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第
二
章
圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
自主学习
新知突破
1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程．
2．了解椭圆的标准方程的推导及简化过程．
3．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是数学中的0，还是字母中的O，我们都能看到椭圆的踪影．外表上看起来并不完美的椭圆，因为有了故事，有了情景，反而显得唯美，令人心动．
满足什么条件的点的轨迹是椭圆呢？
[提示] 到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是椭圆．
椭圆的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的__________________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆
焦点
两个______叫做椭圆的焦点
焦距
两焦点间的______叫做椭圆的焦距
集合语言
P＝{M||___________________,2a>|F1F2|}
距离之和等于定值
定点
距离
MF1|＋|MF2|＝2a
对椭圆定义的理解
椭圆的定义揭示了椭圆的本质，定义是判断动点轨迹是不是椭圆的重要依据．设集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c均为大于0的常数．
当2a>2c时，集合P为椭圆；
当2a＝2c时，集合P为线段F1F2；
当2a<2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在．
椭圆的标准方程
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
____________________
___________________
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a，b，c的关系
a2＝__________
b2＋c2
对椭圆标准方程的三点认识
(1)标准的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
(2)标准的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．
(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2.
答案： D
答案： B
答案： (－6，－2)∪(3，＋∞)
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椭圆的定义及应用
下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
[思路点拨] 椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．
答案： C
并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭圆，只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆．
1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A，B是椭圆的焦点．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析： 当2a>|F1F2|时是椭圆，当2a＝|F1F2|时是线段，当2a<|F1F2|时无轨迹，所以选B.
答案： B
求椭圆的标准方程
(1)求椭圆标准方程的一般步骤为：
椭圆的定义与标准方程的综合应用
在解答解析几何的习题时，要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题综合运用了余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．
3．已知F1，F2是椭圆9x2＋25y2＝225的左，右焦点．点P是椭圆上一点，且其横坐标为2，求|PF1|与|PF2|.
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第2课时 椭圆方程及性质的应用
自主学习
新知突破
1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．
2．掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题．
[问题1] 我们知道直线与圆的位置关系有相离，相切、相交，当直线与圆没有公共点时相离，当直线与圆有一个公共点时相切，当直线与圆有两个公共点时相交，那么直线与椭圆的位置关系有哪些？
[提示1] 相离、相切、相交．
[问题2] 由直线方程与圆的方程联立消去y得到关于x的方程．当Δ＝0时，直线与圆相切，当Δ>0时，直线与圆相交，当Δ<0时，直线与圆相离．那么能否利用同样的方法判断直线与椭圆的位置关系呢？
[提示2] 能．
点与椭圆、直线与椭圆的位置关系
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
___解
Δ
___
0
相切
___解
Δ
___
0
相离
___解
Δ
___
0
两
一
无
>
＝
<
直线与椭圆位置关系及判定方法的理解
(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，由于该一元二次方程有无实数解，有几个与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．
答案： D
答案： C
3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长|AB|＝________.
∵m>0，∴5k2≥1－m恒成立，
∴1－m≤0，即m≥1.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴0∴1≤m<5.
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直线与椭圆的位置关系问题
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到关于x或y的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则
(1)直线与椭圆相交?Δ>0；(2)直线与椭圆相切?Δ＝0；
(3)直线与椭圆相离?Δ<0.
中点弦问题
方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(
)
弦长问题
[思路点拨] (1)建立关于a，b的方程组求出a，b即可．
(2)设出直线方程y＝k(x＋2)，联立方程组，消元整理成关于x的一元二次方程，由根与系数的关系以及弦长问题求解．
【错因】 设直线l的方程时，没考虑直线l的斜率可能不存在．
设直线l的方程时，应分类讨论，按斜率不存在和存在两种情况设置，进而求出直线方程．
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2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
自主学习
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1．通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质．
2．了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响．
中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先被送入一个椭圆形地球同步轨迹，在第16小时时它的轨迹是：近地点200
km，远地点5
100
km，地球半径约为6
371
km.
[问题1] 此时长轴长是多少？
[问题2] 此时椭圆的离心率为多少？
标准方程
___________________
__________________
图形
范围
__________________________
_________________
顶点
____________________
_____________________
椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
(±a,0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b,0)
轴长
短轴长＝_____，长轴长＝_____
焦点
________
________
焦距
|F1F2|＝________
对称性
对称轴：________，对称中心：__________
离心率
e＝______∈_______
2b
2a
(±c,0)
(0，±c)
坐标轴
坐标原点
(0,1)
1．下列各点是椭圆x2＋2y2＝2的顶点的是( )
A．(2,0)
B．(0,2)
C．(1,0)
D．(0,1)
答案： D
答案： A
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由方程确定椭圆的性质
已知椭圆的方程为4x2＋9y2＝36.
(1)求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长以及离心率；
(2)结合椭圆的对称性，运用描点法画出这个椭圆．
(1)求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
(2)本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
由椭圆的简单几何性质求方程
求椭圆的离心率
3．(1)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．
(2)已知椭圆的两个焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．
(2)不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．
由AF1⊥AF2知，△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.
【错因】 仅根据椭圆的离心率不能确定焦点的位置，而上述解法默认为焦点在x轴上，而没有对焦点的位置进行讨论．
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