教学内容：圆环面积的再认识
教学目标：
通过剪拼、推理的方法，对S环=π（R+r）（R-r）的公式进行再认识，理解圆环面积为什么能用π（R+r）（R-r）计算。
借助学习圆面积的经验，找到S环=π（R2-r2）公式中R2-r2对应的图形，用数形结合的思想进一步理解S环=π（R2-r2）的道理。
将圆环面积的求法纳入到万能公式梯形的面积求法中，用集合圈的方式体会平面图形面积的之间的关系，体会知识之间的互相联系。
教学重点：对S环=π（R+r）（R-r）的公式进行再认识
教学难点：找到S环=π（R2-r2）公式中R2-r2对应的图形
教学过程：
一、复习引入：
教师：我们已经学习过圆环面积的求法（贴圆环图片），谁来说一说圆环的面积都可以怎样求？（学生说圆环的三个公式）教师板书。
教师：这节课我们要对圆环的面积进行再认识，结合你对这三个公式的理解，你认为我们需要对哪个公式进行再认识，为什么？（学生谈自己的想法和理由，教师征求其他同学的意见）
教师：你们为什么不选前两个公式进行再认识。（学生自由说不选这两个公式的理由，教师相机进行小结板书）
当学生说第一个公式时教师小结：根据圆环的特点，只要想出圆环的样子，就能想到S环=πR2-πr2这个公式，看来利用图形理解公式，是一种很好的方法。（板书图形）
学生说第二个公式时教师小结：大家认为第二个公式好理解，是因为根据乘法分配律能够由第一个公式推理出S环=π（R2-r2）这个公式，看来利用推理找相等关系，也是理解公式的好方法。（板书推理）
教师：既然大家都想对S环=π（R+r）（R-r）这个公式进行再认识，你们准备从哪些方面进行再认识呢？（生谈准备从哪些方面进行再认识，预设：这个公式对吗？为什么对？）
教师：大家的想法很好，有了对S环=π（R+r）（R-r）这个公式的好奇和研究方向。如果现在就请你开始研究，有什么困难吗？
预设1：有困难。教师：我们可以借助学习前两个公式的经验，找到一个与这个公式对应的图形，利用数形结合来进行解释；也可以找到这个公式与前两个的公式之间的相等关系，利用推理的方法来进行解释。
预设2：没困难。
二、独立探究：
（一）探究S环=π（R+r）（R-r）的道理
出示学习提示：
1.独立探究。圆环面积为什么可以用π(R
+r)（R
-r）来计算，尝试从不同的角度进行解释。
2.组内交流。在小组内说清自己解释的方法和发现，选派代表进行汇报。
学生独立探究，组内交流。教师巡视指导，组织汇报。
预设1：将圆环平均分成若干个小梯形，用这些梯形拼成一个近似的平行四边形。找到平行四边形与圆环各部分之间的关系，推导出公式S环=π（R+r）（R-r）。
预设3：将圆环剪一刀，将周长拉平，将圆环转化成梯形，利用梯形和圆环各部分之间的关系，推导出S环=π（R+r）（R-r）。
预设3：利用乘法分配律，找到π（R2-r2）=π（R+r）（R-r）。
教师随着学生的汇报，完善板书，贴图，画等号。（注意引导生生对话，追问怎么想到的这种方法）
教师小结：（放课件）在大家的努力下，有的同学按照学习圆面积的方法，将圆环剪拼成了平行四边形，找到转换后的图形与公式之间的联系，理解了圆环面积为什么能用π（R+r）（R-r）来求。有的同学利用乘法分配律对π（R+r）（R-r）进行了推理，找到了这个公式与S环=π（R2-r2）的相等关系，也理解了圆环面积能用π（R+r）（R-r）来求的道理。
（二）探究S环=π（R2-r2）对应的图形。
教师引导看板书：我们通过推理找到了这三个公式的相等关系，还发现第一、三公式都有一个图形与之对应，利用数形结合来记忆公式就非常容易。面对这些学习成果，你有没有对哪个知识又产生了新的好奇？（预设学生提问S环=π（R2-r2）这个公式有没有一个图形与它对应？）
教师：大家猜一猜有吗？（学生猜有）那这个图形会是什么样呢？请你在白板上试着画一画。学生画，教师巡视采样，展示作品。
课件演示并小结：在学习圆的面积时，我们曾在正方形里画了一个最大的圆，发现了正方形的面积是4倍的r2，圆的面积是π倍的r2
。以此类推，大正方形与小正方形的面积差是R2-r2这样的面积的4倍，大圆面积与小圆面积的面积差也就是圆环的面积，就是R2-r2这样的面积的π倍。（教师板书贴S环=π（R2-r2）的图）
小结：通过大家的动手操作和经验回顾，我们真的找到了与S环=π（R2-r2）对应的图形。（三）将圆环公式纳入梯形这个万能公式
教师：通过大家的操作、推理，我们不仅清楚地解释了圆环的面积为什么能用π（R+r）（R-r）解答，还找到了S环=π（R2-r2）对应的图形，对这个公式认识得也更清楚了。除了这三个公式，还有没有公式能解决圆环的面积呢？大家还记得在上图形复习课时，我们发现的万能公式是什么吗？
学生回答：梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2是万能公式。
教师：圆环的面积能用这个万能公式能解决吗？如果能，圆环又属于哪种特殊的梯形呢？（学生答圆环属于上底是小圆周长，下底是大圆周长，高是环宽的特殊梯形）
教师课件演示。
三、课堂练习：选择合适的方法计算
1.阴影的面积是30平方厘米，求环形面积。
3一个圆环内圆周长是31.4厘米，外圆周长是37.68厘米，环宽是2厘米。求这个圆环的面积。
四、课堂小结：通过这节课的学习你最大的收获是什么？教
案
总第
页
课题
圆环的面积
授课时间
12
月
8
日
（星期
五
）
课型
新授
第
1课时（共1课时）
教学目标
1．通过观察、剪圆环等活动，了解圆环的特征，推导出圆环面积的计算公式“外圆的面积-内圆的面积”；迁移圆面积公式推导的方法，学生通过剪、拼、摆等活动，探究出圆环面积的另一种求法。
2．通过操作、观察、比较、推理等活动，培养学生的观察能力、动手操作能力和语言表达能力，渗透转化思想、极限思想。
3．在小组合作交流过程中，培养学生积极参与、主动探索及乐于分享、敢于质疑的精神，在参与中体验成功的乐趣。
教学重点
了解圆环的特征，探究圆环面积的计算公式。
教学难点
采用转化的方法探究圆环面积公式的推导过程。
教学资源
多媒体课件、彩纸、圆环纸片、剪刀、磁力圆环教具等。
板书设计
圆环的面积
=
－
圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
部分=整体-部分
S环=πR2
-πr2
=π（R2
-r2）
转化-联系-推导
总第
页
教学过程
主要教学环节及教师活动（时间分配）
学生活动（时间分配）
一、认识圆环：（15分钟）
1.
出示“光盘”图、“玉环”图，观察特点，抽象出圆环，初步认识圆环。
同学们，今天这节课，我们学习《圆环的面积》，说说看到这个课题，你最想知道什么？
（1）这两个图形有什么共同的特点？
这两个圆之间的部分就构成了一个圆环。
（2）生活中你还在哪见到过圆环？
生活中的圆环无处不在，你们看（课件呈现生活中的圆环）磁铁的截面是圆环形的、过街天桥的地面是圆环形的、砂轮的截面是圆环形的、天安门广场的花坛的形状也是圆环形的。看来，只要我们热爱生活，留心观察，一定还会有更多的发现。
2．（出示圆形的纸片）这是个圆形纸片，请同学们先自已画一画，再剪出一个圆环。
（展示学生的作品，深入了解圆环的特征。）
（1）谁来汇报一下，你是怎样剪的呢？
师：对他的方法有什么疑问吗？
这两个圆有一个共同的圆心，我们管这样的两个圆叫作同心圆。两个同心圆之间的部分就是一个圆环。
（2）这些都是圆环吗？说说你的理由。
（3）交流：圆环有怎样的特征？什么样的图形是圆环？
小结：圆环两个圆之间的距离处处相等，两个同心圆之间的部分形成了圆环。
3.我们是通过观察，发现两个圆之间的距离相等的，怎样证明两个圆间的距离处处相等呢？
师：那就折一折，通过折，又发现了什么？
4.（黑板上画一个圆环）介绍圆环的各部分名称：外圆、内圆、外圆半径、内圆半径、环宽。外圆半径、内圆半径、环宽三者有怎样的关系呢？
课件
小结：三者的关系也就是部分与整体之间的关系。（板书：部分=整体-另一部分）
下面给出了圆环的“外圆半径、内圆半径、环宽”中的两个，请求出另一个是多少？说一说三者之间的关系。
二
、探究圆环面积公式：（15分钟）
圆环面积公式的一般推导方法。
想一想
说一说：
（1）回顾剪圆环的过程，思考：怎么求圆环的面积呢？
（2）如何用字母表示公式？
（3）把你的想法说给同桌听一听。
全班进行交流，教师进行板书。
圆环面积公式的另一种推导方法。
我们通过剪圆环的过程，发现圆环的面积等于外圆的面积减内圆的面积，你看，又是通过部分与整体的关系来解决的问题。
还有其它的推导方法吗？
以前有个学生曾经问我：平行四边形、三角形、梯形、圆形公式的推导过程，都是经历了“转化图形—建立联系—推导公式”的过程进行推导出来的，圆环的面积公式也采用这种推导方法行吗？
探究要求：
（1）通过动手折一折、剪一剪、拼一拼，转化成新图形，尝试推导圆环的面积计算公式。
（2）把研究成果先在组内说一说，做好汇报、补充答疑的准备。
学生汇报
师：（课件）经过同学们的研究，我们把圆环平均分成了8份，转化成了近似的平行四边形；平均分成16份，转化成了这样的平行四边形；想象一下，如果平均分成32份，能拼成一个什么样的平行四边形？平均分成64份呢？128份呢？无限多的份呢？分得无限多的话，拼成的图形就是一个平行四边形或者说就是一个标准的长方形了，这就是极限思想。以后我们还会进一步的学习。
这个公式和我们刚才推导出的公式有联系吗？我们一起来看，课件进一步的进行推导。得到
S环=πR2
-πr2
S环=π（R2
-r2）
3.总结方法，深入认识：同学们，通过“转化—联系—推导”的数学思想和方法，我们找到了计算圆环面积的新方法。
其实，转化这种方法在以前的学习中经常用到，如我们将小数乘法转化为整数乘法，从而得到了小数乘法的计算方法；我们将异分母分数加减法转化为同分母分数加减法，从而得到了异分母分数加减法的计算方法。
在今后的学习中，“转化”这种数学思想方法，我们还会多次用到。看来知识之间是存在联系的，希望同学们遇到新问题能够认真思考，运用已有的知识和方法解决新问题。
三、解决问题，提升能力：（8分钟）
试一试：
一个圆圆环的草编茶杯垫，外圆半径是5厘米，中间是一个半径为2厘米的圆孔（如图）。这个茶杯垫正面的面积是多少平方厘米？
学生读题后，独立解决，展示汇报，说说自己的想法。
小结：有了圆环面积的计算公式，我们很容易的解决了这个问题。
问题一：如图，光盘上有一部分涂着黄色。求涂黄色部分的面积是多少平方厘米？（图中单位：厘米）
读题后，追问：解决这个问题的关键是先求什么？谁口述一下这个题的解决方法？
小结：通过直径求出半径，转化成了第一题的形式，轻松的就解决了这个问题。
问题二：一个圆形鱼池，鱼池的中心是一个圆形小岛（如图）。求鱼池水面的面积。
读题后，追问：解决这个问题的关键是先求什么？
六、课堂总结：（2分钟）
回顾这节课的学习，说说，你有哪些收获？
生：什么是圆环？圆环的面积该怎样计算呢？
生：有两个圆，一个大圆一个小圆。
生：如机器零件、胶条的截面
生：汇报方法和过程
生：你是怎样找到这个圆的圆心的呢？
生：对折打开，再对折再打开，两条折痕的交点就是圆心。
生：前3个是圆环，最后一个不是圆环，因为内圆到外圆的距离不相等。
生：两个同心圆之间的部分是圆环；圆环两个圆之间的距离处处相等。
生：可以量一量；可以对折重合；因为是同心圆，都是大圆的直径减去小圆的直径，所以相等。
生：圆环也是轴对称图形，有无数条对称轴。
生：环宽=外圆直径-内圆直径
生：
（1）
R–r=环宽
20-9=11cm
（2）
R–环宽=r
20-17=3cm
（3）环宽+
r
=R
9+11=20
cm
学生自己探究圆环面积公式的求法，先在小组内交流，然后全班交流汇报。
生：圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
S环=πR2
-πr2
S环=π（R2
-r2）
生通过剪、拼、转化图形来尝试推导圆环的面积公式,
生操作：
学生独立解决，并交流想法。
3.14×52
-3.14×22
=
78.5–12.56
=
65.94(平方厘米)
3.14×（52
-
22）
=
3.14×21
=
65.94(平方厘米)
12÷2=6（厘米）
4÷2=2（厘米）
3.14×62
-3.14×22
=
113.04－12.56
=
100.48(平方厘米)
3.14×（62
-
22）
=
3.14×32
=
100.48(平方厘米)
生：没有半径，先求出半径。
学生独立解决，并交流想法。
6÷2=3（米）
3＋5=3（米）
3.14×82－3.14×32
=
200.96－28.26
=
172.7(平方米)
3.14×（82
-
32）
=
3.14×55
=
172.7(平方米)
生：怎么求外圆的半径？
生：求出外圆的直径再求半径；或用环宽加内圆的半径求外圆的半径。
教学反思
围绕“课改背景下，构建知行合一育人课堂”、“打造生本课堂，提升学生核心素养”的课题研究。落实“以学生的发展为本”的理念，把探究与交流做为课堂教学的主要方式，在“自主探索、合作交流”中学习知识，提升能力。
学过的几个平面图形，学生都是经历了“转化图形—建立联系—推导公式”的方法得到的面积公式，为什么到圆环就“只能用大圆的面积减去小圆的面积”了呢？学生产生了这样的疑惑，原来的探究方法还行吗？学生的疑问是研究最好的动力。
基于以上认识，本节课的教学内容增加了“认识圆环，通过转化图形的方法探究圆环面积的公式”，学生利用已有的方法，通过剪、拼、摆等活动，探索出圆环的面积公式。学生在小组合作探究、交流与分享中，理解和掌握了基本的数学知识与技能，体会运用了数学思想与方法，获得了基本的数学活动经验，推理能力得到了较好的发展。教学过程突出了学生的主体地位，在师生、生生互动与对话中，让学生真正成为了学习的主体。《圆的面积》教学设计
?
教学内容分析：
圆的面积是学生认识了圆的特征、学会计算圆的周长以及学习过直线围成的平面图形面积计算公式的基础上进行教学的。由于以前所学图形的面积计算都是直线图形面积的计算，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到，所以具有一定的难度和挑战性。教学关键之处在于学生通过观察猜想、动手操作、计算验证，自主探索、推导出圆的面积公式并能灵活应用圆的面积公式解决实际问题。因此本课的教学应紧紧围绕“转化”思想，引导学生联系已学知识把新知识纳入已有知识中分析、研究、归纳，从而完成对新知的构建过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。
学生情况分析：
???小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，六年级学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。
教学目标：
1、让学生经历操作、观察、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。
2、让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考。
3、让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。
教学重难点：
重点：圆的面积计算公式的推导和应用。
难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。
教学过程：
一、创设情境、揭示课题
1、什么叫面积？什么叫圆的面积？
2、出示马儿图，说说马儿吃到的草的面积就是圆的面积。
3、回忆平行四边形面积公式是通过什么图形推导出来的。
二、探究联系，推导公式
1、回忆了研究面积可以用转化的方法，把没有学过的图形转化成已经学
过的图形来研究。
2、圆转化成近似的平行四边形的转化过程。（在这个过程中圆的面积变了吗？只是形状发生了改变。）
3、把一个圆平均分的份数越多，拼成的图形就越行四边形。
4、
拼成的平行四边形面积和圆的面积相等，平行四边形的底就相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径。
5、平行四边形的底a=πr，h=r，a
h
=πrr，由此得出圆的面积计算公式：s=πr?。
?三、解决问题、拓展应用
1、用所学公式，计算马儿吃草面积。
2、知道圆的直径求圆的面积。
3、知道圆的周长求圆的面积。
四、全课小结、回顾反思
师：你们对于圆面积的疑问现在解开了吗？又有了哪些新的收获？
板书设计：
圆的面积
平行四边形面积
＝
底
×
高
??????????圆的面积
＝圆周长的一半
×
半径
?
S
＝
πr
×
r
＝
πr2
