13.3.2.2 含30°角的直角三角形的性质课件（23张PPT）

第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
2020年秋人教版数学八年级上册精品课件
学习目标
1
2
会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
新课导入
B
A
C
D
问题1 如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，你有什么发现？
知识讲解
1、含30°角的直角三角形的性质
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
B
A
C
D
证明：在△ABC 中，∵　∠C =90°，∠A =30°, ∴　∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC = AB．
A
B
C
D
∴　BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
证法1：倍长法
E
A
B
C
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
证法2：截半法
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

应用格式：
∵在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴ BC = AB．　　
例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(　　)
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
E
C
总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3 已知:等腰三角形的底角为15 °,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
总结：在求三角形边长的问题中，可以构造含30°角的直角三角形解决．本题的关键是作高，再利用等腰三角形及外角的性质得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
随堂训练
1、如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
B
2、某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
B
3、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．则BD = .
A
B
C
D
1
4、如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______.
A
C
B
8
5、在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
6、在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
找准30 °的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中
含30°角的直角三角形的性质
谢谢
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