2019-2020学年江西省新余市高一下学期期末（理科）数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年江西省新余市高一第二学期期末数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（　　）
A．ab2＜ab＜a B．a＜ab＜ab2 C．ab＞b＞ab2 D．ab＞ab2＞a
2．下列四式中不能化简为的是（　　）
A． B．
C． D．
3．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
4．已知向量、满足||＝1，||═2，向量，的夹角为，则|2﹣|的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a6＝11，则S7＝（　　）
A．91 B． C．98 D．49
6．已知在△ABC中，点M在边BC上，且＝﹣2，点E在边AC上，且＝，则向量＝（　　）
A．+ B．+ C．+ D．+
7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）＝（　　）
A． B．1 C． D．
8．设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（　　）
A．10 B．8 C．3 D．2
9．已知函数f（x）＝x?sinx，x∈R，则及的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．设函数f（x）＝sin，函数f（x）的对称轴为x＝x0，若存在x0满足+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
12．已知定义在R上的函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点（，0）和直线x＝﹣对称，给出下列结论：
①f（）＝；
②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个最值点；
③函数f（x）在（﹣，）上单调递增；
④函数f（x）的最小正周期是2．
其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）
13．2020°是第　 　象限角．
14．已知两个非零向量，不共线，若＝+3，＝6+23，＝4﹣8，且A、B、D三点共线，则λ等于　 　．
15．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣1，则a6等于　 　．
16．当θ取遍所有值时，直线xcosθ+ysinθ＝4+sin（θ+）所围成图形的面积为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知角α的终边过点P（﹣3，4）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若β为第三象限角，且tan，求cos（2α﹣β）的值．
18．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，D为线段BC中点，E为线段AD中点．
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值．
19．已知等差数列{an}，公差d＞0，前n项和为Sn，S3＝6，且满足a3﹣a1，2a2，a8成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn的值．
20．已知O为坐标原点，＝（cosx，1），＝（2cosx，sin2x），x∈R，若f（x）＝．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设g（x）＝f（），求函数y＝g（x）在[，]上的最小值．
21．已知函数f（x）＝b﹣2asin2（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）满足如下条件：
①函数f（x）的最小值为﹣3，最大值为9；
②f（）＝3且f（1）＞0；
③若函数f（x）在区间[m，n]上是单调函数，则n﹣m的最大值为2．
试探究并解决如下问题：
（1）求f（x）的解析式；
（2）设x1，x2是函数f（x）的零点，求tan的取值集合．
22．将函数f（x）＝﹣cos4x的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作g（x）．
（1）在△ABC中，三个内角A，B，C且A＜B＜C，若C角满足g（C）＝﹣1，求cosA+cosB的取值范围；
（2）已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F（x）＝g（x）+λsinx在（0，nπ）内恰有2021个零点，求常数λ与n的值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知a＜0，﹣1＜b＜0，则有（　　）
A．ab2＜ab＜a B．a＜ab＜ab2 C．ab＞b＞ab2 D．ab＞ab2＞a
【分析】根据不等式的性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案．
解：∵a＜0，﹣1＜b＜0，
∴0＜b2＜1，ab＞0，
∴ab2＞a，ab2＜ab，ab＞a，
∴ab＞ab2＞a，
故选：D．
2．下列四式中不能化简为的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由题意得A：，
B：＝，
C：，
D：；由以上可得只有C答案符合题意．
解：由题意得
A：，
B：＝，
C：，所以C不能化简为，
D：，
故选：C．
3．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．
解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°
＝sin20°cos10°+cos20°sin10°
＝sin30°
＝．
故选：D．
4．已知向量、满足||＝1，||═2，向量，的夹角为，则|2﹣|的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【分析】根据条件可求出，从而根据即可求出答案．
解：∵，且，
∴＝．
故选：C．
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝3，a6＝11，则S7＝（　　）
A．91 B． C．98 D．49
【分析】由等差数列的性质求得a1+a7，再代入等差数列的前n项和公式可得．
解：由等差数列的性质可得a1+a7＝a2+a6＝14，
∴S7＝＝＝49．
选：D
6．已知在△ABC中，点M在边BC上，且＝﹣2，点E在边AC上，且＝，则向量＝（　　）
A．+ B．+ C．+ D．+
【分析】作图，根据条件可得＝，＝，再由向量运算法则即可得到答案
解：如图，
因为＝﹣2，所以＝，
因为＝，所以＝，
则＝+＝+＝（﹣）+＝+，
故选：B．
7．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（）＝（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】由函数f（x）的部分图象求得A、T、ω和φ的值，即可写出f（x），进而根据特殊角的三角函数值即可求解．
解：由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝2，T＝﹣，解得T＝4π＝，
∴ω＝；
又f（）＝2sin（+φ）＝2，
可得+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，
∵|φ|＜，
∴可得φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+），
∴f（）＝2sin（×+）＝2sin＝．
故选：D．
8．设x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为（　　）
A．10 B．8 C．3 D．2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z＝2x﹣y得y＝2x﹣z，
平移直线y＝2x﹣z，
由图象可知当直线y＝2x﹣z经过点C时，直线y＝2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即C（5，2）
代入目标函数z＝2x﹣y，
得z＝2×5﹣2＝8．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝x?sinx，x∈R，则及的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】判断函数f（x）＝xsinx是偶函数，推出f（）＝f（），利用导数说明函数在[0，]时，得y′＞0，函数是增函数，从而判断三者的大小．
解：因为y＝xsinx，是偶函数，所以f（）＝f（），
又x∈[0，]时，得y′＝sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，
所以＜f（1）＜
故选：C．
10．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把已知条件根据诱导公式化简，然后把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化简后代入即可求出值．
解：sin（a+）＝sin[﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）＝cos（α﹣）＝，
则＝2cos2（α﹣）﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．
故选：C．
11．设函数f（x）＝sin，函数f（x）的对称轴为x＝x0，若存在x0满足+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】由正弦函数的对称轴，可得x0＝km+m，f（x0）＝±，代入不等式，化为m2（k+）（﹣k）＞3，求得k的范围，取整数k＝﹣1，0，代入不等式，解不等式可得m的范围．
解：由函数f（x）＝sin，函数f（x）的对称轴为x＝x0，
可得＝kπ+，k∈Z，
即有x0＝km+m，f（x0）＝±，
则存在x0满足+[f（x0）]2＜m2，
即为（km+m）2+3＜m2，
化为m2（k+）（﹣k）＞3，
由（k+）（﹣k）＞0，可得
﹣＜k＜，即有整数k＝﹣1，0，
当k＝﹣1，0时，m2＞3，
解得m＞2或m＜﹣2．
故选：C．
12．已知定义在R上的函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）在[1，2]上有且仅有3个零点，其图象关于点（，0）和直线x＝﹣对称，给出下列结论：
①f（）＝；
②函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个最值点；
③函数f（x）在（﹣，）上单调递增；
④函数f（x）的最小正周期是2．
其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先根据条件求得函数的解析式，求解f（）的值判断①；求出函数在[0，1]上的最值点判断②；由复合函数的单调性判断③；求解函数的周期判断④．
解：∵曲线关于点（，0）对称，∴ω+φ＝k1π，k1∈Z．①
又∵其图象关于直线x＝﹣对称，∴﹣ω+φ＝k2π+，k2∈Z．②
由①②可得：ω＝[2（k1﹣k2）﹣1]＝π，即ω＝（2n﹣1）π，n∈Z．③
∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）在[1，2]上有且仅有3个零点，
∴≤2﹣1＜，（ω＞0），即2π≤ω＜4π，④．
由③④可得ω＝3π．
∵f（）＝0，∴+φ＝kπ，又|φ|≤，∴φ＝．
∴f（x）＝sin（3πx+）．
求得f（）＝﹣，故①错误；
令3πx0+＝+kπ，则x0＝+，（k∈Z）．
令0≤+≤1，则可取k＝0，1，2．
∴x0＝，，．
即函数f（x）在[0，1]上有且仅有3个最值点，故②正确；
令﹣+2kπ≤3πx+≤+2kπ?﹣+k≤x≤+k，k∈Z．
当k＝﹣2时，[﹣，﹣]为f（x）的一个递增区间，而（﹣，）?[﹣，﹣]．
∴f（x）在（﹣，）上单调递增，故③正确；
∵f（x）＝sin（3πx+），∴T＝＝，故④错误．
综上所述，其中正确的结论的个数为2个．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分．请将正确答案填在答题卷相应位置．）
13．2020°是第　三　象限角．
【分析】把2020°写成5×360°+220°，可知2020°与220°角的终边相同，则答案可求．
解：∵2020°＝5×360°+220°，
∴2020°与220°角的终边相同，为第三象限角．
故答案为：三．
14．已知两个非零向量，不共线，若＝+3，＝6+23，＝4﹣8，且A、B、D三点共线，则λ等于　2　．
【分析】可求出，根据A，B，D三点共线即可得出，然后根据平面向量基本定理即可求出λ的值．
解：，
∵A，B，D三点共线，
∴设，即，
∴，解得λ＝2．
故答案为：2．
15．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣1，则a6等于　32　．
【分析】根据数列通项公式和前n项和之间的关系求出通项，即可求得结论．
解：因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an﹣1，①
∴a1＝1；
故Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，②
①﹣②得：an＝2an﹣2an﹣1?an＝2an﹣1（n≥2）；
∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列；
∴a6＝1×25＝32．
故答案为：32．
16．当θ取遍所有值时，直线xcosθ+ysinθ＝4+sin（θ+）所围成图形的面积为　16π　．
【分析】根据题意可知，顶点（1，1）到直线的距离为4，所以当θ取遍所有值时，直线所围成的图形为圆心坐标（1，1），半径为4的圆，所以求出面积即可．
解：设点A（a，b），则点A得到直线的距离为d
则d＝，当a＝1，b＝1时，d＝4．根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径得：
这些直线所围成的图形为以（1，1）为圆心，4为半径的圆，所以面积为16π
故答案为16π
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知角α的终边过点P（﹣3，4）．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若β为第三象限角，且tan，求cos（2α﹣β）的值．
【分析】（Ⅰ）首先分别求出sinα，cosα，tanα，然后利用诱导公式化简式子，代入数值计算；
（Ⅱ）由已知β为第三象限角，且tan，求出β的正弦和余弦值，求出2α的正弦和余弦值，利用两角差的余弦公式解答．
解：（Ⅰ）因为角α的终边过点P（﹣3，4），所以sin，cos，tan﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）因为 β为第三象限角，且tan，所以sin，cos．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由（Ⅰ）知，sin2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以cos（2α﹣β）＝cos2αcosβ+sin2αsinβ＝＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
18．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，D为线段BC中点，E为线段AD中点．
（1）求的值；
（2）求，夹角的余弦值．
【分析】（1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可．
（2）求出，的坐标，利用向量的数量积求解两个向量的夹角．
解：（1）依题意可知△ABC为直角三角形，，如图建立坐标系：
则B（0，0），A（0，2），C（，0），因为D为BC的中点，故D（，0）
∴，
∴．
（2）由E为线段AD中点可知E（，1），∴，
∴＝＝＝．
19．已知等差数列{an}，公差d＞0，前n项和为Sn，S3＝6，且满足a3﹣a1，2a2，a8成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn的值．
【分析】（Ⅰ）直接由已知条件列关于首项和公差的方程组，求解后得{an}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{an}的通项代入bn＝，由裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn的值．
解：（Ⅰ）由S3＝6，a3﹣a1，2a2，a8成等比数列，得
，即，
解得：或．
∵d＞0，
∴．
∴an＝a1+（n﹣1）d＝1+1×（n﹣1）＝n；
（Ⅱ）bn＝＝．
∴Tn＝b1+b2+…+bn＝
＝．
20．已知O为坐标原点，＝（cosx，1），＝（2cosx，sin2x），x∈R，若f（x）＝．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设g（x）＝f（），求函数y＝g（x）在[，]上的最小值．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简化简的解析式，然后求解周期与单调区间即可．
（2）化简函数的解析式，通过变量的范围求解函数的最值即可．
解：（1）由题意＝（cosx，1），＝（2cosx，sin2x），x∈R，
所以，
所以函数f（x）的最小正周期为，
由，得，
所以f（x）的单调递增区间为，
（2）由（1）得，∴，
∵，∴，
∴当，即时，g（x）有最小值，
且，
∴函数y＝g（x）在上的最小值为2．
21．已知函数f（x）＝b﹣2asin2（ωx+φ）（a＞0，ω＞0，|φ|＜）满足如下条件：
①函数f（x）的最小值为﹣3，最大值为9；
②f（）＝3且f（1）＞0；
③若函数f（x）在区间[m，n]上是单调函数，则n﹣m的最大值为2．
试探究并解决如下问题：
（1）求f（x）的解析式；
（2）设x1，x2是函数f（x）的零点，求tan的取值集合．
【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，求得f（x）的解析式．
（2）由题意利用正弦函数的图象和性质，求得（x1+x2）的值，可得tan的取值集合．
解：（1）因为a＞0，0≤sin2（ωx+?）≤1，
所以，f（x）max＝b＝9，f（x）min＝b﹣2a＝﹣3，所以b＝9，a＝6．
所以，f（x）＝9﹣12sin2（ωx+φ）＝9﹣6[1﹣cos（2ωx+2φ）]＝3+6cos（2ωx+2φ）．
因为，若f（x）在区间[m，n]上是单调函数，则n﹣m的最大值为2，
所以，所以T＝4，所以，即，
所以．
因为，所以．
因为，所以，或．
∵f（1）＞0，所以，．
所以，f（x）＝6cos（x﹣）+3＝6sin（x﹣）+3．
（2）令f（x）＝0，则，所以，函数f（x）的零点都满足：
，或．
因为x1，x2是函数f（x）的零点，所以，
即．
故的值的集合为．
22．将函数f（x）＝﹣cos4x的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作g（x）．
（1）在△ABC中，三个内角A，B，C且A＜B＜C，若C角满足g（C）＝﹣1，求cosA+cosB的取值范围；
（2）已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F（x）＝g（x）+λsinx在（0，nπ）内恰有2021个零点，求常数λ与n的值．
【分析】（1）首先利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的取值范围．
（2）利用函数的图象和函数的零点的关系进一步进行分类讨论，最后求出参数λ的值和n的值．
解：（1）函数f（x）＝﹣cos4x的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象．
可知g（x）＝cos2x．
因为g（C）＝﹣1，
所以C＝90°，
∴A+B＝90°，
∴cosB＝sinA，
∴．
因为A＜B＜C，
所以，
所以，
∴，
所以cosA+cosB的取值范围为．
（2）依题意，F（x）＝cos2x+λsinx＝﹣2sin2x+λsinx+1，
当λ＝0时，F（x）＝cos2x，则F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数个，
故λ≠0，
令F（x）＝0，t＝sinx∈[﹣1，1]，得2t2﹣λt﹣1＝0，△＝λ2+8＞0，
二次方程2t2﹣λt﹣1＝0必有两不等实根t1、t2，，
则t1、t2异号，
（i）当0＜|t1|＜1且0＜|t2|＜1时，
方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，nπ）（n∈N*）根的个数为偶数个，不合乎题意；
（ii）当t1＝1，则，当x∈（0，2π）时，
关于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，
由于2021＝3×673+2，则n为奇数
则，解得：，由于不是整数，故舍去．
（iii）当t1＝﹣1时，则，当x∈（0，2π）时，
关于x的方程2sin2x﹣λsinx﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，且n为奇数，
，解得n＝1347．
此时，2×（﹣1）2﹣λ×（﹣1）﹣1＝1+λ＝0，得λ＝﹣1．
综上所述：λ＝﹣1，n＝1347．