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2．3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列前n项和
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1．了解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握等差数列五个量a1，n，d，an，Sn之间的关系．
2．掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用．
3．能熟练应用公式解决实际问题，并体会方程思想．
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？
[提示] 六层 等腰梯形
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？
[提示] (4＋9)×6＝78.
[问题3] 原来有多少根钢管？
[问题4] 能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn＝a1＋a2＋…＋an?
等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和
公式
Sn＝_____________
Sn＝________________
对等差数列前n项和公式的理解
(1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．
1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＝35，则a4＝( )
A．8
B．7
C．6
D．5
答案： D
2．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝( )
A．7
B．15
C．20
D．25
答案： B
3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝____________.
答案： 10
4．在等差数列{an}中，a6＝10，S5＝5，求a8和S8.
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与前n项和有关的基本量的运算
在等差数列{an}中，
(1)a1＝105，an＝994，d＝7，求Sn；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1
022，求d.
[思路点拨] 将等差数列问题利用化归思想转化为基本量的关系，再利用方程的思想来解决，是通性通法．
一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”问题，若能巧妙地利用等差数列(或前n项和)的性质会使计算更简便．
1．已知等差数列{an}中，
(1)d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n；
(2)a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值．
[思路点拨]
求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法：
2．(1)在数列{an}中，已知an＝2n－49，则Sn取得最小值时，n＝( )
A．26
B．25
C．24
D．23
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝29,5a8＝a5－8，则Sn的最大值为________．
答案： (1)C (2)120
求数列{|an|}的前n项和
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[思路点拨] 本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之和．由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数．由于已知数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
已知等差数列{an}的项先负后正，求数列{|an|}的前n项和Tn，步骤如下：
(1)求an：即{an}的通项公式；
(2)判号：利用通项公式，判断前多少项为负数(假设前m项为负数)；
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝－4，S8＝a8，求数列{|an|}的前n项和Tn.
◎在等差数列{an}中，an＝3n－31，记bn＝|an|，求数列bn的前30项和．
【错因】 错把{bn}也当作等差数列，实际上解此题的关键是搞清绝对值符号内的an的正负，易知当n≤10时，an<0，当n≥11时，an>0.
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第2课时 等差数列前n项和习题课
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1．理解等差数列前n项和的一些性质，并能应用性质解决一些问题．
2．能应用等差数列解决一些实际问题．
教材是怎样推导等差数列{an}的前n项和的？试写出推导过程．
[提示] 等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，
具体过程如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，
又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，
等差数列前n项和的主要性质
对等差数列前n项和性质的理解
(1)等差数列的前n项和是所有奇数项与所有偶数项的和，我们可以根据等差数列的性质，得出结论．
(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S奇与S偶的关系是不相同的．
1．在等差数列{an}中，S15＝90，则a8等于( )
A．3
B．4
C．6
D．12
答案： C
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n(n∈N
)，则数列{an}为( )
A．首项为1，公差为2的等差数列
B．首项为3，公差为2的等差数列
C．首项为3，公差为4的等差数列
D．首项为5，公差为3的等差数列
解析： 当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.又a1＝4×1－1＝3.∴公差d＝a2－a1＝4×2－1－3＝4.∴{an}是首项为3，公差为4的等差数列，故选C.
答案： C
3．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝____________.
解析： ∵S2＝S6，∴S6－S2＝a3＋a4＋a5＋a6＝0.
又a3＋a6＝a4＋a5，
∴2(a4＋a5)＝0，∴a5＝－a4＝－1.
答案： －1
4．在等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求它的前3m项的和．
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等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解，也可以利用等差数列前n项和的性质求解．
1．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．
等差数列的性质在前n项和中的应用
已知Sn求an的问题
已知数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式an.
(1)Sn＝－3n2＋6n；
(2)Sn＝－3n2＋6n＋1.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－n＋1求数列的通项公式an.
◎已知一个数列的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？
【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n，又an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列每一项与前一项的差是同一个常数，
∴{an}是等差数列．
【错因】 已知数列的前n项和Sn，求数列的通项an时，需分类讨论，即分n≥2与n＝1两种情况．
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