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第八章 机械能守恒定律
章末复习课
巩
固
知
识
整
层
合
Flcos
θ
受力
位移
阻力
Fv
牵引力
Ek2－Ek1
高度差
mg·Δh
Ep1－Ep2
合力
Ek2＋Ep2
－ΔEp
－ΔEB
重力
弹力
产生
消失
转化
保持不变
提
升
能
力
强
层
化
功的正负的判断与计算
动力学方法和能量观点的综合运用
八种常见功能关系的理解
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答案
解析答案
专题2
专题3
谢谢次赏
谢谢赏[体系构建]
[核心速填]
1．功
(1)做功的两个必备条件：物体受力及在力的方向上发生位移．
(2)恒力做功的表达式：W＝Flcos
θ.
2．功率
(1)功率的两个计算式：P＝和P＝Fv.
(2)机车启动问题
①发动机功率P＝Fv中的F指的是牵引力．
②汽车匀速时的速度v＝，其中Ff是汽车所受到的阻力．
3．重力做功与重力势能
(1)重力做功的特点：与运动路径无关，只与初、末位置的高度差有关，表达式：WG＝mg·Δh.
(2)重力做功与重力势能的关系：WG＝Ep1－Ep2.
4．动能定理：合力做的功等于物体动能的增加量，表达式为W合＝Ek2－Ek1.
5．机械能守恒定律
(1)三种表达式
①Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2.
②ΔEk＝－ΔEp.
③ΔEA＝－ΔEB.
(2)守恒条件：只有重力或弹力做功．
6．能量守恒定律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
功的正负的判断与计算
1.功的正、负的判断
(1)根据公式W＝Flcos
θ的计算结果来判断．
(2)利用速度与力的方向的夹角θ来判断：θ＜90°，力做正功；θ＞90°，力做负功．
(3)利用功能关系来判断：每种能量的变化都对应于某种力或某些力做功，可以根据这些能量的变化，来确定力做正功还是负功．
2．功的计算
(1)根据定义式求功
若恒力做功，可用定义式W＝Flcos
α求恒力的功，其中F、l为力的大小和位移的大小，α为力F与位移l方向之间的夹角，且0°≤α≤180°.
(2)利用功率求功
若某力做功或发动机的功率P一定，则在时间t内做的功为W＝Pt.
(3)根据功能关系求功
根据以上功能关系，若能求出某种能量的变化，就可以求出相应的功．
【例1】 一质量为
kg的物体放在水平地面上，如图甲所示，已知物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图乙所示，物体相应的速度v随时间t的变化关系如图丙所示．求：
(1)0～6
s内合力做的功；
(2)前10
s内，拉力和摩擦力所做的功．
[解析] (1)由v?t图象可知物体初速度为零，6
s末的速度为3
m/s，根据动能定理：W＝mv2－0，故合力做的功W＝××32
J＝6
J.
(2)由图丙知物体在2～6
s、6～8
s内的位移分别为x1＝6
m、x2＝6
m，故前10
s内拉力做的功：
W1＝F1x1＋F2x2＝3×6
J＋2×6
J＝30
J.
由图丙知，在6～8
s时间内，物体做匀速运动，故摩擦力Ff＝2
N．根据v?t图象知在10
s内物体的总位移：x′＝×3
m＝15
m
所以WFf＝－Ffx′＝－2×15
J＝－30
J.
[答案] (1)6
J (2)30
J －30
J
1．如图所示，A、B叠放在一起，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B向右移，用F′、FAB和FBA分别表示绳对A的拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则( )
A．F做正功，FAB做负功，FBA做正功，F′不做功
B．F和FBA做正功，FAB和F′做负功
C．F做正功，其他力都不做功
D．F做正功，FAB做负功，FBA和F′不做功
D [由于A不动，所以绳子的拉力不做功，B对A的摩擦力也不做功．由于B向右运动，故F做正功，A对B的摩擦力做负功．]
动力学方法和能量观点的综合运用
1.动力学方法：利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问题．
2．能量的观点：利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律以及一些功能关系求解力学问题．
3．应用技巧
涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律．
(1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律．
(2)用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观点．
(3)涉及动能与势能的相互转化，单个物体或系统机械能守恒问题时，通常选用机械能守恒定律．
【例2】 如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上．已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5倍，即k＝＝0.5，赛车的质量m＝0.4
kg，通电后赛车的电动机以额定功率P＝2
W工作，轨道AB的长度L＝2
m，圆形轨道的半径R＝0.5
m，空气阻力可以忽略，取重力加速度g＝10
m/s2.某次比赛，要求赛车在运动过程上既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短．在此条件下．求：
(1)赛车在CD轨道上运动的最短路程；
(2)赛车电动机工作的时间．
[解析] (1)要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短，则赛车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力：mg＝m.
赛车在C点的速度为vC，由机械能守恒定律可得：
mg·2R＋mv＝mv
由上述两式联立，代入数据可得：
vC＝5
m/s
设赛车在CD轨道上运动的最短路程为x，
由动能定理可得：－kmgx＝0－mv
代入数据可得：x＝2.5
m
(2)由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：
vB＝vC＝5
m/s，从A点到B点的运动过程中，由能量守恒定律可得：
Pt＝kmgL＋mv
代入数据可得：t＝4.5
s.
[答案] (1)2.5
m (2)4.5
s
2．如图所示，半径为R的竖直光滑半圆形轨道BC与光滑水平地面AB相切于B点，弹簧左端固定在竖直墙壁上，用一质量为m的小球紧靠弹簧并向左压缩弹簧，已知弹簧在弹性限度内，现由静止开始释放小球，小球恰好能沿轨道通过半圆形轨道的最高点C，求：
(1)释放小球瞬间弹簧的弹性势能；
(2)小球离开C点后第一次落地点与B点的距离．
[解析] (1)小球恰好能通过最高点C，设通过C点的速度为vC，则：
mg＝m，得vC＝
小球从A到C的过程中，设所求弹簧的弹性势能为Ep，由机械能守恒定律可得：
Ep＝mv＋mg·2R
解得Ep＝mgR.
(2)小球从C点抛出后做平抛运动，设小球的落地点与B的水平距离为s，则
2R＝gt2
s＝vCt
联立解得s＝2R.
[答案] (1)mgR (2)2R
八种常见功能关系的理解
功能关系
表达式
物理意义
正功、负功含义
重力做功与重力势能
W＝－ΔEp
重力做功是重力势能变化的原因
W＞0
势能减少
W＜0
势能增加
W＝0
势能不变
弹簧弹力做功与弹性势能
W＝－ΔEp
弹力做功是弹性势能变化的原因
W＞0
势能减少
W＜0
势能增加
W＝0
势能不变
合力做功与动能
W＝ΔEk
合外力做功是物体动能变化的原因
W＞0
动能增加
W＜0
动能减少
W＝0
动能不变
除重力或系统内弹力外其他力做功与机械能
W＝ΔE
除重力或系统内弹力外其他力做功是机械能变化的原因
W＞0
机械能增加
W＜0
机械能减少
W＝0
机械能守恒
【例3】 (多选)如图所示，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是( )
A．运动员的重力势能减少了mgh
B．运动员克服阻力所做的功为mgh
C．运动员的动能增加了mgh
D．运动员的机械能减少了mgh
CD [在运动员下落h的过程中，重力势能减少了mgh，故A错误．根据牛顿第二定律得，物体所受的合力为F合＝ma＝mg，则根据动能定理得，合力做功为mgh，则动能增加了mgh，故C正确．合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则克服阻力做功为mgh，故B错误；重力势能减少了mgh，动能增加了mgh，故机械能减少了mgh，故D正确．]
[一语通关]
应用功能关系解题的步骤
(1)明确研究对象，研究对象是一个物体或是几个物体组成的系统．
(2)隔离研究对象，分析哪些力对它做功，它的哪些能量发生变化．
(3)根据能量的变化类型确定用哪一类功能关系去求解．
(4)根据相应的功能关系列方程、求解．
3．如图所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )
A．运动员减少的重力势能全部转化为动能
B．运动员获得的动能为mgh
C．运动员克服摩擦力做功为mgh
D．下滑过程中系统减少的机械能为mgh
D [运动员的加速度为g，小于gsin
30°，所以必受摩擦力的作用，且大小为mg，克服摩擦力做功为mg·＝mgh，故C错误；摩擦力做功，机械能不守恒，减少的势能没有全部转化为动能，而是有mgh转化为内能，故A错误，D正确；由动能定理知，运动员获得的动能为mg·＝mgh，故B错误．]
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