝5；
点 P 到 yOz 坐标平面的距离是|x|＝4；
点 P 到 zOx 坐标平面的距离是|y|＝3.
3 －1.B 点是 A(1,2,3) 在平面 yOz 平面上的射影，则|OB| ＝
(
)
C
例 4：点(1，u，v)的集合(其中 u、v∈R)是(
)
A．一个点
C．一个平面
B．一条直线
D．都不对
正解：条件中 u、v∈R，故集合表示过点(1,0,0)且与 x 轴垂
直的平面．
错因剖析：没有注意到 u、v 是变量．
4－1.已知 ABCD 为平行四边形，且 A(4,1,3)，B(2，－5,1)，
C(3，7，－5)，求顶点 D 的坐标．
∴x＝5，y＝13，z＝－3，
故 D(5,13，－3)．
解：∵平行四边形的对角线互相平分，
∴AC 的中点即为 BD 的中点，