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第2课时 抛物线方程及性质的应用
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1．明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．
2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题．
直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？
[提示] 不对．直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行．
直线与抛物线的位置关系及判断
一个或2个
一个
0个
有关弦长问题
x1＋x2＋p
对抛物线的焦半径与焦点弦的认识
抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决，设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：
1．过点(0，－1)的直线与抛物线x2＝－2y公共点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．1或2
解析： 因为点(0，－1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1个或2个．
答案： D
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A．4p
B．5p
C．6p
D．8p
解析： 由题意线段PQ即为焦点弦，
∴|PQ|＝x1＋x2＋p.
∵x1＋x2＝3p，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.
答案： A
4．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长．
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直线与抛物线位置关系问题
当k为何值时，直线y＝kx＋k－2与抛物线y2＝4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？
直线与抛物线的位置关系的研究方法
研究直线与抛物线的位置关系，通常用代数法，即研究直线与抛物线有无公共点的问题就是由它们的方程组成的方程组有无实数解的问题，方程组有几组实数解，它们就有几个公共点；方程组没有实数解，它们就没有公共点，其中，当直线与抛物线只有一个公共点时，有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切，反映在代数上是一元二次方程的两根相等(根的判别式Δ＝0)．
特别提醒：对于Δ的使用，应注意前提，即二次项系数不能为0，特别地，若二次项的系数含参数时应进行分类讨论，若系数等于0时方程有解，这时得到的直线与抛物线的对称轴平行．
1．过点P(0,3)且与抛物线y2＝5x只有一个公共点的直线方程分别为________________．
答案： x＝0，y＝3,5x－12y＋36＝0
中点弦问题
过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，若弦AB恰被Q点平分，求弦AB所在直线的方程．
[思路点拨] 类比椭圆与双曲线，涉及弦中点问题，优先解法应是设而不求的“点差法”，而对于抛物线的弦中点问题更能体现出这种解法的优越性，当然本题使用中点坐标公式也不失为一种很好的解法．
关于中点的问题我们一般地可以利用“点差法”求出与中点、斜率有关的式子，进而求解，也可以采用设而不求的方法．
2．已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(1，m)到焦点的距离为3.
(1)求此抛物线的方程；
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
直线与抛物线的综合应用
[思路点拨]
直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个交点，求实数a的值．
【错因】 对于a没有讨论a＝0的情况，在a≠0时，没有讨论a＝－1的情况，要区分方程中字母系数是否为0，化为一元二次方程的形式后，对于x2项的系数要讨论为零或非零的情况．
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2.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
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1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
2．通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题．
太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面，它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．
[问题1] 抛物线有几个焦点？
[提示1] 抛物线有1个焦点．
[问题2] 抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？
[提示2] 抛物线没有渐近线．
抛物线的几何性质
性质
焦点
_______
_______
_______
_______
准线
_______
_______
_______
_______
范围
________
________
________
________
对称轴
_____
_____
顶点
_______
离心率
_____
开口方向
_____
_____
_____
_____
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
y轴
原点(0,0)
e＝1
向右
向左
向上
向下
抛物线的性质特点
(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．
(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.
答案： B
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为7，则抛物线C的方程为________．
答案： y2＝12x
4．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为5.求p与m的值．
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抛物线的标准方程与性质
对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)．
适合抛物线y2＝10x的条件是________．(要求填写合适条件的序号)
[思路点拨] 本题主要考查抛物线的简单几何性质，根据抛物线的几何性质，用排除法解决问题．
答案： ②⑤
解决本题要熟练掌握抛物线简单的几何性质，对于开口方向，对称轴，通径，焦半径等相关的知识是必要的．另外，根据图形来分析，会起到更好的解题效果．
抛物线几何性质的应用
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为4，求此抛物线的标准方程．
抛物线的几何性质
(1)抛物线的几何性质包括抛物线的焦点、准线、范围、对称轴、顶点、离心率、开口方向等，它的应用比较广泛，这一部分的题型仍以直线与抛物线的关系为载体，涉及求直线方程，弦长，平行，对称，最值等，解题时，结合题意大胆设出参数和抛物线上点的坐标，利用条件化简整理，从而得以求解．
(2)抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题过程中又容易忽视这些隐含条件，如抛物线的对称性，准线与对称轴垂直等，解题时应注意挖掘并充分利用这些隐含条件．
2．求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径长为8的抛物线的标准方程，并指出其焦点坐标和准线方程．
解析： 抛物线的标准方程为y2＝8x或y2＝－8x.当抛物线方程为y2＝8x时，焦点为(2,0)，准线方程为x＝－2；当抛物线方程为y2＝－8x时，焦点为(－2,0)，准线方程为x＝2.
与抛物线有关的最值问题
[思路点拨] 第(1)问将距离|PA|的最小值问题转化为函数最小值问题，即代数方法解决几何问题．第(2)问可用点到直线距离公式求距离，利用函数思想求最小值，也可采用求出与已知直线平行的抛物线的切线，再求出切点，两平行直线的距离即为距离的最小值．
与抛物线最值有关的问题的解题技巧
与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧．
【错解】 B
【正解】 C
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2.3 抛物线
2.3.1 抛物线及其标准方程
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1．经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．会求简单的抛物线方程．
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
[问题1] 画出的曲线是什么形状？
[提示1] 抛物线．
[问题2] 点D在移动过程中，满足什么条件？
[提示2] 点D到直线EF的距离|DA|等于DC.
[问题3] 到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹方程是什么？
[提示3] 抛物线．
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F)_________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的______．
抛物线的定义
距离相等
焦点
准线
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程及其形式特点
(1)抛物线的标准方程有四种类型，方程中均只含有一个参数p，称为焦参数，它是抛物线的定形条件，其几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.
(2)抛物线的标准方程的形式特点在于：等号左边是某变量的完全平方，等号右边是另一变量的一次项，其系数为±2p，这种形式和它的位置特征相对应．
当焦点在x轴上时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向右，为负时开口向左；当焦点在y轴上时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向上，为负时开口向下．
答案： B
2．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(4,0)
D．(－4,0)
答案： B
3．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为________．
解析： 设P(xp，yp)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xp＝8，yp＝±8.
答案： (8，±8)
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求抛物线的焦点坐标及准线方程
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；(2)5x2－2y＝0；(3)y2＝ax(a>0)．
[思路点拨] (1)是标准形式，可直接求出焦点坐标和准线方程；
(2)(3)需先将方程化为标准形式，再对应写出焦点坐标和准线方程．
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p>0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴，系数为负，焦点在负半轴．
1．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程．
(1)y2＝6x；(2)2y2－5x＝0；(3)y＝ax2.
求抛物线的标准方程
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[思路点拨] (1)过点M(－6,6)，抛物线的开口方向有几种情况？
(2)由焦点在坐标轴上，又在直线l：3x－2y－6＝0上，得焦点可能有几种情况？
解析： (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3，
∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为
x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
求抛物线标准方程的方法
特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．
2．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
(1)过点(－3,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上；
(3)已知抛物线焦点在y轴上，焦点到准线的距离为3.
抛物线的实际应用
一辆卡车高3
m，宽1.6
m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a
m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
(1)本题是与抛物线有关的应用题，解题时，可画出示意图帮助解题，找相关点的坐标时，要细心，如A，B两点等．(2)把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题，是中学生必须具备的能力．
解析： 以拱桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，求该抛物线的方程．
【错解】 由题意知p＝2，
∴2p＝4.
故所求抛物线的方程为y2＝±4x.
【错因】 只考虑焦点在x轴上的情形，而遗漏了焦点在y轴上的情形，本题中，抛物线的四种形式都有可能．
【正解】 由题意知p＝2，∴2p＝4.
故所求抛物线方程为y2＝±4x或x2＝±4y.
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