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2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
自主学习
新知突破
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2．掌握双曲线的标准方程．
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里流域执行护航任务．
某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1
600
m的“千岛湖”舰，3
s后也监听到了该马达声(声速为340
m/s)．
[问题] 把快艇作为一个动点，那么它的轨迹是什么呢？
[提示] 它的轨迹是双曲线的一支．
双曲线的定义
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________
________的点的轨迹叫做双曲线
焦点
_______________叫做双曲线的焦点
焦距
_____的距离叫做双曲线的焦距
集合语言
P＝{M|___________________,0<2a<|F1F2|}
差的绝对值
是常数
两个定点F1，F2
|F1F2|
||MF1|－|MF2||＝2a
双曲线的标准方程
a2＋b2
双曲线标准方程的形式特点
(1)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a>0，b>0，但a，b的大小不确定．
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
答案： A
答案： D
答案： 4
4．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)．
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双曲线定义的应用
[思路点拨] 条件中给出了角的关系，根据正弦定理，将角的关系转化为边的关系．由于A，B可视为定点，且|AB|＝4，从而可考虑用定义法求轨迹方程．
解析： 如图所示，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则
在利用双曲线定义解题时注意对定义中“绝对值”的理解，以免解题时出现片面性．
当P满足0<|PF1|－|PF2|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF2|－|PF1|<|F1F2|时，点P的轨迹是双曲线的另一支；当|PF1|－|PF2|＝±|F1F2|时，点P的轨迹是两条射线．||PF1|－|PF2||不可能大于|F1F2|.
1．若一个动点P(x，y)到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0)，试讨论点P的轨迹方程．
解析： 因为|F1F2|＝2，
(1)当a＝2时，轨迹是两条射线y＝0(x≥1)或y＝0(x≤－1)；
(2)当a＝0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线，即y轴，方程为x＝0；
求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程的常用方法：
(1)定义法，若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程．
(2)用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
双曲线中的焦点三角形问题
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．
【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8，
所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
因为|F1F2|＝12，
当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，
不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．
所以|PF2|＝17.
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2.2.2 双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
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新知突破
1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近性，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．
1．类比椭圆的简单几何性质，你知道双曲线的对称轴、对称中心是什么？
[提示] 双曲线的对称轴为x轴，y轴，对称中心是原点．
2．双曲线的顶点，离心率是什么？
双曲线的几何性质
性质
焦点
_________
________
焦距
____
范围
____________
____________
对称性
___________________________________
顶点
______
______
轴长
实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率
e＝_____∈(1，＋∞)
渐近线
___________
_____________
(±c,0)
(0，±c)
2c
x≥a或x≤－a
y≥a或y≤－a
关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称
(±a,0)
(0，±a)
2a
2b
答案： A
答案： D
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已知双曲线方程求其几何性质
求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．
1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．
由双曲线的几何性质求标准方程
[思路点拨] (1)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
(2)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程．
(1)由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，其步骤为：
求双曲线的离心率
答案： (1)2
【错因】 忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<0，故应有a－b＝－2.
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第2课时 双曲线方程及性质的应用
自主学习
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1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．
2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．
舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°，且与B相距4千米处，它们准备围捕海洋动物．某时刻A发现动物信号.4秒后B，C同时发现这种信号，设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1千米/秒，确定海洋动物的位置．
直线与双曲线的位置关系及判定
位置关系
公共点个数
判定方法
相交
____________
______________________
相切
_____
____________________
相离
_____
____________________
2个或1个
1个
m≠0且Δ＝0
0个
m≠0且Δ<0
弦长公式
答案： B
答案： D
3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围为________．
答案： a≥1
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直线与双曲线的位置关系问题
已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；
(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．
[思路点拨] 直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解．两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根．
直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题：
直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：
(1)直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；
(2)直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分．故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．
特别提醒：不能单纯使用Δ来判定直线与双曲线的位置关系，要看二次项系数能否为零．
1．例题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k的值．
中点弦
已知双曲线方程为
2x2－y2＝2.
(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
(1)与弦中点有关的问题：
①中点弦所在直线方程问题，如本例；
②弦中点轨迹问题．
(2)如何处理弦中点问题？
①第(1)问，用待定系数法．设直线方程，与双曲线方程联立解方程组，化为一元二次方程后，据根与系数关系(不须求出方程的根)，结合中点坐标公式，求出待定系数，这也是解决直线与曲线位置的关系问题常用方法；
弦长问题
已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
[思路点拨] 解答本题可先求出直线l的方程，再与双曲线联立，消元，利用方程的判别式和弦长公式求解．
试根据直线l：y＝k(x－1)与双曲线x2－y2＝4的位置关系，讨论实数k的取值范围．
【错因】 二元方程组化为一元方程后，没有讨论x2项的系数1－k2＝0和1－k2≠0两种情况，导致所求范围不完全．
通过解方程组讨论直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系时，一定要讨论x2项的系数可能为零的情况，关注其对整个题目的影响．
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