(共47张PPT)
3.3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
自主学习
新知突破
1．了解二元一次不等式的概念．
2．准确判断二元一次不等式表示的平面区域．
3．会画出二元一次不等式表示的平面区域．
方程2x－y＋1＝0表示直线．
[问题1] 试判断点A(0,1)，B(1,1)，C(－1,1)与直线的位置关系？
[提示] 点A在直线上，B，C不在直线上．
[问题2] 试判断上述三点坐标满足不等式2x－y＋1>0吗？
[提示] B点的坐标满足，而A，C不满足．
[问题3] 点B在直线2x－y＋1＝0的哪个方向的区域内？
[提示] 在直线2x－y＋1＝0的右下方区域．
[问题4] 直线2x－y＋1＝0右下方的点都满足2x－y＋1>0吗？
[提示] 满足．
(1)含有_____未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做二元一次不等式．由几个__________________组成的不等式组叫做二元一次不等式组．
(2)满足___________________________________构成_______________，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
二元一次不等式(组)的概念
两个
二元一次不等式
二元一次不等式(组)的x和y的取值
有序数对(x，y)
1．对概念的几点理解
(1)二元一次不等式中主要强调两点：一是不等式中只含有两个未知数，多于两个或少于两个均不能称为二元不等式．二是未知数的最高次数是1.
(2)二元一次不等式组要求由多于一个的二元一次不等式组成的不等式组，其中的不等式个数可以是二个、三个，当然也可以是多个．
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线_______________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成_____以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成_____．
二元一次不等式表示平面区域
Ax＋By＋C＝0
虚线
实线
(1)直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都_____．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由_____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
二元一次不等式表示平面区域的确定
相同
Ax0＋By0＋C
2．二元一次不等式表示平面区域需注意的问题
(1)平面内的直线可以视为二元一次方程的几何表示，二元一次不等式表示的平面区域就是二元一次不等式的几何表示．
(2)用二元一次不等式确定平面区域的方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点(C≠0时)验证．
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
答案： D
2．不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内的一个点是( )
A．(0,0)
B．(1,1)
C．(0,2)
D．(2,0)
解析： 将四个点的坐标分别代入不等式中，其中点(2,0)代入后不等式不成立，故此点不在不等式3x＋2y<6表示的平面区域内，故选D.
答案： D
3．某工厂生产甲、乙两种产品，需要经过打磨和装配两个车间加工，有关数据如下表：
设生产甲产品x件，生产乙产品y件．列出满足生产条件的数学关系式为____________．
加工时间
(小时/件)
产品
总有效工时
(小时)
甲
乙
车间
打磨
4
3
480
装配
2
5
500
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所示．
合作探究
课堂互动
二元一次不等式表示的区域
画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
(1)x－2y＋4≥0；(2)y>2x.
[边听边记] (1)设F(x，y)＝x－2y＋4，画出直线x－2y＋4＝0，
∵F(0,0)＝0－2×0＋4＝4≥0，
∴x－2y＋4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，包括边界．
(2)设F(x，y)＝y－2x，
画出直线y－2x＝0，
∵F(1,0)＝0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图阴影所示的区域，不包括边界．
画二元一次不等式表示平面区域时，先画直线，当不等式中含有等号时画成实线，不含等号时画成虚线，然后把原点坐标代入不等式检验，成立时原点所在一侧的半平面为所求平面区域，不成立时，另一侧的半个平面为所求作的平面区域，当原点正好在所画直线上时，另外选一个特殊点如(0,1)或(1,0)代入不等式检验即可，得到的平面区域需要画成阴影表示．
1．画出下列不等式表示的平面区域：
(1)2x＋y－10<0；(2)y≤－2x＋3.
解析： (1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，取点(0,0)代入2x＋y－10，有2×0＋0－10＝－10<0，
∴2x＋y－10<0表示的区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)所示．
(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，首先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)，取点(0,0)，代入2x＋y－3，有2×0＋0－3＝－3<0，
∴2x＋y－3<0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0的左下方的平面区域．
∴2x＋y－3≤0表示的区域是直线2x＋y－3＝0以及左下方的平面区域．如图(2)所示．
平面区域的面积
解析： 不等式x－y＋6≥0表示直线x－y＋6＝0上及右下方的点的集合；x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合；x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．作出原不等式组表示的平面区域如图所示．该平面区域的面积也就是△ABC的面积．
求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．
答案： C
用二元一次不等式(组)表示实际问题
投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1
400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
[思路点拨] 先将已知数据列成表，如下表所示：
然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可．
消耗量
产品
资金
(百万元)
场地
(百平方米)
A产品(百吨)
2
2
B产品(百米)
3
1
用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分).
12分
用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量均有实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1
t产品的资源需求如下表：
该厂有工人200人，每天只能保证160
kW·h的用电额度，每天用煤不得超过150
t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围．
品种
电力/kW·h
煤/t
工人/人
甲
2
3
5
乙
8
5
2
甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界)：
◎画出不等式(x－y)(x＋2y－2)>0所表示的平面区域．
【错因】 以上两种方法均犯了实线与虚线不分的错误，这一点经常被忽视，同时错解一并不是等价转化．
∴(x－y)(x＋2y－2)>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
高效测评
知能提升
谢谢观看！(共53张PPT)
第2课时 简单线性规划的应用
自主学习
新知突破
1．会从实际情境中列举出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
2．培养学生应用线性规划的有关知识解决实际问题的能力．
(1)实际问题中线性规划的类型
①给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；
②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
线性规划在实际问题中的应用
(2)线性规划解决的常见问题
①物资调配问题
②产品安排问题
③合理下料问题
④产品配比问题
⑤方案设计问题
(3)线性规划解决实际问题的一般步骤
最优整数解的求解技巧
如何求线性规划问题的最优整数解是整个线性规划中最复杂也是最困难的问题，为了解决这类问题，可以采用如下两种方法：
(1)“局部微调法”
所谓“局部微调法”是指：在求线性目标函数z＝ax＋by＋c的最优整数解时，先根据基本方法求出目标函数的最优解，但若此时最优解不是整数(即此时直线经过的点A(x0，y0)不是整点)，可先根据A(x0，y0)求出此时的z0＝ax0＋by0＋c，然后根据条件把z0的值微调为大于(或小于)z0且与z0最接近的整数z1，再求出直线z1＝ax＋by＋c与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点．
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为( )
A．甲4组、乙2组
B．甲2组、乙4组
C．甲、乙各3组
D．甲3组、乙2组
答案： D
当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．
答案： B
3．蔬菜价格随着季节的变化而有所变化．根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元．设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
答案： >
4．配制A，B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A种药品需甲料3
mg，乙料5
mg；配一剂B种药品需甲料5
mg，乙料4
mg，今有甲料20
mg，乙料25
mg，若A，B两种药品至少各配一剂，问共有多少种配制方法？
作出可行域，如图，由图知，区域内的所有格点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共8种不同方法．
合作探究
课堂互动
求最大值的实际应用题
某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，一个大集装箱所托运的货物的总体积不能超过24立方米，总重量不能低于650千克．甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润，列表如下：
货物
每袋体积(单位：立方米)
每袋重量(单位：百千克)
每袋利润
(单位：百元)
甲
5
1
20
乙
4
2.5
10
问：在一个大集装箱内，这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时，可获得最大利润？
作出上述不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．
解答线性规划应用题的一般步骤：
(1)审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(3)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，求该企业在一个生产周期内可获得的最大利润．
解析： 设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有关系
A原料
B原料
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
目标函数z＝5x＋3y，作出可行域如图所示，
求最小值的实际应用问题
某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个．现有两种规格的原料，甲种规格每张3
m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2
m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使得总用料面积最小．
[思路点拨] 可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解．
解析： 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个，由题意可得
在一组平行直线3x＋2y＝z中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线．
过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为x＝2，y＝1，
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．
解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．
2．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
作出可行域，如图中阴影部分所示．
实际问题中的整数解问题
作出可行域如图所示，作出直线x＋y＝0.作出一组平行直线x＋y＝t(其中t为参数)．
对于线性规划中最优整数解的问题，当解方程组得到的解不是整数解时，可用下面的方法求解：
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是整点最优解．
(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优解．
3．某中学准备组织学生去“鸟巢”参观．参观期间，校车每天至少要运送480名学生．该中学后勤有7辆小巴、4辆大巴，其中小巴能载16人，大巴能载32人．已知每辆客车每天往返次数小巴为5次，大巴为3次，每次运输成本小巴为48元．大巴为60元．请问每天应派出小巴、大巴各多少辆，才能使总费用最少？
即可行域，如图阴影部分的整点．
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，
作出直线l：240x＋180y＝0，即4x＋3y＝0，
把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使其在y轴上的截距最少，观察图形，可知当直线l经过点(2,4)时，满足上述要求．
此时，z＝240x＋180y取得最小值，
即x＝2，y＝4时，
zmin＝240×2＋180×4＝1
200(元)．
答：派2辆小巴，4辆大巴总费用最少．
【正解】 同上述方法作出可行域，因为当直线l：5x＋4y＝t平移时，从A点起向左下方移时第一个通过可行域中的整数点是(2,1)，∴(2,1)是所求的最优解．故Smax＝5×2＋4×1＝14.
高效测评
知能提升
谢谢观看！(共47张PPT)
3.3.2 简单的线性规划问题
第1课时 简单的线性规划问题
自主学习
新知突破
1．了解线性规划的意义．
2．通过实例弄清线性规划的有关概念术语．
3．会用图解法求一些简单的线性规划问题．
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10
g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10
g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．
[问题1] 设甲、乙两种原料分别用10x
g和10y
g，为了满足病人的营养需要．试列出x，y满足的不等关系．
[问题2] 若甲种原料售价每10
g
3元，乙种原料售价每10
g
2元，该医院所需费用如何表示？
[提示] 设总费用为z，则z＝3x＋2y.
线性规划的基本概念
名称
意义
约束条件
关于变量x，y的__________________
线性约束条件
关于x，y的一次不等式(或方程)组成的
目标函数
欲求最大值或最小值的关于变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足_______________的解(x，y)
可行域
由所有________组成的集合
最优解
使目标函数取得__________________的可行解
线性规划问题
在__________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
不等式(或方程)组
线性约束条件
可行解
最大值或最小值
线性约束
求解线性规划问题的注意事项
(1)线性约束条件是指一组对变量x，y的限制条件，它可以是一组关于变量x，y的一次不等式，也可以是一次方程．
(2)有时可将目标函数z＝ax＋by改写成y＝mx＋nz的形式．将nz看作直线y＝mx＋nz在y轴上的截距来处理．
(3)目标函数所对应的直线系的斜率，若与约束条件中的某一约束条件所对应的直线斜率相等，则最优解可能有无数个．
(4)解线性规划问题，正确画出可行域并利用数形结合求最优解是重要一环，故力求作图准确；而在求最优解时，常把视线落在可行域的顶点上．
解析： 画出可行域，由可行域知有4个整点，分别是(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
答案： B
解析： 画出如图所示的可行域，易知当直线过点(1,2)时目标函数取最大值3.
答案： A
答案： －9
解析： 作出可行域如图阴影部分所示，
合作探究
课堂互动
求线性目标函数的最值
求线性目标函数最值问题的一般步骤．
解析： 利用线性规划知识求解．
作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，
答案： [－3,3]
求非线性目标函数的最值
(1)对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离平方的最值问题．
已知目标函数的最值求参数
[规范解答] 在平面直角坐标系中画出约束条件所表示的可行域如图(形状不定).
3分
其中直线ax－y－a＝0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.
6分
随着对线性规划问题研究的不断深入，出现了一些线性规划的逆向问题．即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中的参数的取值及范围问题．解决这类问题时仍需要正向考虑，先画可行域，搞清目标函数的几何意义，看最值在什么位置取得．
(2)由目标函数z＝y－ax，即l：y＝ax＋z知，求z的最值转化为求y＝ax＋z截距的最值．
分析知：当l过C点时，y＝ax＋z截距最大．
又C(－3,7)，
∴zmax＝7＋3a.
同理当l过A(2，－1)时，zmin＝－1－2a.
【错因】 这位同学所求平面区域完全正确．遗憾的是在求目标函数的最小值时由于分析不彻底导致结果有误．这种参数与斜率有关的问题，求解时可先作出线性约束条件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一般情况下需分类讨论，如本题中可将条件a>－1分为－1
2两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完美的答案．
(2)f(x，y)表示直线l：y－ax＝k在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．
∵a>－1，
∴当直线l过顶点C时，f(x，y)最大．
∵C点的坐标为(－3,7)，
∴f(x，y)的最大值为7＋3a.
如果－1如果a>2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为1－3a.
高效测评
知能提升
谢谢观看！