2.库仑定律
[学习目标] 1.知道点电荷的概念，体会物理中的理想模型方法。(难点)2.了解库仑扭秤实验。3.掌握库仑定律的内容、公式及适用条件，知道静电力常量，并会求点电荷间的作用力。(重点)4.知道两个相同的金属小球互相接触后电荷分配规律。(重点)5.通过对比静电力和万有引力，体会自然规律的多样性和统一性。(难点)
一、电荷之间的作用力
1．实验探究
(1)带电小球由于受到带电体对其的作用力而使丝线偏离竖直方向θ角。
(2)在电荷量不变的情况下，小球离带电体越近，角度θ越大，离带电体越远，角度θ越小。
(3)在距离不变的情况下，带电体电荷量越大，角度θ越大，电荷量越小，角度θ越小。
(4)结论：影响两电荷之间相互作用力的因素：距离、电荷量。电荷间的相互作用力随带电体间距离的减小而增大，随带电体所带电荷量的增加而增大。
2．库仑定律：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
3．静电力：电荷之间的相互作用力，也叫库仑力。
4．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，带电体可以看作带电的点。点电荷是一种理想化模型。
二、库仑的实验
1．实验装置
2．实验步骤
(1)改变A和C之间的距离，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与距离r的关系。
(2)改变A和C的带电荷量，记录每次扭丝扭转的角度，便可找出力F与带电荷量q之间的关系。
3．实验结论
(1)力F与距离r的二次方成反比，F∝。
(2)力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，F∝q1q2。
4．库仑定律表达式：F＝k，其中静电力常量k＝9.0×109
N·m2/C2。
三、静电力计算
1．两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而有所改变。
2．两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实验表明电荷之间的作用力一定和电荷间的距离成反比。
(×)
(2)实验表明两个带电体的距离越大，作用力就越小。
(√)
(3)点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化模型。
(√)
(4)球形带电体一定可以看成点电荷。
(×)
(5)很大的带电体也有可能看作点电荷。
(√)
2.(多选)如图所示，O是一个带电的物体，若把系在丝线上的带电小球先后挂在横杆上的P1、P2、P3位置，可以比较小球在不同位置所受带电物体的作用力的大小，这个力的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ显示出来(小球与物体O在同一水平线上)。若物体O的电荷量用Q表示，小球的电荷量用q表示，物体与小球间距离用d表示，物体和小球之间的作用力大小用F表示。则下列对该实验的判断正确的是( )
A．可用控制变量法，探究F与Q、q、d的关系
B．保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d成反比
C．保持Q、d不变，减小q，则θ变小，说明F与q有关
D．保持q、d不变，减小Q，则θ变小，说明F与Q成正比
AC [保持Q、q不变，减小d，则θ变大，说明F与d有关，但不能确定成反比关系，选项B错误；保持Q、d不变，减小q，则θ变小，说明F与q有关，选项C正确；保持q、d不变，减小Q，则θ变小，说明F随Q的减小而减小，但不能确定成正比关系，选项D错误；由上述可知选项A、C正确。]
3．真空中两个点电荷相距为r时，它们间的静电力大小为F；如果保持它们的电荷量不变，而将距离增大为2r，则静电力大小将变为( )
A．2F B．F C. D.
C [由库仑定律得：F＝k，当距离变为原来的2倍，F′＝k，所以F′＝，选项C正确。]
对点电荷的理解
1．点电荷是物理模型
只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
2．带电体看成点电荷的条件
如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。
3．注意区分点电荷与元电荷
(1)元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。
(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。
【例1】 (多选)下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
AD [无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，选项A正确，而选项C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，选项B错误；两个带电金属小球，若离的很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，因此，选项D正确。]
对点电荷的两点理解
(1)带电体能否看作点电荷，不取决于带电体的大小，而取决于它们的大小、形状与距离相比能否忽略。
(2)同一带电体，在不同问题中有时可以看作点电荷，有时不可以看作点电荷。
1．美国东部一枚火箭从佛罗里达州肯尼迪航天中心39B发射塔冲天而起。这是美国未来载人航天工具——“战神Ⅰ－X”火箭的第一次升空。升空过程中由于与大气摩擦产生了大量的静电，如果这些静电没有被及时导走，下列情况中，升空后的“战神Ⅰ－X”火箭能被视为点电荷的是( )
A．研究“战神Ⅰ－X”火箭外部与其相距1
m处的一个带电微粒之间的静电力
B．研究“战神Ⅰ－X”火箭与地球(带负电)之间的静电力
C．任何情况下都可视为点电荷
D．任何情况下都不可视为点电荷
B [当火箭离开地球较远时，火箭的大小对火箭与地球之间的距离可忽视不计。电荷在火箭上的分布情况对研究火箭与地球间静电力的作用可忽略不计，此时火箭可看作点电荷，选B。]
对库仑定律的理解
1．库仑定律的适用条件是
(1)真空。
(2)静止点电荷。
这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。
2．静电力的大小计算和方向判断
(1)大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
(2)方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
3．库仑定律与万有引力定律的比较
(1)库仑定律和万有引力定律都遵从与距离的二次方成反比规律，人们至今还不能说明它们的这种相似性。
(2)两个定律列表比较如下
物理定律比较内容
万有引力定律
库仑定律
公式
F＝
F＝
产生原因
只要有质量，就有引力，因此称为万有引力，两物体间的万有引力总是引力
存在于电荷间，两带电体的库仑力由电荷的性质决定，既有引力，也有斥力
相互作用
吸引力与它们质量的乘积成正比
库仑力与它们电荷量的乘积成正比
相似
遵从牛顿第三定律
与距离的关系为平方反比
都有一个常量
(3)对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。
【例2】 两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为( )
A．F B．F C.F D．12F
C [由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，带电荷量分别为Q、Q，故后来库仑力F′＝keq
\f(Q2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r,2))))＝k，由以上两式解得F′＝F，C项正确。]
两金属导体接触后电荷量的分配规律
(1)当两个导体材料、形状不同时，接触后再分开，只能使两者均带电，但无法确定所带电荷量的多少。
(2)若使两个完全相同的金属球带电荷量大小分别为q1、q2，则有：
①???
②???
2．两个半径均为R的带电金属球所带电荷量分别为Q1和Q2，当两球心相距3R时，相互作用的库仑力大小为( )
A．F＝k
B．F＞k
C．F＜k
D．无法确定
D [因为两球心距离不比球的半径大很多，所以不能将两球看作点电荷，必须考虑电荷在球上的实际分布情况。当Q1、Q2带同种电荷时，相互排斥，电荷分布于最远的两侧，距离大于3R；当Q1、Q2带异种电荷时，相互吸引，电荷分布于最近的两侧，距离小于3R，如图所示。所以库仑力可能小于k，也可能大于k，D正确。]
甲 乙
库仑定律的应用
1．分析带电体在有库仑力作用下的平衡问题时，方法仍然与解决力学中物体的平衡问题的方法一样，具体步骤：
(1)确定研究对象；(2)进行受力分析；(3)建立坐标系；(4)列方程F合＝0，正交分解，∑Fx＝0，∑Fy＝0；(5)求解方程。
2．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反。
(2)规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一直线上；
“两同夹异”——正负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【例3】 a、b两个点电荷相距40
cm，电荷量分别为q1、q2，且q1＝9q2，都是正电荷。现引入点电荷c，这时a、b电荷恰好都处于平衡状态。试问：点电荷c的带电性质是怎样的？电荷量为多大？它应该放在什么地方？
[解析] 设c与a相距x，则c、b相距0.4
m－x，设c的电荷量为q3，根据二力平衡可列平衡方程。
a平衡，则k＝k
b平衡，则k＝k
c平衡，则k＝k
解其中任意两个方程，可解得x＝0.3
m(c在a、b连线上，与a相距30
cm，与b相距10
cm)，q3＝q2＝q1(q1、q2为正电荷，q3为负电荷)。
[答案] 负电荷 q1 在a、b连线上，与a相距30
cm，与b相距10
cm
上例中，若a、b两个电荷固定，其他条件不变，则结果如何？
提示：由c平衡知，对q3的电性和电荷量无要求，位置应放在与a相距30
cm，与b相距10
cm处。
解决三个自由点电荷的平衡问题时，首先应根据三个自由点电荷的平衡问题的规律确定出点电荷的电性和大体位置。求点电荷间的距离时，对未知电荷量的电荷列平衡方程；求未知电荷的电荷量时，对其中任意已知电荷量的电荷列平衡方程求解。
3．水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，OABC恰构成一棱长为L的正四面体，如图所示。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量为( )
A．
B．
C．
D．
C [对小球进行受力分析，受到重力和A、B、C处正点电荷施加的库仑力作用。三个库仑力是对称的，设A、B、C处正点电荷施加的库仑力方向与竖直方向的夹角为θ，竖直方向上根据平衡条件得3Fcos
θ＝mg，其中F＝，根据几何关系得cos
θ＝，联立解得q＝，C选项正确。]
课
堂
小
结
知
识
脉
络
1.对点电荷的理解及带电体能看作点电荷的条件。2.库仑定律的理解及应用。3.电荷平衡问题的分析方法。
1．下列关于点电荷的说法，正确的是( )
A．只有体积很小的带电体才能看成点电荷
B．体积很大的带电体一定不能看成点电荷
C．只有球形带电体才能看成点电荷
D．当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
D [由带电体看作点电荷的条件可知，当带电体的形状、大小及电荷分布对它们间相互作用力的影响可忽略时，这个带电体可看作点电荷，带电体能否看作点电荷由研究问题的性质决定，与带电体自身大小、形状无具体关系，故选项A、B、C错误；当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，两带电体的大小、形状及电荷分布对两带电体间相互作用力的影响可忽略不计，因此可将这两个带电体看成点电荷，选项D正确。]
2．(多选)半径相同的两个金属小球A、B带有相等的电荷量，相隔一定的距离，今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B接触后移开。这时，A、B两球的电荷量之比可能为( )
A．2∶3
B．3∶2
C．2∶1
D．1∶2
AC [若A、B两球带等量的同种电荷，电荷量都为Q，则让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触后A、B两球的电荷量之比为2∶3；若A、B两球带等量的异种电荷，电荷量大小都为Q，则让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开，A、B两球所带的电荷量大小分别为、，则接触后A、B两球的电荷量之比为2∶1。故选A、C。]
3．如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a与b，壳层的厚度和质量分布均匀，将它们分别固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，两球电荷量的绝对值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F引、库仑力F库分别为( )
A．F引＝G，F库＝k
B．F引≠G，F库≠k
C．F引≠G，F库＝k
D．F引＝G，F库≠k
D [万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然两球心间的距离l只有半径的3倍，但由于壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看做质量集中于球心的质点。因此，可以应用万有引力定律。对于a、b两带电球壳，由于两球心间的距离l只有半径的3倍，不能看成点电荷，不满足库仑定律的适用条件，故D正确。]
4．如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5
cm，bc＝3
cm，ca＝4
cm。小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线。设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则( )
A．a、b的电荷同号，k＝
B．a、b的电荷异号，k＝
C．a、b的电荷同号，k＝
D．a、b的电荷异号，k＝
D [如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，因此a、b不可能带同种电荷，A、C错误；若a、b带异种电荷，假设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，受力分析如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线的方向上的合力为零，由几何关系可知∠a＝37°、∠b＝53°，则Fasin
37°＝Fbcos
37°，解得＝，又由库仑定律及以上各式代入数据可解得＝，B错误，D正确。](共58张PPT)
第九章 静电场及其应用
2.库仑定律
自
主
探
新
知
预
习
大
小
大
小
距离
电荷量
反比
正比
q1q2
9.0×109
不会
矢量和
×
√
√
×
√
合
作
攻
重
难
探
究
对点电荷的理解
对库仑定律的理解
库仑定律的应用
当
堂
固
双
基
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标
课
时
分
层
作
业
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p1
p2
P3
A
答案
解析答案
考点1
规律方法
考点2
考点3
。
C
F
Fb
W
谢谢次赏
谢谢赏课时分层作业(二) 库仑定律
(时间：40分钟 分值：100分)
[合格基础练]
一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分)
1．下列关于点电荷的说法，正确的是( )
A．点电荷一定是电荷量很小的电荷
B．点电荷是一种理想化模型，实际不存在
C．只有体积很小的带电体，才能作为点电荷
D．体积很大的带电体一定不能看成点电荷
B [当带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们的作用力影响可以忽略时，这样的带电体就可以看成点电荷，所以A、C、D错，B正确。]
2．关于库仑定律的理解，下面说法正确的是( )
A．对任何带电体之间的静电力计算，都可以使用库仑定律公式
B．只要是点电荷之间的静电力计算，就可以使用库仑定律公式
C．两个点电荷之间的静电力，无论是在真空中还是在介质中，一定是大小相等、方向相反的
D．摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑，说明碎纸屑一定带正电
C [库仑定律适用于真空中的点电荷，故A、B错。库仑力也符合牛顿第三定律，C对。橡胶棒吸引纸屑，纸屑带正电或不带电都可以，D错。]
3．如图所示，在绝缘光滑水平面上，相隔一定距离有两个带同种电荷的小球，同时从静止释放，则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是( )
A．速度变大，加速度变大
B．速度变小，加速度变小
C．速度变大，加速度变小
D．速度变小，加速度变大
C [因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同，故电荷将一直做加速运动，又由于两电荷间距离增大，它们之间的静电力越来越小，故加速度越来越小。]
4．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在选项图中，小球M能处于静止状态的是( )
A B C D
B [M受到三个力的作用而处于平衡状态，则绝缘细线的拉力与库仑力的合力必与M的重力大小相等，方向相反，故选项B正确。]
5．如图所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球a、b、c(可视为点电荷)，三球沿一条直线摆放，仅在它们之间的静电力作用下静止，则以下判断正确的是( )
A．a对b的静电力可能是斥力
B．a对c的静电力一定是斥力
C．a的电荷量可能比b少
D．a的电荷量一定比c多
B [根据电场力方向来确定各自电性，从而得出“两同夹一异”，因此a对b的静电力一定是引力，a对c的静电力一定是斥力，故A错误，B正确；同时根据库仑定律来确定电场力的大小，并由平衡条件来确定各自电荷量的大小，因此在大小上一定为“两大夹一小”，则a的电荷量一定比b多，而a的电荷量与c的电荷量无法确定，故C、D错误。]
6．(多选)两个半径、材料完全相同的金属小球，所带电荷量之比为1∶7，间距为r，把两球相互接触后再放回原来的位置上，则相互作用力可能为原来的( )
A．
B．
C．
D．
CD [设两小球带电荷量分别为Q、7Q，则F＝＝。若带同种电荷，将两带电小球接触后分开，放回原来的位置上，相互作用力变为F1＝＝F，故D项正确；若带异种电荷，将两带电小球接触后分开，放回原来的位置上，相互作用力变为F2＝＝F，故C项正确。]
二、非选择题(14分)
7.把质量为2.0
g的带负电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将带电荷量为Q＝4.0×10－6C的带电小球B靠近小球A，如图所示。当两个带电小球在同一高度相距30
cm时，绳与竖直方向恰成45°角。g取10
m/s2，求：(小球A、B可看成点电荷)
(1)A球受的库仑力大小；
(2)A球所带电荷量。
[解析] (1)对A进行受力分析，如图所示，则F库＝mg·tan
45°＝0.02
N。
(2)由F库＝得qA＝＝
C＝5×10－8
C。
[答案] (1)0.02
N (2)5×10－8
C
[等级过关练]
一、选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)
1．人类已探明某星球带负电，假设它是一个均匀带电的球体，将一带负电的粉尘置于该星球表面h高处，恰处于悬浮状态，现设科学家将同样的带电粉尘带到距星球表面2h高处无初速度释放，则此带电粉尘将(不考虑星球的自转影响)( )
A．向星球中心方向下落
B．被推向太空
C．仍在那里悬浮
D．无法确定
C [在星球表面h高度处，粉尘处于悬浮状态，说明粉尘所受库仑力和万有引力平衡，k＝G，得kq1q2＝Gm1m2；当离星球表面2h高度时，所受合力F＝k－G。结合上式可知，F＝0，即受力仍平衡。由于库仑力和万有引力都遵从二次方反比规律，因此该粉尘无论距星球表面多高，都处于悬浮状态。]
2.如图所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )
A．－Q，在A左侧距A为L处
B．－2Q，在A左侧距A为处
C．－4Q，在B右侧距B为L处
D．＋2Q，在A右侧距A为处
C [根据电荷规律可知，C应放在B的右侧，且与A电性相同，带负电，由FAB＝FCB，得k＝k，由FAC＝FBC，得k＝k，解得rBC＝L，QC＝4Q。]
3．在光滑绝缘桌面上，带电荷量为＋Q的小球A固定。质量为m带电荷量为－q的小球B，在A、B间库仑力作用下以速率v绕小球A做匀速圆周运动，则A、B间的距离为( )
A．
B．
C．
D．
A [带电小球B在A、B间库仑力的作用下以速率v绕A做半径为r的匀速圆周运动，A对B的库仑力提供B做匀速圆周运动的向心力，列出等式＝，解得r＝，故A正确，B、C、D错误。]
4．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知：三角形边长为1
cm，B、C电荷量为qB＝qC＝1×10－6
C，A电荷量为qA＝－2×10－6
C，A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为( )
A．180
N，沿AB方向
B．180
N，沿AC方向
C．180
N，沿∠BAC的角平分线
D．180
N，沿∠BAC的角平分线
D [qB、qC电荷对qA电荷的库仑力大小相等，故F＝F1＝F2＝＝
N＝180
N，两个静电力夹角为60°，故合力为
F′＝2Fcos
30°＝2×180
N×＝180
N，方向沿∠BAC的角平分线，故选D。]
二、非选择题(本题共2小题，共26分)
5．(12分)如图所示，电荷量Q＝2×10－7
C的正点电荷A固定在空间中O点，将质量m＝2×10－4
kg、电荷量q＝1×10－7
C的另一正点电荷B从O点正上方高0.5
m的某处由静止释放，B运动过程中速度最大位置在P。若静电力常量k＝9×109
N·m2/C2，重力加速度取g＝10
m/s2。求：
(1)B运动到距O点l＝0.5
m处的加速度大小；
(2)P、O间的距离L。
[解析] (1)分析电荷B的受力，得mg－k＝ma，代入数据得a＝6.4
m/s2。
(2)速度最大时，加速度为零，mg＝k，代入数据得L＝0.3
m。
[答案] (1)6.4
m/s2 (2)0.3
m
6．(14分)如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷。一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力大小。
[解析] 设小球在最高点时的速度为v1，根据牛顿第二定律有mg－＝m
设小球在最低点时的速度为v2，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律F－mg－＝m
小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则mv＋mg·2R＝mv
解得F＝6mg，由牛顿第三定律得小球对管壁的作用力大小为F′＝6mg。
[答案] 6mg
2
