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第2课时 等比数列的性质
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1．了解等比数列的性质的由来．
2．掌握等比数列的性质并能综合运用．
等比数列的性质
等差数列与等比数列的联系与区别
等差数列
等比数列
不同点
(1)强调每一项与前一项的差；
(2)a1和d可以为0；
(3)任意两实数的等差中项唯一；
(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)时am＋an＝ap＋aq
(1)强调每一项与前一项的比；
(2)a1与q均不为0；
(3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值；
(4)当m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)时aman＝apaq
相同点
(1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定
1．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，此数列是( )
A．公比为q的等比数列
B．公比为q2的等比数列
C．公比为q3的等比数列
D．不一定是等比数列
答案： B
答案： A
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
答案： 7
4．若{an}为等比数列，且a1·a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.
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等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，
(1)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式；
(2)若a2a6a10＝1，求a3·a9的值．
[思路点拨] 运用等比数列下标与项的运算关系，也可以利用通项公式计算．
等比数列常用性质
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N
)，
则am·an＝ap·aq.
1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________.
(2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．
答案： (1)72 (2)－213
等比数列中项的设法
已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似，但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的讨论和说明．
(2)对于方法二不难发现，如果采用这样的设法，可轻松的求出中间的数，大大减少了运算量．对于这类问题的解答，我们探究出如下技巧：
2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数．
等比数列的综合题
在等比数列{an}中，a1＝1，公比为q(q≠0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(2)由(1)可知，当q＝1时，bn＝0；
当q≠1时，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(n∈N
).
12分
(1)本题属于“运算数列”是否为等比数列的判定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨论十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是逻辑思维严谨性的具体要求．
(2)若数列{an}为等比数列，则下列结论仍能成立．
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，试求a7.
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2．4 等比数列
第1课时 等比数列
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1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．
2．掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．
3．掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题．
分析下面几个数列．
(1)－1,1，－1,1，…；
(2)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，…，263；
(3)某人年初投资100
000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为
100
000×1.05,100
000×1.052，…，100
000×1.055.
[问题1] 上面数列是等差数列吗？
[提示] 不是．
[问题2] 以上数列中后项与前项的比有何特点？
[提示] 后项与前项的比值都相同．
等比数列的定义及通项公式
1．等比数列通项公式的理解
(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a1，q为两个基本量．
(3)对于等比数列{an}，若q<0，则{an}中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{an}各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．
定义：一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____________，那么G叫做a与b的等比中项．这三个数满足关系式__________.
等比中项
等比数列
G2＝ab
1．数列a，a，a，…，a，…(a∈R)必为( )
A．等差数列但不是等比数列
B．等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列，又是等比数列
D．以上都不正确
解析： 当a≠0时，该数列是等差数列，也是等比数列，当a＝0时，是等差数列，但不是等比数列，故选D.
答案： D
2．在等比数列{an}中，a2
010＝8a2
007，则公比q的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
答案： A
3．在数列{an}中，a1＝2，且对任意正整数n,3an＋1－an＝0，则an＝________.
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等比数列通项公式的运用
在等比数列{an}中，
[思路点拨] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
等比数列基本量的求法
a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，方法一是常规解法，先求a1，q，再求an，方法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的方法．
1．在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
解析： (1)方法一：由a4＝a1·q3，
得27＝a1·(－3)3，得a1＝－1，
所以a7＝a1·q6＝(－1)×(－3)6＝－729.
等比数列的判定
已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，试判断数列{an}是否是等比数列？
[思路点拨] 要判断此数列是否是等比数列，关键是用等比数列的定义，看其能否满足an与an－1之比为一常数，已知Sn＝2an＋1，以此来寻找an与an－1的关系．
2．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.判断数列{an－1}是否为等比数列？并说明理由．
解析： 数列{an－1}是等比数列．
证明如下：
∵a1＝2，an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2(an－1)
∴数列{an－1}是以1为首项，公比为2的等比数列．
等比中项的应用
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
答案： (1)B (2)D
◎下面关于等比数列{an}和公比q的叙述中，正确的是( )
A．q>1?{an}为递增数列
B．{an}为递增数列?q>1
C．q>1?{an}为递增数列
D．q>1?{an}为递增数列，且{an}为递增数列?q>1
【错解】 在等差数列中，公差d的符号决定了数列的单调性，即d>0时{an}是递增数列，d<0时{an}是递减数列，d＝0时{an}是常数列．
类似地，在等比数列中，公比q与1的相对大小也决定了数列的单调性，故选C.
【错因】 等比数列的单调性不但与q有关，还与a1有关．
【正解】 当a1>0，q>1或a1<0,0答案： D
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