课题：切线的判定与性质
【学习目标】
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线．
2．掌握切线的性质定理．
3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
【学习重点】
探索圆的切线的判定和性质．
【学习难点】
切线的判定与性质的运用．
一、情景导入 感受新知
情景1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的？
情景2：砂轮转动时，火星是沿着砂轮的什么方向飞出去的？
这节课，我们学习切线的判定和性质．(板书课题)
二、自学互研 生成新知
1．阅读教材P97第一个思考，完成下面的填空：
①如图，OA是⊙O的半径，过A点作直线l⊥OA，那么直线l与⊙O有什么位置关系？
a．直线l满足的条件是经过A点且垂直于OA．
b．直线l和⊙O的位置关系是相切，为什么？
②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
③已知一个圆和圆上一点，如何过这个点画圆的切线？试试看．
④请总结一下判定切线共有哪几种方法？
a.圆心到直线的距离等于半径，这条直线和圆相切．
b.切线的判定定理．
2．阅读教材P97“思考”至P98例1，完成下面的填空：
①如图，OA是⊙O的半径，直线l与⊙O相切于点A，那么直线l与半径OA有什么位置关系？
l⊥OA.
②切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．此定理的题设是l是⊙O的切线，l过A点，结论是l⊥OA．用反证法证明该定理时，应假设圆的切线不垂直于过切点的半径．
③切线共有哪些性质？
a.切线与圆只有一个公共点．
b．圆心到切线的距离等于半径．
c．圆的切线垂直于过切点的半径(切线的性质定理).
d.经过圆心并且垂直于切线的直线一定经过切点．
e.经过切点并且垂直于切线的直线一定经过圆心．
师生活动：
①明了学情：观察学生自学参考提纲的完成情况．
②差异指导：定理的证明可进行集体指导(不做重点要求)．
③生生互助：小组内相互交流、研讨、订正结论．
三、典例剖析 运用新知
典例：如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°.
求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC.
∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30°.
∴∠COD＝60°.∴∠OCD＝90°.∴OC⊥CD.
∴CD是⊙O的切线．
变式：如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.求证：直线PB与⊙O相切．
证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.
∵PA切⊙O于点C，∴OC⊥PA.
又∵点O在∠APB的平分线上，
∴OC＝OD.∴PB与⊙O相切．
师生活动：
①明了学情：关注学生对判定定理和性质定理的理解和运用．
②差异指导：根据学情进行指导．
③生生互助：小组内相互交流、研讨、改正结论．
四、课堂小结 回顾新知
(1)切线的判定定理．
(2)切线的性质定理．
五、检测反馈 落实新知
1．下列说法正确的是( B )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线
B．到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝( D )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
eq
o(sup7(),sdo5(（第2题图）))
eq
o(sup7(),sdo5(（第3题图）))
3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为BC⊥AB或∠ABC＝90°．
六、课后作业 巩固新知课题：切线长定理
【学习目标】
1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．
【学习重点】
切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．
【学习难点】
与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．
一、情景导入 感受新知
情景：如图，纸上有一个⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B.
问题1：OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？
问题2：猜一猜图中的PA与PB有什么关系？∠APO与∠BPO有什么关系？
这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理．(板书课题)
二、自学互研 生成新知
1．认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：
①过⊙O外一点P画⊙O的切线．动手画图，看看这样的切线能作几条？
能作两条．
②在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长叫做这点到圆的切线长，如图的线段PA与线段PB的长就是点P到⊙O的切线长．
③PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？
PA＝PB，∠APO＝∠BPO.可利用HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP，进而得出结论．
④分别用文字语言和几何语言写出切线长定理．
文字语言：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
几何语言：∵PA切⊙O于点A，PB切⊙O于B.
∴PA＝PB，OP平分∠APB．
2．认真阅读课本P99思考～P100，回答下列问题：
①如图，作与△ABC的三边都相切的⊙I.
因为⊙I与BA，BC都相切，所以点I在∠ABC的平分线上；
因为⊙I与CA，CB都相切，所以点I在∠ACB的平分线上；
所以点I是∠ABC与∠ACB平分线的交点．
a.作∠ABC的平分线，∠ACB的平分线，交于点I；
b.过I作ID⊥BC于D，以I为圆心，ID为半径画圆，则⊙I即为所求．
②三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫三角形的内心．它是三角形三条角平分线的交点，它到各条边的距离都相等．
师生活动：
①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明．
②差异指导：根据学情确定指导方案．
③生生互助：小组内相互交流、研讨．
三、典例剖析 运用新知
典例1：为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5
cm，求铁环的半径．
解：设圆心为O，连接OA，OP.
∵三角板有一个锐角为30°，
∴∠PAO＝60°.
又∵PA与⊙O相切，
∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°.
∵PA＝5
cm，OP＝5
cm.
即铁环的半径为5
cm.
典例2：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9
cm，BC＝14
cm，CA＝13
cm，求AF，BD，CE的长．
解：设AF＝x(cm)，则AE＝x(cm)，
CD＝CE＝AC－AE＝13－x，
BD＝BF＝AB－AF＝9－x.
由BD＋CD＝BC可得：
(13－x)＋(9－x)＝14
解得：x＝4.
因此，AF＝4cm，BD＝5cm，CE＝9cm.
师生活动：
①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路．
②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系．
③生生互助：生生互动，交流，研讨．
四、课堂小结 回顾新知
(1)切线长定理．
(2)三角形的内切圆、内心．
五、检测反馈 落实新知
1．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝11
cm，BC＝14
cm，CA＝13
cm，则AF的长为( C )
A．3
cm B．4
cm C．5
cm D．9
cm
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第1题图）))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(（第2题图）))
2．如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC＝86°，则∠BOC＝( C )
A．172°
B．130°
C．133°
D．100°
3．如图，已知VP，VQ为⊙T的切线，P，Q为切点，若VP＝3
cm，则VQ＝3_cm．若∠PVQ＝60°，则⊙T的半径PT＝_cm．
六、课后作业 巩固新知课题：直线和圆的位置关系
【学习目标】
1．通过操作、观察，理解直线和圆有三种位置关系．
2．根据圆心到直线的距离与半径之间的数量关系判定直线和圆的位置关系．
3．经历探索直线和圆的位置关系的判定和专题训练，体验从运动观点以及量变到质变的过程理解直线和圆三种位置关系．
【学习重点】
直线和圆的位置关系的判定．
【学习难点】
直线和圆的位置关系的判定．
一、情景导入 感受新知
情景：如图，在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？我们把太阳看作一个圆，地平线看作一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
问题：直线和圆有几种位置关系？怎样判断直线和圆这几种位置关系？
二、自学互研 生成新知
阅读教材P95～P96，完成下面的内容：
①(学生活动)在纸上画一个圆，把直尺边缘看成一条直线，移动直尺，你能得出直线和圆的位置关系吗？
②在纸上画一条直线，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现钥匙环与直线的公共点个数的变化情况吗？
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图1))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图2))
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图3))
③如图1：直线和圆有2个公共点，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线．
如图2：直线和圆有1个公共点，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线．
如图3：直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离．
④设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则，直线l与⊙O相交?d＜r；直线l与⊙O相切?d＝r；直线l与⊙O相离?d＞r.
师生活动：
①明了学情：关注学生得出直线与圆相切这种特殊位置关系的情况．
②差异指导：指导学生直线与圆相切的画图．
③生生互助：生生互动、协作交流．
三、典例剖析 运用新知
典例：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4
cm，BC＝2
cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5
cm；(2)r＝
cm；(3)r＝2
cm.
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D.
∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝2.
又∵S△ABC＝AB·CD＝BC·AC，
∴CD＝＝.
(1)r＝1.5
cm时，相离；
(2)r＝
cm时，相切；
(3)r＝2
cm时，相交．
仿例：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，求当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交，相切，相离？
解：过点O作OD⊥AB.
∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°，
∴OD＝OB＝x.
当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝r＝2.
∴BO＝4.
∴04时，相离．
师生活动：
①明了学情：关注学生对新知的理解与运用．
②差异指导：根据学情个别或分类点拨．
③生生互助：小组内相互交流、讨论，互相纠错．
四、课堂小结 回顾新知
(1)直线和圆的三种位置关系．
(2)直线和圆的位置关系的判定．
五、检测反馈 落实新知
1．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( C )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断
2．直线l与半径为r的⊙O相离，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( A )
A．r＜6
B．r＝6
C．r＞6
D．r≥6
3．⊙O的半径为4
cm，圆心O到直线l的距离为4
cm，则直线l与⊙O的位置关系为相切．
4．已知Rt△ABC的斜边AB＝8
cm，AC＝4
cm.
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2
cm和4
cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
解：(1)如图，过点C作AB的垂线段CD.
∵AC＝4
cm，AB＝8
cm，∴∠B＝30°.∴∠A＝60°.
∴∠ACD＝90°－∠A＝30°.
∴AD＝AC.
∴CD＝＝2(cm).
因此，当半径长为2
cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2
cm，所以，当r＝2
cm时，d>r，⊙C与AB相离；当r＝4
cm时，d六、课后作业 巩固新知
