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2．2 等差数列
第1课时 等差数列
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1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系．
2．理解等差数列的概念．
3．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．
观察以下这四个数列：
0,5,10,15,20，…
48,53,58,63
18,15.5,13,10.5,8,5.5
10
072,10
144,10
216,10
288,10
360
[问题] 这些数列有什么共同特点呢？
[提示] 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)．
如果一个数列从第____项起，每一项与它的________的差等于_________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的______，通常用字母____表示．
等差数列的定义
2
前一项
同一常数
常数
公差
d
1．等差数列的定义的理解
(1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
如果a，A，b成_____数列，那么A叫做a与b的等差中项．
事实上，若a，A，b成等差数列，即A＝________，则A就是a与b的等差中项；若A＝
________
，即A－a＝b－A，则a，A，b成等差数列．
等差中项
等差
已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
等差数列的通项公式
递推公式
通项公式
___________＝d(n≥2)
an＝
___________
an－an－1
a1＋(n－1)d
3．等差数列通项公式的应用
在等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d中有4个变量an，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．其作用为：
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；
(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项．
1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为( )
A．49
B．50
C．51
D．52
答案： D
答案： B
3．已知等差数列{an}中，a4＝8，a8＝4，则其通项公式an＝________.
答案： 12－n
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数．
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等差数列的通项公式
已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．
(1)a5＝11，a8＝5；
(2)前三项为a,2a－1,3－a.
[思路点拨] 先确定数列的首项a1与公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.
1．在等差数列{an}中，
(1)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
(2)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n.
等差中项
已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[思路点拨] 方法一：由前三项的和为18，前三项的积为66，列关于a1和d的方程，求出a1和d，进而求出an，再令an＝－34，求n值进行判断即可．
方法二：可以设前三项为a－d，a，a＋d，求出a和d的值，再求出an，下同方法一．
2．(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为________，________，________；
(2)已知等差数列{an}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式．
解析： (1)因为数列8，a,2，b，c是等差数列，
所以2a＝8＋2，所以a＝5，
因为公差d＝5－8＝－3，
所以b＝2＋(－3)＝－1，c＝－1＋(－3)＝－4.
答案： (1)5 －1 －4
等差数列的判定
[思路点拨] 先用an表示bn＋1，bn，再验证bn＋1－bn为常数．
判断一个数列是否为等差数列有以下方法：
方法
符号语言
结论
定义法
an－an－1＝d(常数)
(n≥2且n∈N
)
{an}是
等差数列
等差中项法
2an＝an－1＋an＋1
(n≥2且n∈N
)
【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明“a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
答案： D
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第2课时 等差数列的性质
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1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．
2．理解等差数列的性质．
3．掌握等差数列的性质及其应用．
等差数列中项与序号的关系
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N
)是公差为___的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为____________的等差数列．
等差数列的性质
d
cd
2d
pd1＋qd2
对等差数列的性质的理解
(1)第一条性质是指等号两边都是和，等号两边都是两项．特别地，当m＋n＝2r时(m，n，r∈N
)am＋an＝2ar.
(2)从等差数列{an}中，等距离抽取一项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．
(3)将等差数列各项都乘以同一个常数k，所得数列仍为等差数列，公差为kd.
(4)形如a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…的抽取，实际上是3a2,3a5,3a8…当然成等差数列．对于每2项，4项，5项…抽取，道理是相同的．
(5)a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于( )
A．4
B．5
C．6
D．7
解析： a2＋a8＝2a5＝12，∴a5＝6.
答案： C
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
解析： ∵a2＋a3＝2a1＋3d，∴d＝3，∴a4＋a5＋a6＝a1＋a2＋a3＋3×3d＝42.
答案： B
3．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
解析： ∵a3＋a8＝a5＋a6＝22，∴a5＝22－a6＝22－7＝15.
答案： 15
4．在等差数列{an}中，
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解析： 方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下：(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，即4(a1＋12d)＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.
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等差数列性质的应用
在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，则a5＋a8＝________.
[思路点拨] 由题目可获取以下主要信息：①数列{an}为等差数列；②a2＋a3＋a10＋a11＝36；③求a5＋a8.解答本题可利用性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，则am＋an＝ap＋aq，也可引入公差d和首项a1对已知和所求进行化简求解．
解析： 方法一：根据等差数列的性质可得：
a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.
方法二：根据题意，有
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，则2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.
答案： 18
法一运用了等差数列的性质，若p＋q＝m＋n(p，q，m，n∈N
)，则ap＋aq＝am＋an；法二设出了a1，d但并没有求出a1，d.事实上也求不出来，这种“设而不求”的方法在数学中是一种常用方法，它体现了整体求解的思想.
1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( )
A．15
B．30
C．31
D．64
解析： 方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，则由a7＋a9＝16得2a1＋14d＝16，由a4＝1，得a1＋3d＝1.∴两式相减得a1＋11d＝15，即a12＝15.
方法二：∵7＋9＝4＋12，∴a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝a7＋a9－a4＝15.
答案： A
等差数列的运算
(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
[思路点拨] (1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；
(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．
[边听边记] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，
则这三个数分别为a－d，a，a＋d.
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，
所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，
化简得d2＝16，于是d＝±4，
故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，
依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，
得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，
即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.
(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.
利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
2．已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．
综合运用题
(1)判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an＋1－an＝d(d为常数)，也可以用an＋1－an＝an－an－1(n≥2)进行判断．本题属于“生成数列问题”，关键是利用整体代换的思想方法．
(2)若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可．
3．梯子的最高一级宽33
cm，最低一级宽110
cm，中间还有10级，已知各级的宽度成等差数列，试计算中间各级的宽度．
解析： 用{an}表示题中的等差数列．由已知条件得a1＝33，a12＝110，n＝12.设公差为d，则a12＝a1＋(12－1)d，
即110＝33＋11d，解得d＝7.
因此，a2＝33＋7＝40，a3＝33＋2×7＝47，…，a11＝33＋10×7＝103.
∴中间各级的宽度分别为40
cm,47
cm,54
cm，61
cm，68
cm，75
cm，82
cm,89
cm,96
cm,103
cm.
◎已知两个等差数列{an}和{bn}，且{an}为2,5,8，…，{bn}为1,5,9，…，它们的项数均为40项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？
【错解】 由已知两等差数列的前三项，容易求得它们的通项公式分别为：
an＝3n－1，bn＝4n－3(1≤n≤40，且n∈N
)，
令an＝bn，得3n－1＝4n－3，即n＝2.
所以两数列只有1个数值相同的项，即第2项．
【错因】 本题所说的是数值相同的项，但它们的项数并不一定相同，也就是说，只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不是这两个数列的第几项．
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