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第八章 机械能守恒定律
3．动能和动能定理
自
主
探
新
知
预
习
运动
焦耳
状态量
地面
标量
动能的变化
Ek2－Ek1
合外力做的功
代数和
恒力
直线
变力
曲线
×
×
√
×
√
合
作
攻
重
难
探
究
动能、动能定理的理解
动能定理的应用
当
堂
固
双
基
达
标
课
时
分
层
作
业
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(时间：40分钟 分值：100分)
[合格考达标练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．一物体做变速运动时，下列说法中正确的是
( )
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体的加速度可能为零
B [物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周运动，此时物体的动能不变，并无外力对物体做功，故选项A、C均错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合外力一定不为零，故选项B正确，选项D错误．]
2．关于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．某过程中外力的总功等于各力做功的绝对值之和
B．只要合外力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．在物体动能不改变的过程中，动能定理不适用
D．动能定理只适用于受恒力作用而加速运动的过程
B [公式W＝ΔEk中W为合外力做的功，也可以是各力做功的代数和，A错，B对；动能不变，只能说明合外力的总功W＝0，动能定理仍适用，C错；动能定理既适用于恒力做功，也可适用于变力做功，D项错误．]
3．一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为( )
A.mv2
B．－mv2
C.mv2
D．－mv2
A [由动能定理得：WF＝m(－2v)2－mv2＝mv2，A正确．]
4．从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面．忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图象是( )
A B C D
A [小球做竖直上抛运动时，速度v＝v0－gt，根据动能Ek＝mv2得Ek＝m(v0－gt)2，故图象A正确．]
5．将距离沙坑表面上方1
m高处质量为0.2
kg的小球由静止释放，测得小球落入沙坑静止时距离沙坑表面的深度为10
cm.若忽略空气阻力，g取10
m/s2，则小球克服沙坑的阻力所做的功为( )
A．0.4
J
B．2
J
C．2.2
J
D．4
J
C [由动能定理得mg(h＋d)－Wf＝0，解得小球克服沙坑的阻力所做的功为Wf＝2.2
J，故C正确，A、B、D错误．]
6．人在距地面h高处抛出一个质量为m的小球，落地时小球的速度为v，不计空气阻力，人对小球做的功是( )
A.mv2
B．mgh＋mv2
C．mgh－mv2
D.mv2－mgh
D [对全过程运用动能定理得：mgh＋W＝mv2－0，解得：W＝mv2－mgh，故D正确，A、B、C错误．故选D.]
二、非选择题(14分)
7.质量为m＝50
kg的滑雪运动员，以初速度v0＝4
m/s从高度为h＝10
m的弯曲滑道顶端A滑下，到达滑道底端B时的速度v1＝10
m/s.求滑雪运动员在这段滑行过程中克服阻力做的功．(g取10
m/s2)
[解析] 从A运动到B，运动员所受摩擦力随之变化，所以克服摩擦力所做的功不能直接由功的公式求得，此时要根据动能定理求解．
设摩擦力做的功为W，根据动能定理
mgh－W＝mv－mv
代入数值得：W＝2
900
J.
[答案] 2
900
J
[等级考提升练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．如图所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5
m，速度为6
m/s，若物体的质量为1
kg.则下滑过程中物体克服阻力所做的功为(g取10
m/s2)( )
A．50
J
B．18
J C．32
J D．0
J
C [由动能定理得mgh－Wf＝mv2，故Wf＝mgh－mv2＝1×10×5
J－×1×62
J＝32
J，C正确．]
2．(多选)用力F拉着一个物体从空中的a点运动到b点的过程中，重力做功－3
J，拉力F做功8
J，空气阻力做功－0.5
J，则下列判断正确的是( )
A．物体的重力势能增加了3
J
B．物体的重力势能减少了3
J
C．物体的动能增加了4.5
J
D．物体的动能增加了8
J
AC [因为重力做功－3
J，所以重力势能增加3
J，A对，B错；根据动能定理W合＝ΔEk，得ΔEk＝－3
J＋8
J－0.5
J＝4.5
J，C对，D错．]
3．质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为
( )
A.mv－μmg(s＋x)
B.mv－μmgx
C．μmgs
D．μmg(s＋x)
A [由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv，W＝mv－μmg(s＋x)．]
4．如图所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为( )
A.
B.
C.
D.
B [在从A到B的过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得mgh＋Wf＝mv；从B到A过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh－Wf＝mv2，两式联立得再次经过A点的速度大小为，选B.]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(13分)粗糙的1/4圆弧的半径为0.45
m，有一质量为0.2
kg的物体自最高点A从静止开始下滑到圆弧最低点B.然后沿水平面前进0.4
m到达C点停止.
设物体与轨道间的动摩擦因数为0.5(取g＝10
m/s2)，求：
(1)物体到达B点时的速度大小；
(2)物体在圆弧轨道上克服摩擦力所做的功．
[解析] (1)物体从B运动到C的过程，由动能定理得：－μmgx＝0－mv
解得：vB＝2
m/s.
(2)物体从A运动到B的过程，由动能定理得：
mgR－Wf＝mv－0
解得：Wf＝0.5
J.
[答案] (1)2
m/s (2)0.5
J
6．(13分)如图所示，粗糙水平轨道AB与半径为R的光滑半圆形轨道BC相切于B点，现有质量为m的小球(可看成质点)以初速度v0＝，从A点开始向右运动，并进入半圆形轨道，若小球恰好能到达半圆形轨道的最高点C，最终又落于水平轨道上的A处，重力加速度为g，求：
(1)小球落到水平轨道上的A点时速度的大小vA；
(2)水平轨道与小球间的动摩擦因数μ.
[解析] (1)mg＝m，得vC＝，从C到A由动能定理得：mg·2R＝mv－mv，得vA＝.
(2)AB的距离为xAB＝vCt＝×＝2R
从A出发回到A由动能定理得：－μmgxAB＝mv－mv，得μ＝0.25.
[答案] (1) (2)0.25
23．动能和动能定理
【学习素养·明目标】 科学观念：1.知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能.2.能运用牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义.3.能应用动能定理解决简单的问题．
科学思维：1.通过动能定理的推导，培养科学思维能力.2.通过动能定理的应用，培养逻辑思维能力和综合分析问题的能力．
一、动能的表达式
1．定义
物体由于运动而具有的能量．
2．表达式
Ek＝mv2.
3．单位
与功的单位相同，国际单位为焦耳．
1
J＝1
kg·m2·s－2.
4．物理量特点
(1)具有瞬时性，是状态量．
(2)具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能．
(3)是标量，没有方向，Ek≥0.
二、动能定理
1．动能定理的内容
力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．动能定理的表达式
(1)W＝mv－mv.
(2)W＝Ek2－Ek1.
说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和．
3．动能定理的适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)速度大的物体动能也大．
(×)
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍．
(×)
(3)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．
(√)
(4)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零．
(×)
(5)物体的动能增加，合外力做正功．
(√)
2．在水平路面上，有一辆以36
km/h行驶的客车，在车厢后座有一位乘客甲，把一个质量为4
kg的行李以相对客车5
m/s的速度抛给前方座位的另一位乘客乙，则行李的动能是( )
A．500
J
B．200
J
C．450
J
D．900
J
C [行李相对地面的速度v＝v车＋v相对＝15
m/s，所以行李的动能Ek＝mv2＝450
J，选项C正确．]
3．(多选)一物体在运动过程中，重力做了－2
J的功，合力做了4
J的功，则( )
A．该物体动能减少，减少量等于4
J
B．该物体动能增加，增加量等于4
J
C．该物体重力势能减少，减少量等于2
J
D．该物体重力势能增加，增加量等于2
J
BD [重力做负功，重力势能增加，增加量等于克服重力做的功，选项C错误，选项D正确；根据动能定理得该物体动能增加，增加量为4
J，选项A错误，选项B正确．]
动能、动能定理的理解
[观察探究]
如图所示，一辆汽车正在上坡路上加速行驶．
(1)汽车上坡过程受哪些力作用？各个力做什么功？
(2)汽车的动能怎样变化？其动能的变化与各个力做功有什么关系？
提示：(1)汽车受重力、支持力、牵引力及路面的阻力作用，上坡过程中牵引力做正功，重力、阻力做负功，支持力不做功．
(2)由于汽车加速上坡，其动能增大，汽车动能的变化等于重力、牵引力及路面的阻力三个力做功的代数和．
[探究归纳]
1．动能的特征
(1)是状态量：与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应．
(2)具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系．
(3)是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．
2．动能的变化
(1)ΔEk＝mv－mv为物体动能的变化量，也称作物体动能的增量，表示物体动能变化的大小．
(2)动能变化的原因
合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做了多少功来度量．
3．对动能定理的理解
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功．
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系．
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功．
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量．
【例1】 下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是( )
A．如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B．如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C．物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D．物体的动能不变，所受合力一定为0
A [由功的定义可知，选项A正确；如果合力做的功为0，但合力不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直而不做功，选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变，所以，做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错误；物体动能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项D错误．]
1动能与速度的变化关系：动能是标量，速度是矢量，当动能发生变化时，物体的速度大小一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变.
2合力的功与动能变化的关系：合力做功不为零，合力一定不为零，物体的动能一定发生变化，速度大小一定变化；合力做功为零，物体的动能一定不发生变化，但速度大小不变，方向可发生变化.
1．有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
A．木块所受的合力为零
B．因木块所受的力对其都不做功，所以合力做功为零
C．重力和摩擦力的合力做的功为零
D．重力和摩擦力的合力为零
C [物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误．]
2.如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度，木箱获得的动能一定( )
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
A [受力分析，找到能影响动能变化的是那几个物理量，然后观测这几个物理量的变化即可．木箱受力如图所示，
木箱在移动的过程中有两个力做功，拉力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可知即：WF－Wf＝mv2－0，所以动能小于拉力做的功，故A正确，B错误；无法比较动能与摩擦力做功的大小，C、D错误．故选A.]
动能定理的应用
[要点归纳]
1．应用动能定理解题的步骤
(1)确定研究对象和研究过程(研究对象一般为单个物体或相对静止的物体组成的系统)．
(2)对研究对象进行受力分析(注意哪些力做功或不做功)．
(3)确定合外力对物体做的功(注意功的正负)．
(4)确定物体的初、末动能(注意动能增量是末动能减初动能)．
(5)根据动能定理列式、求解．
2．动力学问题两种解法的比较
牛顿运动定律运动学公式结合法
动能定理
适用条件
只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况
对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用
应用方法
要考虑运动过程的每一个细节
只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能
运算方法
矢量运算
代数运算
相同点
确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析
【例2】 质量M＝6.0×103
kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102
m时，达到起飞速度v＝60
m/s.求：
(1)起飞时飞机的动能多大？
(2)若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大？
(3)若滑行过程中受到的平均阻力大小为F＝3.0×103
N，牵引力与第(2)问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大？
[解析] (1)飞机起飞时的动能Ek＝Mv2
代入数值得Ek＝1.08×107
J.
(2)设牵引力为F1，由动能定理得
F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104
N.
(3)设滑行距离为l′，由动能定理得
F1l′－Fl′＝Ek－0
整理得l′＝
代入数值，得l′＝9.0×102
m.
[答案] (1)1.08×107
J (2)1.5×104
N (3)9.0×102
m
应用动能定理时注意的四个问题
(1)动能定理中各量是针对同一惯性参考系而言的(一般选取地面为参考系)．
(2)若物体运动的过程包含几个不同的阶段，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以将全过程作为一个整体来处理．
(3)在求总功时，若各力不同时对物体做功，W应为各阶段各力做功的代数和．在利用动能定理列方程时，还应注意各力做功的正、负或合力做功的正、负．
(4)对于受力情况复杂的问题要避免把某个力的功当作合力的功，对于多过程问题要防止“漏功”或“添功”．
3．某人把质量为0.1
kg的一块小石头，从距地面为5
m的高处以60°角斜向上抛出，抛出时的初速度大小为10
m/s，则当石头着地时，其速度大小约为(g取10
m/s2，不计空气阻力)( )
A．14
m/s
B．12
m/s
C．28
m/s
D．20
m/s
A [由动能定理，重力对石头所做的功等于石头动能的变化，则mgh＝mv－mv，v2＝＝10
m/s≈14
m/s，A正确．]
4．如图所示，AB为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道的B点与水平地面相切，其半径为R.质量为m的小球由A点静止释放，求：
(1)小球滑到最低点B时，小球速度v的大小；
(2)小球通过光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰到达最高点D，D到地面的高度为h(已知h＜R)，则小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf.
[解析] (1)小球从A滑到B的过程中，
由动能定理得：mgR＝mv－0
解得：vB＝.
(2)从A到D的过程，由动能定理可得：
mg(R－h)－Wf＝0－0，
解得克服摩擦力做的功Wf＝mg(R－h)．
[答案] (1) (2)mg(R－h)
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.物体由于运动而具有的能量叫作动能，表达式为Ek＝mv2.动能是标量，具有相对性．2．力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，这个结论叫动能定理，表达式为W＝Ek2－Ek1.3．如果物体同时受到几个力的共同作用，则W为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．4．动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动.
1．(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A．一般情况下，Ek＝mv2中的v是相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关
C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等、方向相反
D．当物体以不变的速率做曲线运动时其动能不断变化
AB [动能是标量，由物体的质量和速率决定，与物体的运动方向无关．动能具有相对性，无特别说明，一般指相对于地面的动能．选A、B.]
2．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
BC [由功的公式W＝Flcos
α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误，B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误．]
3．一人用力踢质量为1
kg的静止足球，使足球以10
m/s的水平速度飞出，设人踢足球的平均作用力为200
N，足球在水平方向滚动的距离为20
m，则人对足球做的功为(g取10
m/s2)( )
A．50
J
B．200
J
C．4
000
J
D．6
000
J
A [人对足球做功的过程只是在踢球的瞬间，球在空中飞行以及在地面上滚动的过程中，都不是人在做功，所以人对足球做功的过程就是足球获得动能的过程．根据动能定义Ek＝mv2得，人对足球做的功为50
J．]
4．甲、乙两车汽车的质量之比m1∶m2＝2∶1，它们刹车时的初动能相同，若它们与水平地面之间的动摩擦因数相同，则它们滑行的距离之比s1∶s2等于( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶4
D．4∶1
B [对两辆汽车由动能定理得：－μm1gs1＝0－Ek，－μm2gs2＝0－Ek，s1∶s2＝m2∶m1＝1∶2，B正确．]
2
