(共46张PPT)
1.1.2 余弦定理
自主学习
新知突破
1．了解向量法推导余弦定理的过程．
2．能利用余弦定理求三角形中的边角问题．
3．能利用正、余弦定理解决综合问题．
在△ABC中，AB＝3，BC＝2，B＝60°.
[问题1] △ABC确定吗？
[提示] 确定．
[问题2] 能否用正弦定理解上述三角形？
[提示] 不能．
[问题3] 你会利用向量求边AC吗？
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即a2＝
_________________
，
b2＝
_________________
，
c2＝
_________________.
余弦定理
b2＋c2－2bccos
A
a2＋c2－2accos
B
a2＋b2－2abcos
C
cos
A＝_________________，
cos
B＝
_________________
，
cos
C＝
_________________.
公式推论
应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的三角形问题有：
(1)已知两边和它们的夹角解三角形；
(2)已知三角形的三边解三角形．
解三角形
2．利用余弦定理解三角形的注意事项：
(1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一”．
(2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解．利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会．
答案： B
答案： A
答案： 1
合作探究
课堂互动
已知两边及一角解三角形
已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项
(1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理．
(2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题．
已知三边(或三边关系)解三角形
已知三边解三角形的方法及注意事项
(1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小．
(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．
(3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一．
2．在△ABC中，若sin
A∶sin
B∶sin
C＝5∶7∶8，则B的大小是________．
利用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三角形的形状．
利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
3．(1)三角形的三边长分别为4,6,8，则此三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
(2)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin
A＝2sin
B·cos
C，试确定△ABC的形状．
即a2＝a2＋b2－c2，
所以b＝c.
又因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
所以(b＋c)2－a2＝3bc.
所以4b2－a2＝3b2.
所以b＝a.所以a＝b＝c.
因此△ABC是等边三角形．
答案： (1)C
◎设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
【错因】 解题时，忽略三角形的三边必须满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大．
本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形三边，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边．
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第
一
章
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
自主学习
新知突破
1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用．
2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．
1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，
[问题1] △ABC的其他边和角为多少？
2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.
[提示] 相等．
(1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
(2)表达式：______________________.
正弦定理
(1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
(2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
解三角形
3．利用正弦定理解三角形的注意事项：
(1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
(2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断．
1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin
A∶sin
B∶sin
C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确．
答案： B
答案： C
4．根据下列条件，解△ABC.
(1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a；
(2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c，A.
合作探究
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已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求b.
[思路点拨] 解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b.
本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.
已知两边及一边的对角解三角形
[思路点拨] 由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角．
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角．当已知大边对的角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断．
判断三角形的形状
在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
[思路点拨] 已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定理把边化为角，再利用角之间的关系判断△ABC的形状．
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.
3．在△ABC中，若b＝acos
C，试判断该三角形的形状．
判断三角形解的情况
在△ABC中，分别根据所给条件指出解的个数．
(1)a＝4，b＝5，A＝30°；(2)a＝5，b＝4，A＝90°；
[思路点拨] 画出示意图结合大边对大角，判定解的个数．
(1)三角形解的情况
已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表：
(2)在三角形中，a>b?A>B，而由正弦定理可得a>b?sin
A>sin
B．所以，在三角形中，sin
A>sin
B?A>B.因此判断三角形解的个数问题也可以用上述结论．
【错因】 这位同学在解题过程中，犯了一个“致命”的错误．已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，没有借助大边对大角作出判断，从而导致解题结果不全面的情况．解答此类问题时要特别小心，除用以上说明的方法作出判断外，有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现．
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