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第2课时 数列的性质和递推关系
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1．了解递推公式是给出数列的一种方法．
2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．
3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式的方法．
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图)．
[问题1] 写出前五排座位数．
[提示] 20,22,24,26,28.
[问题2] 第n排与第n＋1排座位数有何关系？
[提示] 第n＋1排比第n排多2个座位．
[问题3] 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？
[提示] 能．an＋1＝an＋2.
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2，n∈N
)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
数列的递推公式
数列通项公式和递推公式各有什么作用？
(1)数列的通项公式是给出数列的主要形式，如果已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，可求出数列中的各项与指定项，还可以根据函数的性质，进一步探讨数列的增减性，数列中项的最大值或最小值．
(2)数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
拓展： 通项公式与递推公式的关系示意图
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N
B．an＝an－1＋n，n∈N
，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N
，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N
，n≥2
解析： a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….
∴an＝an－1＋n(n≥2)．
答案： B
2．已知数列{an}中，an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
解析： an＋1＝an＋3>an(n∈N
)，
∴数列为递增数列．
答案： A
3．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小项的值是________．
解析： ∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，
∴当n＝3时，an有最小值－9.
答案： －9
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由递推公式写数列的项并求通项公式
已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前4项，猜想an，并加以证明．
(1)根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算．
(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)的数列的递推公式求通项公式时，通常用累乘法或迭代法，形成函数的运动变化的观点，不断地变换递推公式中的“下标”，直到可以利用首项或前几项是解题的关键．
数列的单调性问题
[思路点拨] 用序号代替通项公式中的n，就可求出相应的项，比较an＋1与an的大小来判断数列的单调性．
单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N
)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1
数列的最大项、最小项问题
(1)由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等；此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件．
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
解析： (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N
，∴n＝2,3.
∴数列中有两项是负数．
◎设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1【错因】 错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形，事实上，n的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且满足a1方法二：直接根据定义来处理．
∵数列{an}是单调递增数列，
∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，
又n∈N
，∴λ>－3，
即实数λ的取值范围是(－3，＋∞)．
答案： (－3，＋∞)
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第
二
章
数 列
2．1 数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
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1．了解数列的概念和顺序性，学会用列表法、图象法、通项公式法来表示数列．
2．理解数列是一种特殊的函数．
3．掌握数列的通项公式，会求数列的通项公式．
[问题1] 按顺序分别写出满足下列条件的数．
(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数；
(2)－1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂；
(3)正整数1,2,3,4,5,6，…的平方．
[问题2] 从1984年到2008年我国共参加了7次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15,5,16,16,28,32,52.这几个数有顺序吗？
[提示] 这几个数有顺序．
数列及其有关概念
数列
按照一定_____排列着的一列数称为数列
项
数列中的__________叫做这个数列的项
表示
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为_____
顺序
每一个数
{an}
数列的分类
分类标准
名称
含义
例子
按项的
个数
有穷数列
项数_____的数列
1,2,3,4，…，100
无穷数列
项数_____的数列
1,4,9，…，n2，…
按项的变
化趋势
递增数列
__________，每一项都_____它的前一项的数列
3,4,5，…，n＋2
有限
无限
从第2项起
大于
从第2项起
小于
各项相等
从第2项起
大于
小于
(1)通项公式
如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)图象法
数列的图象是以__________
为坐标的一系列无限或有限的__________．
数列的简单表示法
项数n
(n，f(n))
孤立的点
(3)列表法
列表法就是列出表格来表示___________的关系．例如：数列1,1,2,3,5,8,13,21.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
项
1
1
2
3
5
8
13
21
序号与项
数列表示方法的深层次理解
(1)图象法：①数列是特殊的函数，因此，数列也可以根据某通项公式画出其对应图象，这就是图象法．在画图时，为了方便，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同．
②图象法的优点：直观明了，能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
(2)列表法：运用列表法给出数列，优点是内容具体、方法简单，不需要计算就可以直接看出与序号相对应的项，但要确切表示一个无穷数列或一个项数比较多的有穷数列则比较困难，这与集合的列举法表示效果相似．
(3)通项公式法：用通项公式表示数列，简单明了，便于计算，是常用的方法．
1．下列说法正确的是( )
A．数列是一种特殊的函数，定义域是N
B．数列1,2,8,16与数列1,8,2,16是同一个数列
C．同一个数在同一个数列中可以重复出现
D．数列1,4,9，…，n2是无穷数列
解析： 对于A，因为数列的定义域是正整数集N
或它的有限子集，故A错；对于B，根据数列的定义可知，如果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是不同的数列，故B错；根据数列的定义，C正确；对于D，因为它的项数有限，应该是有穷数列，故D错．
答案： C
解析： A选项中的数列是递减数列，B选项中的数列是摆动数列，D选项中的数列是有穷数列，只有C选项中的数列是无穷数列且是递增数列，故选C.
答案： C
答案： 23
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数列的概念及分类
下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？
(1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3,4；
(3)所有无理数；(4)1，－1,1，－1,1，－1，…；
(5)6,6,6,6,6.
[思路点拨] 由题目可获取的主要信息是五种数学表达式．解答本题要紧扣数列的概念和数列分类标准．
[边听边记] (1)是集合，不是数列．(3)不能构成数列，因为无法把所有的无理数按一定顺序排列起来．(2)(4)(5)是数列，其中(4)是无穷数列，(2)(5)是有穷数列．
解决此类问题的方法是根据数列的定义及所含项数的多少与项的变化情况确定．
解析： (1)是无穷数列，递减数列；
(2)是无穷数列，递增数列；
(3)是无穷数列，常数列；
(4)是无穷数列，递减数列；
(5)是有穷数列，递减数列；
(6)是无穷数列，摆动数列．
故有穷数列有(5)，无穷数列有(1)(2)(3)(4)(6)，递增数列有(2)，递减数列有(1)，(4)，(5)，摆动数列有(6)，常数列有(3)．
求数列的通项公式
根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
[思路点拨] 根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还原、分割等办法，转化为一些常见的数列来求．
解析： (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．
用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，具体可参考以下几个思路：
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；
(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；
(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(－1)k处理符号；
(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
数列通项公式的应用
已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出数列的第4项和第6项；
(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．
判断某数是否为数列的项的步骤
(1)将所给某数代入通项公式中；
(2)解关于n的方程；
(3)若n为正整数，说明某数是该数列的项；若n不是正整数，说明某数不是该数列的项．
答案： D
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