(共44张PPT)
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
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1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
2．会判断四种命题的真假．
3．利用命题真假的等价性解决简单问题．
观察下列四个命题：
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若四边形是圆内接四边形，则该四边形的对角互补；
(3)若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形；
(4)若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补．
命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
[提示] 命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
四种命题
栏目
内容
名称
定义
表示形式
互逆命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的_____和______，那么这样的两个命题叫做___________．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的________
原命题为“若p，则q”；逆命题为“_____________”
结论
条件
互逆命题
逆命题
若q，则p
互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________和_______
_______，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的_________
原命题为“若p，则q”；否命题为“
_
___________”
互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的___________和__________，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的____________
原命题为“若p，则q”；逆否命题为“________________”
条件的否定
结论的
否定
否命题
若?p，则?q
结论的否定
条件的否定
逆否命题
若?q，
则?p
四种命题之间的相互关系
1．“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”“否命题”“逆否命题”的区别
两者具有不同的含义，具体区分如下：
前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题．
2．判断四种命题间关系的方法
(1)利用命题定义；
(2)可以从名称上缺少的“逆、否”两字来判断．
如“逆命题”与“逆否命题”，不同在“否”字，是互否关系，“逆命题”与“否命题”，不同在“逆、否”两字，是互为逆否命题关系．
四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
四种命题的真假性
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
___
___
真
假
___
___
假
真
___
___
假
假
___
___
真
真
假
真
真
假
假
假
四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析： 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案： B
2．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的( )
A．原命题
B．逆命题
C．否命题
D．逆否命题
解析： 设p为原命题，则q为否命题，r是逆否命题；所以r是p的逆命题的否命题．
答案： C
3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．
解析： 两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．
答案： 互逆
4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于该平面；
(2)若x>10，则x>0.
解析： (1)逆命题：若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的两条相交直线，为真命题；
否命题：若直线不垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线不垂直于平面，为真命题；
逆否命题：若直线不垂直于平面，则这条直线不垂直于平面内的两条相交直线，为真命题．
(2)逆命题：若x>0，则x>10，为假命题；
否命题：若x≤10，则x≤0，为假命题；
逆否命题：若x≤0，则x≤10，为真命题.
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命题的四种形式
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0;
(3)若x∈A，则x∈(A∩B)．
[思路点拨]
(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，假命题．
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，假命题．
(3)逆命题：若x∈(A∩B)，则x∈A.真命题；
否命题：若x?A，则x?(A∩B)．真命题；
逆否命题：若x?(A∩B)，则x?A.假命题．
(1)逆命题的写法
给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题．
(2)写原命题的否命题的步骤
①找出原命题的条件和结论；
②对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论；
③所得命题即为原命题的否命题．
(3)逆否命题的两种写法
①先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题；
②先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题．
1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若a＝b，则a2＝b2；
(2)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.
解析： (1)逆命题：若a2＝b2，则a＝b.
否命题为：若a≠b，则a2≠b2.
逆否命题为：若a2≠b2，则a≠b.
(2)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.
四种命题真假的判断
设命题为“如果m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根”试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断其真假．
[思路点拨] 利用四个命题的关系给出其他三种形式，对每一个命题判断即可．
四种命题的真假判断的两种方法
(1)利用命题真假判断的方法判断．
(2)由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆(否)命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成．
解析： ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题；
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题；
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程无实根，
答案： B
逆否命题的应用
证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明：证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)4分
若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
6分
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)10分
∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题.
11分
∴原命题为真命题.
12分
证法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
2分
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)6分
∴f(a)＋f(b)9分
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾.
11分
因此假设不成立，故a＋b≥0.
12分
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
3．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解析： 方法一：原命题的逆否命题：
已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点，
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真．
写出命题“若x2＋y2＝0，则
x，y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【错解】 逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0，是真命题；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y全不为0，是假命题；
逆否命题：若x，y全不为0，则x2＋y2≠0，是真命题．
【错因】 错解主要是对原命题中结论的否定错误．对“x，y全为0”的否定，应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0”．
【正解】 逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0，是真命题；
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0，是真命题；
逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0，是真命题.
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第
一
章
常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
自主学习
新知突破
1．了解命题的概念．
2．会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式．
3．会判断一些简单命题的真假．
[问题1] 哪几个语句是陈述句？
[提示1] ②⑦⑧
[问题2] 哪几个语句判断为真？
[提示2] ②⑧
[问题3] 哪几个语句判断为假？
[提示3] ⑦
命题的概念
判断一个语句是不是命题的依据
(1)并不是任何语句都是命题．要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断真假．一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
(2)数学中的定义、公理、定理、公式等都是命题．
一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫做命题的______，q叫做命题的______，也就是说，命题由_______和______两部分组成．
命题的结构
条件
结论
条件
结论
对命题的结构形式的理解
任何一个命题都有条件和结论，尽管有些命题的条件不明显，但都可以写成“若p，则q”的形式．
1．下列语句不是命题的是( )
A．0不是自然数
B．5＞2
C．对顶角相等吗？
D．地球是太阳的一个行星
解析： A，B，D中语句都是命题，C中语句不是陈述句，故不是命题．
答案： C
答案： A
3．下列语句中是命题的有________．
①“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？”；②“一个数不是正数就是负数”；③“大角所对的边大于小角所对的边”；④“x＋y为有理数，则x，y也都是有理数”．
答案： ②③④
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命题的判断
判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)一个实数不是正数就是负数；
(2)这是一条大河；
(3)今年北方还有大雪吗？
(4)作△ABC≌△A′B′C′；
(5)0是集合{0,1,2,3}的元素．
[思路点拨] 判断一个语句是不是命题，就是看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．
解析：
题号
是否为命题
原因分析
(1)
是命题
是陈述句，并且可以判断真假
(2)
不是命题
虽是陈述句，但无法判断其真假，故不是命题
(3)
不是命题
是疑问句，不是陈述句，因此不是命题
(4)
不是命题
是祈使句，不是陈述句，因此不是命题
(5)
是命题
是陈述句，并且可以判断真假
判断一个语句是不是命题，首先观察其句型是否为陈述句，其次看它是否能判断真假．
1．判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)风景这边独好．
(2)让我们尽情享受寒假吧！
(3)函数f(x)＝x3是R上的奇函数．
(4)火星上有水．
解析： (1)是陈述句，但不能判断真假，故不是命题．
(2)是祈使句，故不是命题．
(3)(4)是陈述句，能判断真假，是命题．
答案： (3)(4)
命题真假的判断
判断下列命题的真假：
(1)一个数的算术平方根一定是正数；
(2)若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行；
(3)若G2＝ab，则a，G，b成等比数列；
(4)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(5)平行四边形的对角线互相平分．
(1)是假命题．因为一个数的算术平方根为非负数．
(2)是假命题．直线l与平面α可以相交．
(3)是假命题．原因是当G＝a＝0时，a，G，b不是等比数列．
(4)是假命题．当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一个实根．
(5)是真命题．若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．
2．给出下列几个命题：
(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
(2)若a>b，则a2>b2；
(3)若x>－3，则x2＋x－6≤0；
(4)若a，b是无理数，则ab也是无理数．
其中的真命题有________个．
答案： 1
改写命题的结构形式
把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)对角线相等的平行四边形是矩形；
(4)当ac＞bc时，a＞b.
[思路点拨] 本题所给的命题都不具备“若p，则q”的形式，解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．
(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.
2分
这个命题是真命题.
3分
(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.
5分
这个命题是假命题.
6分
(3)命题“对角线相等的平行四边形是矩形”，即“若一个平行四边形的对角线相等，则该平行四边形是矩形”．条件p：一个平行四边形的对角线相等，结论q：该平行四边形是矩形.
8分
真命题.
9分
(4)若ac＞bc，则a>b，假命题.
12分
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则
3．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解析： (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
【正解】 (1)假命题；(2)真命题.
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