§1.3.1函数的单调性
一、教学目标
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识.
再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义
.
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习
函数的紧迫感.
二、教学重点与难点
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
三、学法与教学用具
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、计算机.
四、教学思路：
（一）创设情景，揭示课题
1．
观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：
随x的增大，y的值有什么变化？
能否看出函数的最大、最小值？
函数图象是否具有某种对称性？
2．
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)
=
x
从左至右图象上升还是下降
______?
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（2）f(x)
=
-x+2
从左至右图象上升还是下降
______?
在区间
____________
上，随着x的增
大，f(x)的值随着
________
．
（3）f(x)
=
x2
在区间
____________
上，
f(x)的值随着x的增大而
________
．
在区间
____________
上，f(x)的值随
着x的增大而
________
．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
（二）研探新知
1、y
=
x2的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？
学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：
函数y
=
x2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x12＜x22
.
即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。
2．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，
如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1function）．
3、从函数图象上可以看到，y=
x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？
注意：
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1．
4．函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
（三）质疑答辩，发展思维。
根据函数图象说明函数的单调性．
例1
如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
解：略
例2
物理学中的玻意耳定律P=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。
分析：按题意，只要证明函数P=在区间（0，+∞）上是减函数即可。
证明：略
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①
任取x1，x2∈D，且x1②
作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
巩固练习：
课本P38练习第1、2、3题；
证明函数在（1，+∞）上为增函数．
例3．借助计算机作出函数y
=－x2
+2
|
x
|
+
3的图象并指出它的的单调区间．
解：（略）
思考：画出反比例函数的图象．
这个函数的定义域是什么？
它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．
（四）归纳小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取
值
→
作
差
→
变
形
→
定
号
→
下结论
（五）设置问题，留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考：
①通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？
③怎样用定义证明函数的单调性？
师生共同就上述问题进行讨论、交流，发表自己的意见。
2、书面作业：课本P39习题1、3题（A组）第1-5题。
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
y
x
1
-1
1
-1
PAGE§1．3．1函数的最大（小）值
一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的最大（小）值及其几何意义．
学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
2．过程与方法：
通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．
3．情态与价值
利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性．
二．教学重点和难点
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
三．学法与教学用具
1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．
2．教学用具：多媒体手段
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题．
画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
①
②
③
④
（二）研探新知
1．函数最大（小）值定义
最大值：一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得．
那么，称M是函数的最大值．
思考：依照函数最大值的定义，结出函数的最小值的定义．
注意：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法
②换元法
③数形结合法
（三）质疑答辩，排难解惑．
例1．（教材P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解（略）
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（－50）元，从而销售量减少
∴
＜100）
∴
答：为了赚取最大利润，售价应定为70元．
例3．求函数在区间[2，6]
上的最大值和最小值．
解：（略）
例4．求函数的最大值．
解：令
（四）巩固深化，反馈矫正．
（1）求函数的最大值和最小值．
（2）如图，把截面半径为25cm的图形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为，面积为，试将表示成的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
（五）归纳小结
求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值．
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值．
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．
（六）设置问题，留下悬念．
1．课本P39（A组）
5.
2．求函数的最小值．
3．求函数．
①
②
③
A组
一、选择题：
1．若一次函数上是单调减函数，则点在直角坐标平面的（
）
A．上半平面
B．下半平面
C．左半平面
D．右半平面
2．函数y=x2+x+2单调减区间是(
)
A
．[－,+∞]
B．（－1，+∞）
C．（－∞，－）
D．（－∞，+∞）
3．下列函数在（0，3）上是增函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是（
）
A．a≥3
B．a≤-3
C．a≥-3
D．a≤5
5．设A=[1，b]（b＞1），，若f（x）的值域也是A，则b值是（
）
A．
B．2
C．3
D．
6．定义在R上的f（x）满足f（－x）＝f（x），且在（－∞，0）上是增函数，若，则a的取值范围是（
）
A．
B．|a|>2
C．
D．
二、填空题：
7．若函数f(x)=(-k2+3k+4)x+2是增函数，则k
的范围是
8．定义在区间[a、b]上的增函数f（x），最大值是________，最小值是________。
定义在区间[c，d]上的减函数g（x），最大值是________，最小值是________。
9．一般地，家庭用电量y（千瓦）与气温x（℃）有函数关系。图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在12个月中每月的用电量.
试在数集是2.5的整数倍}中确定一个最小值和最大值，使上的增函数，则区间[，x2]=
.
10．读图分析：设定义在的函数的图象
如图所示（图中坐标点都是实心点），请填写以下几个空格：
（1）若，，则___________。
（2）若的定义域为，则函数
的定义域为____________。
（3）该函数的单调增区间为__________、
__________、_________。
（4）方程（）的解个数为____(个)。
11．函数在区间[-3，a]上是增函数，则a的取值范围是________。
12．函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿＿。
三、解答题：
13．画出函数的图象，并求出此函数的单调区间。
14．利用函数单调性定义，证明函数在（-1，1）上是增函数。
25
PAGE
