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3.3.3 函数的最大(小)值与导数
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1．能够区分极值与最值两个不同的概念．
2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．
假设函数y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)在闭区间[a，b]的图象都是一条连续不断的曲线(如下图所示)，观察图象，你认为此类函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？最大值及最小值与极值有什么关系？如何求函数的最值？
[问题1] 这三个函数在[a，b]上一定能取得最大值与最小值吗？
[提示1] 能．
[问题2] 若y＝h(x)在开区间(a，b)上是一条连续不断的曲线，那么它在(a，b)上一定有最值和极值吗？
[提示2] 不能．
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定有_______和________，函数的最值必在极值点或区间端点处取得．
函数的最大值与最小值
最大值
最小值
求函数f(x)在[a，b]上的最值可分两种情况进行：
1．当函数f(x)单调时：若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的________，f(b)为函数的________；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的_______，f(b)为函数的_________．
函数最值的求法
最小值
最大值
最大值
最小值
2．当函数f(x)不单调时：
(1)求y＝f(x)在(a，b)内的___值；
(2)将y＝f(x)的各____值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
极
极
(3)函数f(x)在闭区间[a，b]上图象连续不断，是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有，函数的最大值一定不小于它的最小值．
1．给出下列四个命题：
①若函数f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值一定是[a，b]上的极大值；②若函数f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值一定是[a，b]上的极小值；③若函数f(x)在[a，b]上有最值，则最值一定在x＝a或x＝b处取得；④若函数f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内必有最大值与最小值．
其中真命题共有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：
①
×
当函数在闭区间上的端点处取得最值时，其最值一定不是极值
②
×
③
×
函数在闭区间上的最值可在端点处取得，也可以在内部取得
④
×
单调函数在开区间(a，b)内无最值
答案： A
2．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( )
A．－10
B．－71
C．－15
D．－22
解析： f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3，－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
答案： B
3．f(x)＝x－ln
x在区间(0，e]上的最小值为________．
答案： 1
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求函数的最值
求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]上的最值．
方法一：f′(x)＝－4x3＋4x，
即f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，
得x＝－1，x＝0，x＝1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
求解函数在闭区间上的最值．
在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：
(1)对函数进行准确求导；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和区间端点的函数值；
(3)比较极值与区间端点函数值的大小．
1．求函数f(x)＝x3－3x－1在区间[0,3]上的最大值、最小值．
解析： f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝－1，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
已知函数的最值求参数
已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值．
[思路点拨] 根据导数与单调性，导数与最值之间的关系求解，由于f(x)既有最大值，又有最小值，因此a≠0，要注意对参数的取值情况进行讨论．
上表知，当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3.
又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)>f(2)，
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.
由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．
2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值并求f(x)在[－2,2]上的最大值．
不等式恒成立问题
已知函数f(x)＝ax4ln
x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
[思路点拨]
由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成m≥f(x)或m≤f(x)的形式，然后利用导数知识求出函数f(x)的最值，则由结论m≥f(x)max或m≤f(x)min即可求出参数m的取值范围．
【错因】 没有求区间端点处的函数值；连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值．求出极值，需要与区间端点处的函数值进行比较才能断定．
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3.3 导数在研究函数中的应用
3.3.1 函数的单调性与导数
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1．掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．
2010年舒马赫复出的消息是F1赛车上的重磅炸弹，人们纷纷研究这位传奇的“F1之王”．研究发现，其除了超群的技术外，速度的调节也恰到好处，他不轻易使用刹车，在某个时间段内速度连续增加，在另一个时间段内速度则连续减少，呈现一定的规律性．
[问题1] 在某个时间段内速度连续增加，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为正呢？
[提示1] f′(t)>0.
[问题2] 在某个时间段内速度连续减少，若v＝f(t)，那么f′(t)是否为负呢？
[提示2] f′(t)<0.
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系
导函数的正负
函数在(a，b)上的单调性
f′(x)>0
单调_____
f′(x)<0
单调_____
f′(x)＝0
______函数
递增
递减
常数
上述结论可用图来直观理解．
1．深入理解导数与单调性的关系
在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
2．对导数法研究函数单调性的两点注意：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
解析： f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)<0得0答案： D
2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如下图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析： 由y＝f′(x)的图象可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．
答案： C
3．函数f(x)＝xln
x的单调递增区间是________．
4．已知函数f(x)＝x2＋ax－ln
x，a∈R.若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．
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求函数的单调区间
[思路点拨] 对(1)，求导后，应注意a的讨论．
(1)求函数单调区间的步骤：
(2)含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．
1．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－6x；
(2)f(x)＝3x2－2ln
x.
函数与导函数图象之间的关系
设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
[思路点拨] 根据函数的单调性与其导数的正负之间的关系作判断．
解析： 对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)<0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)>0.因此，选项A符合题意．
同理，选项B，C也符合题意．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．
答案： D
(1)注意图形语言、符号语言之间的转化及应用．在某个区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)也就是f′(x)的图象在x轴的上方(或下方)，则函数在该区间内是增函数(或减函数)．
(2)研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．已知导函数f′(x)的下列信息：
当－1当x>3，或x<－1时，f′(x)>0；
当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
解析： 如下图：
当－1当x>3，或x<－1时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x＝－1，或x＝3时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)的图象的大致形状如上图所示．
已知函数单调性求参数范围
由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减)，等价于不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围．
3．若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求a的取值范围．
若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围．
【错因】 没有考虑到f′(x)＝0的情况．f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而非充要条件．利用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)求解后，要验证端点能否使f′(x)恒等于0.
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3.3.2 函数的极值与导数
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1．了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．
2．结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值．
横看成岭侧成峰，远近高低各不同．
不识庐山真面目，只缘身在此山中．
在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点．
群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，群山中的最低处是所有谷底的最低者的底部．每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？
[提示] 在山峰左侧f′(x)>0，上升趋势；右侧f′(x)<0，下降趋势．
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧________，右侧____________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
极小值点与极小值
f′(x)<0
f′(x)>0
如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧________，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．_________、__________统称为极值点，________和________统称为极值．
极大值点与极大值
f′(x)>0
f′(x)<0
极小值点
极大值点
极大值
极小值
对函数的极值的理解
(1)极值是一个局部概念：由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．
(2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)．
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．
1．已知函数f(x)在(a，b)上可导，且x0∈(a，b)，以下结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
解析： 由极值点和极值的定义可知，B正确，C，D不正确．导数为零的点不一定是极值点，故A不正确．
答案： B
答案： D
答案： e
4．求函数f(x)＝x4－x3的极值．
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求函数的极值
求函数极值的方法：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的全部实根；
(3)列表，检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左、右的值的符号；
(4)判断单调性，确定极值．
特别提醒：最好列表判断，避免出错．
已知极值求参数
[思路点拨] 求函数的极值必须严格按照求函数极值的方法进行，其重点是列表检查导数为零的点的左、右两侧的导数值是不是异号的，若异号，则导数为零的点对应的函数值是极值；否则，导数为零的点对应的函数值不是极值．
已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
函数极值的应用
极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．
3．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
【错因】 根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性，故求错．
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