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第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用
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1．掌握三角形的面积公式．
2．利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式求解综合问题．
在△ABC中，若AC＝5，BC＝4，∠C＝30°.
[问题1] △ABC的面积为多少？
[问题2] △ABC的面积能否用三角形的两边及其夹角的正弦来表示呢？
[提示] 能．
三角形的面积的计算公式
解三角形面积问题的注意事项：
求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．
答案： B
答案： B
答案： 3
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有关三角形的面积问题
[思路点拨] 解答本题先利用余弦定理列出关于b，c的方程，再求解．
1．已知△ABC中，A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c，sin
B及△ABC的面积．
三角形中线段长度的计算
解决此类问题要处理好两个方面
(1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形．
(2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件．解题时应两方面结合，明确解题思路．
三角形中的综合问题
[思路点拨]
此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质．
【错因】 本题没有注意到AB>AC，所以C>B，从而C有两解．
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1．2 应用举例
第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用
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1．熟练掌握正、余弦定理．
2．能够运用正、余弦定理等知识和方法求解距离、高度和角度等问题．
如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC＝50米，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，则A，B两点的距离为________米．
(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做_____．
测量中的基本术语
(2)仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫_____，目标视线在水平视线下方时叫_____，如图1.
基线
仰角
俯角
(3)方位角和方向角
从_____方向_______转到目标方向线所成的角叫_______.如图2，目标A的方位角为135°.
从_____方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫________，如图3，北偏东30°，南偏东45°.
正北
顺时针
方位角
指定
方向角
(4)视角
观察物体的两端视线张开的_____．如图4.
角度
坡角
坡度
测量中的有关概念、名词、术语的应用
(1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角α的范围是0°<α<360°，方向角β的范围是0°<β<90°.
答案： D
2．在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
答案： B
解析： 画出示意图，在△ABE中，
答案： 15°
4．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶过程中乙船行驶了多少海里？
解析： 设甲沿直线与乙船同时到C点，
则A，B，C构成一个△ABC，
如图，设乙船速度为v，
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测量距离问题
求距离问题的注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
1．如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155°的方向航行．为了确定船的位置，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°.半小时后，货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角为80°.求此时货轮与灯塔之间的距离．(得数保留最简根号)
测量高度问题
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解．解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及联系．测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决．
2．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB＝20
m，在A处测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B处测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝30°，求旗杆的高度．
测量角度问题
解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．
解析： 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，
则B，C，D在一条直线上，且AD＝20，AC＝20.
◎某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
【错因】 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．
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