(共45张PPT)
第
三
章
导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
自主学习
新知突破
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．
2．知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
3．会利用导数定义求函数在某一点处的导数．
巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．
同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
函数的变化率
(x1，x2)
x＝x0
导数的概念
瞬时
x＝x0
对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
答案： B
答案： D
3．如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2
s末的瞬时速度为________．
解析： 物体运动在1.2
s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
答案： －4.8
m/s
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求平均变化率
(1)计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为：
①
2；②1；③
0.1；④
0.01.
(2)思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
[思路点拨] 直接利用定义求平均变化率，先求出表达式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
求函数在某点处的导数
求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
瞬时速度与平均速度的求解
一个直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．
[思路点拨]
3．质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2时的瞬时速度．
答案： C
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3.1.3 导数的几何意义
自主学习
新知突破
1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．
2．了解导函数的概念，会求导函数．
3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？
[提示] 割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线的斜率k，k＝f′(x0)．
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．
切线方程为______________________．
导数的几何意义
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
函数y＝f(x)的导函数
确定
导数
“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系
(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是( )
A．在点x0处的斜率
B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值
C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率
D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
解析： 由导数的几何意义知，选项C正确．
答案： C
2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
答案： C
3．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为____________．
答案： 6x－y－3＝0
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在点P处的切线
(1)求曲线在点P处的切线的斜率；
(2)求曲线在点P处的切线方程．
[思路点拨]
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为
y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
答案： x＋y－2＝0
过点P的切线
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
2．直线l过点(2,2)且与曲线y＝x3－3x相切，求直线l的方程．
求切点坐标
已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．
(1)切线的倾斜角为45°；
(2)切线平行于直线4x－y－2＝0；
(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.
解此类问题的步骤：
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求y0得切点坐标．
3．曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，则切线方程为( )
A．y＝9x B．y＝9x－26
C．y＝9x＋26
D．y＝9x＋6或y＝9x－26
答案： D
试求过点P(3,5)且与y＝x2相切的直线方程．
【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．
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